湖北省隨州市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（

）A．0 B． C． D．3．在梯形中，，，則（

）A． B． C． D．4．一個(gè)裝有水的圓柱形玻璃杯，測(cè)得其內(nèi)部半徑為，將一個(gè)半徑為的玻璃球完全浸入水中，水沒有溢出，則杯中水面上升了（

）A． B． C． D．5．已知圓與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．某操場(chǎng)的正前方有兩根高度均為、相距6m的旗桿，（兩根旗桿都與地面垂直）．有一條10m長(zhǎng)的繩子，兩端系在兩根旗桿的頂部B，D處，中間某處系在地面的點(diǎn)，并按如圖所示的方式繃緊，使得繩子和兩根旗桿處在同一個(gè)平面內(nèi)，假定這條繩子的長(zhǎng)度沒有改變，則（

）A． B． C． D．1m8．在正項(xiàng)數(shù)列中，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若復(fù)數(shù)，，則（

）A．的實(shí)部為1 B．的虛部為 C．為純虛數(shù) D．10．在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．的公差為3 B．的公比為2 C． D．11．平面中有個(gè)不同的點(diǎn)，且任意3點(diǎn)均不共線．從某點(diǎn)開始與其他點(diǎn)連線（連線均為線段），筆不能離開紙面，也不能與任何一條線段重合（可以重復(fù)經(jīng)過線段上的一個(gè)點(diǎn)），最后到達(dá)某個(gè)點(diǎn)結(jié)束，這個(gè)圖形為一個(gè)“通路”．在“通路”中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)重合了，則這個(gè)圖形為一個(gè)“回路”．對(duì)于下列三個(gè)圖形，結(jié)論正確的有（

）A．在圖1中，可以繪制7個(gè)不同的“通路”B．在圖2中，可以繪制18個(gè)僅由3條線段組成的不同的“通路”C．在圖2中，可以繪制7個(gè)不同的“回路”D．在圖3中，可以繪制37個(gè)至多由5條線段組成的不同的“回路”三、填空題12．假設(shè)某超市今年上半年每個(gè)月的銷售額（單位：萬元）與廣告支出（單位：萬元）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．若該超市計(jì)劃明年5月份的銷售額為10萬元，則估計(jì)該超市明年5月份的廣告支出為萬元．13．若，且，則，．14．如圖，單位圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，將軸右側(cè)半圓上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線．若水平直線與曲線交于點(diǎn)，則的最大值為．

四、解答題15．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求；(2)若的面積為，求的最小值．16．如圖1，在中，，，D，E，F(xiàn)分別是，，的中點(diǎn)．將沿著線段翻折至的位置，連接，，得到四棱錐，如圖2所示，連接．(1)證明：．(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．17．如圖，甲、乙準(zhǔn)備玩跳格子游戲，規(guī)則如下：每一輪游戲先進(jìn)行成語接龍，獲勝的人等可能地前進(jìn)1格或2格，失敗的人原地不動(dòng)，一輪游戲結(jié)束．在成語接龍中，甲獲勝的概率為，沒有平局，且每輪比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立．

(1)求第1輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)2格的概率；(2)求第2輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)的格數(shù)比乙前進(jìn)的格數(shù)大的概率；(3)若第3輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)的格數(shù)與乙前進(jìn)的格數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．18．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，求；(3)若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．19．已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知斜率為的直線與的右支相交于A，B兩點(diǎn)，直線，的一個(gè)方向向量分別為，，，且．（?。┣螅áⅲ┡袛嗍欠襁^定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

參考答案1．B【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的概念可知，.故選：B.2．A【詳解】由題意得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為0．故選：A.3．D【詳解】在梯形中，，，所以．故選：D.

4．B【詳解】因?yàn)椴Ａ虻陌霃綖?，可得玻璃球的體積為，設(shè)圓柱形玻璃杯水面上升了，可得，解得，所以杯中水面上升了．故選：B.5．C【詳解】如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)闉檎切?，所以，則，，則，由，得．故選：C6．D【詳解】對(duì)任意不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，恒成立，不妨設(shè)，，，，，在上單調(diào)遞增，是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，的解集為．故選：D.7．A【詳解】因?yàn)?，所以的軌跡是焦點(diǎn)為B，D，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為的橢圓．如圖，以直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．易得該橢圓的方程為．當(dāng)時(shí)，，得，所以．故選：A.8．C【詳解】由，得，得，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為遞增數(shù)列，所以，即．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為遞減數(shù)列，所以，所以．又，所以，所以.故選：C9．AC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋缘膶?shí)部為1，故A正確；對(duì)于BC，，所以的虛部為2，為純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ACD【詳解】設(shè)的公差為．由，得，A正確；設(shè)的公比為．由，得，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，或，所以，C正確；因?yàn)椋?，D正確．故選：ACD11．ACD【詳解】在圖1中，一共可以組成條線段，僅由1條線段組成的“通路”有個(gè)，僅由2條線段組成的“通路”有個(gè)，由3條線段組成的“通路”有1個(gè)，所以可以繪制個(gè)不同的“通路”，A正確．在圖2中，4個(gè)點(diǎn)兩兩連接，最多有條線段，僅由3條線段組成的圖形有個(gè)，但三條線段共一個(gè)端點(diǎn)的圖形不能組成“通路”，所以僅由3條線段組成的不同的“通路”有個(gè)，B錯(cuò)誤．在圖2中，任意三點(diǎn)首尾相連可以組成個(gè)“回路”；由4個(gè)端點(diǎn)4條線段組成的不同的“回路”有如下3種，其他情況不能組成“回路”，所以可以繪制個(gè)不同的“回路”，C正確．在圖3中，任意三點(diǎn)首尾相連（3條線段）可以組成個(gè)“回路”；由4個(gè)端點(diǎn)4條線段組成的不同的“回路”有種（由C選項(xiàng)可知）；如圖4，任選一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)最多在四條線段上，在這4條線段中任選兩條線段，有種不同的選法，如圖5，在每一種選法上，將在線段上的點(diǎn)A，B與不在線段上的點(diǎn)C，D，2個(gè)為一組分別連接起來，有種不同的選法，最后連接，如圖6、圖7所示，由5個(gè)端點(diǎn)5條線段組成的“回路”有個(gè)．故可以繪制個(gè)至多由5條線段組成的不同的“回路”，D正確．故選：ACD.12．2.5/【詳解】由，得，則估計(jì)該超市明年5月份的廣告支出為2.5萬元.故答案為：.13．23【詳解】由，得，，則．由得．因?yàn)?，所以，得，解得（舍去）．故答案為?；3.14．/【詳解】由題意可得與曲線交于點(diǎn)時(shí)，可使最大，設(shè)直線與軸右側(cè)半圓交于點(diǎn)，連接．設(shè)，則，從而，，則．因?yàn)?，所以，從而僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．

故答案為：.15．(1)(2)2．【詳解】（1）由已知及正弦定理得，由，得，得，由，得，得，得，得，得；（2）由，得，由余弦定理得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，得．故的最小值為2．16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖1，連接，交于點(diǎn)．因?yàn)?，F(xiàn)是的中點(diǎn)．所以．因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以．如圖2，連接，，因?yàn)椋?，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）知即，又，所以，故，則，因?yàn)?，所以．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，得，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．(1)(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）第1輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)2格的概率為．（2）當(dāng)乙前進(jìn)0格時(shí)，即2輪中甲均獲勝，①每輪均前進(jìn)2格的概率為；②僅有1輪前進(jìn)2格的概率為；③每輪均前進(jìn)1格的概率為；當(dāng)乙前進(jìn)1格時(shí)，即2輪中甲、乙各獲勝1輪，甲獲勝前進(jìn)2格，乙獲勝前進(jìn)1格的概率為；綜上，第2輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)的格數(shù)比乙前進(jìn)的格數(shù)大的概率為．（3）在一輪游戲中，甲獲勝前進(jìn)1格、2格的概率均為，乙獲勝前進(jìn)1格、2格的概率均為，所以每輪游戲甲前進(jìn)的格數(shù)與乙前進(jìn)的格數(shù)之和為1的概率為，為2的概率為．的取值可能為3，4，5，6．，，，，的分布列為3456故．18．(1)答案見解析(2)0(3)【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意得，則，．設(shè)曲線的切點(diǎn)為，由（1）可得．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，所以，得（3）令，得．因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以直線與的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)0時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以存在，使得．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)