2025年天津一模數(shù)學(xué)試卷及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B={1,2}，則實(shí)數(shù)m的值為________。2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為________。3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，a_3=11，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________。4.已知點(diǎn)P(x,y)在圓C：(x-1)^2+(y-2)^2=4上，則點(diǎn)P到直線3x+4y-1=0的距離的最大值為________。5.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z的模長為________。6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度為________。7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值，則φ的值為________。8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為________。9.已知函數(shù)g(x)=e^x-1，則g(x)的反函數(shù)g^(-1)(x)的解析式為________。10.在一個不放回的抽樣調(diào)查中，從10個不同產(chǎn)品中抽取3個，則抽取到的3個產(chǎn)品中至少有1個是次品的概率為________。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。（）2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，則公比q=2。（）3.若直線l1和直線l2的斜率分別為k1和k2，且k1k2=-1，則l1和l2互相垂直。（）4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C=75°。（）5.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則z的共軛復(fù)數(shù)為z^=-a-bi。（）6.函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,2π]上是單調(diào)遞減的。（）7.在圓的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，(a,b)是圓心坐標(biāo)，r是半徑。（）8.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）9.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=a，a_2=b，則公差d=b-a。（）10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上必有界。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x^3-x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）。A.0B.2C.4D.82.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-4x+3=0}，則A∩B=（）。A.{1,2}B.{2,3}C.{1,3}D.?3.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，則公比q=（）。A.2B.-2C.4D.-44.已知點(diǎn)P(x,y)在圓C：(x+1)^2+(y-1)^2=5上，則點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值為（）。A.1B.√2C.√3D.25.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2的值為（）。A.2iB.-2C.2D.06.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度為（）。A.1B.√2C.2D.√37.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值，則φ的值為（）。A.π/4B.3π/4C.π/2D.π8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為（）。A.1B.√2C.√3D.29.已知函數(shù)g(x)=e^x-1，則g(x)的反函數(shù)g^(-1)(x)的解析式為（）。A.ln(x+1)B.ln(x-1)C.e(x+1)D.e(x-1)10.在一個不放回的抽樣調(diào)查中，從10個不同產(chǎn)品中抽取3個，則抽取到的3個產(chǎn)品中至少有1個是次品的概率為（）。A.1/120B.3/10C.7/10D.9/10四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，求圓C的圓心和半徑。4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-x的單調(diào)性。2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n。3.已知函數(shù)g(x)=e^x-1，討論g(x)的反函數(shù)g^(-1)(x)的性質(zhì)。4.在一個不放回的抽樣調(diào)查中，從10個不同產(chǎn)品中抽取3個，討論抽取到的3個產(chǎn)品中至少有1個是次品的概率。答案和解析一、填空題1.12.33.a_n=2n+34.55.16.√67.π/48.2√29.ln(x+1)10.7/10二、判斷題1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×三、選擇題1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.D9.A10.C四、簡答題1.最大值為5，最小值為-1。2.a_n=4n-2。3.圓心為(1,2)，半徑為3。4.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)。五、討論題1.函數(shù)f(x)=x^3-x在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減。2.S_n=2(1-q^n)/(1-q)，其中q=2。3.g^(-1)(x)是增函數(shù)，且定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽。4.抽取到的3個產(chǎn)品中至少有1個是次品的概率為7/10。答案和解析一、填空題1.解：集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B={1,2}，則B中必須包含1和2，即1和2是方程x^2-mx+2=0的根，解得m=3。答案：32.解：f(x)=|x-1|+|x+2|，當(dāng)x∈[-2,1]時，f(x)=1-x+x+2=3；當(dāng)x∈[1,+∞)時，f(x)=x-1+x+2=2x+1，最小值為3。答案：33.解：等差數(shù)列{a_n}中，a_3=a_1+2d，即11=5+2d，解得d=3，則a_n=5+3(n-1)=3n+2。答案：a_n=3n+24.解：圓C的圓心為(1,2)，半徑為2，點(diǎn)P到直線3x+4y-1=0的距離d=|31+42-1|/√(3^2+4^2)=3√2，最大值為3√2+2。答案：3√2+25.解：復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z=±1，模長為1。答案：16.解：在△ABC中，由正弦定理得b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√2。答案：√27.解：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值，則2π/4+φ=π/2，解得φ=π/4。答案：π/48.解：點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(0,-1)，|AB'|=√(1^2+3^2)=√10，最小值為√10-1。答案：√10-19.解：函數(shù)g(x)=e^x-1，則g^(-1)(x)=ln(x+1)。答案：ln(x+1)10.解：從10個不同產(chǎn)品中抽取3個，至少有1個是次品的概率為1-從10個產(chǎn)品中抽取3個都是正品的概率=1-C(9,3)/C(10,3)=1-3/10=7/10。答案：7/10二、判斷題1.解：奇函數(shù)的定義是f(-x)=-f(x)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故正確。答案：√2.解：在等比數(shù)列{b_n}中，b_3=b_1q^2，即8=2q^2，解得q=2，故正確。答案：√3.解：直線l1和直線l2的斜率分別為k1和k2，且k1k2=-1，則l1和l2互相垂直，故正確。答案：√4.解：在△ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C=180°-60°-45°=75°，故正確。答案：√5.解：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則z的共軛復(fù)數(shù)為z^=a-bi，故錯誤。答案：×6.解：函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞減的，在區(qū)間[π,2π]上是單調(diào)遞增的，故錯誤。答案：×7.解：在圓的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，(a,b)是圓心坐標(biāo)，r是半徑，故正確。答案：√8.解：若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)，故正確。答案：√9.解：在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=a，a_2=b，則公差d=a_2-a_1=b-a，故正確。答案：√10.解：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，不一定有界，例如f(x)=1/x在區(qū)間(0,1)上連續(xù)但不有界，故錯誤。答案：×三、選擇題1.解：函數(shù)f(x)=x^3-x在區(qū)間[-2,2]上的最大值為8，最小值為-1。答案：D2.解：集合A={x|x^2-5x+6=0}={2,3}，B={x|x^2-4x+3=0}={1,3}，則A∩B={3}。答案：C3.解：在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，則公比q=2。答案：A4.解：已知點(diǎn)P(x,y)在圓C：(x+1)^2+(y-1)^2=5上，則點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值為√2-1。答案：B5.解：若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i。答案：A6.解：在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長度為2。答案：C7.解：已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值，則φ=π/4。答案：A8.解：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為2。答案：D9.解：已知函數(shù)g(x)=e^x-1，則g(x)的反函數(shù)g^(-1)(x)=ln(x+1)。答案：A10.解：在一個不放回的抽樣調(diào)查中，從10個不同產(chǎn)品中抽取3個，則抽取到的3個產(chǎn)品中至少有1個是次品的概率為7/10。答案：C四、簡答題1.解：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，在區(qū)間[1,4]上，f(1)=0，f(4)=3，f(2)=-1，故最大值為3，最小值為-1。2.解：在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，則公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=12/4=3，則a_n=2+3(n-1)=3n-1。3.解：圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，圓心為(1,2)，半徑為3。4.解：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值，點(diǎn)P為點(diǎn)B關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,1)。五、討論題1.解：函數(shù)f(x)=x^3-x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-1，當(dāng)x∈(-∞,-1)和(1,+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時，f'(x)<0，