一、引言：為何要關(guān)注分?jǐn)?shù)除法的“大概念理解”？演講人引言：為何要關(guān)注分?jǐn)?shù)除法的“大概念理解”？總結(jié)：大概念理解的核心價(jià)值與教學(xué)啟示分?jǐn)?shù)除法大概念的教學(xué)策略設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)除法大概念的核心要素拆解分?jǐn)?shù)除法大概念的內(nèi)涵解析目錄2025小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊分?jǐn)?shù)除法大概念理解課件01引言：為何要關(guān)注分?jǐn)?shù)除法的“大概念理解”？引言：為何要關(guān)注分?jǐn)?shù)除法的“大概念理解”？作為一線數(shù)學(xué)教師，我常思考一個(gè)問題：為何學(xué)生能熟練背誦“除以一個(gè)數(shù)等于乘它的倒數(shù)”，卻在解決“小明$\frac{3}{4}$小時(shí)走了$\frac{9}{10}$千米，1小時(shí)走多少千米”這類問題時(shí)，仍會猶豫是否用除法？為何部分學(xué)生能正確計(jì)算$\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}$，卻無法解釋“為什么要乘倒數(shù)”？這些現(xiàn)象背后，指向的是“大概念理解”的缺失——學(xué)生僅掌握了碎片化的算法，卻未真正理解分?jǐn)?shù)除法的本質(zhì)邏輯與知識關(guān)聯(lián)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出“強(qiáng)化學(xué)科內(nèi)知識整合，突出大概念引領(lǐng)”。分?jǐn)?shù)除法作為六年級上冊的核心內(nèi)容，既是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)比、比例、百分?jǐn)?shù)的重要基礎(chǔ)。其“大概念”并非單一的計(jì)算法則，而是貫穿“運(yùn)算一致性”“數(shù)量關(guān)系本質(zhì)”“數(shù)學(xué)建模思想”的核心觀念。本節(jié)課，我們將從大概念的內(nèi)涵、核心要素、教學(xué)策略三個(gè)維度展開，幫助教師與學(xué)生建立“理解為先”的學(xué)習(xí)路徑。02分?jǐn)?shù)除法大概念的內(nèi)涵解析1什么是數(shù)學(xué)中的“大概念”？大概念（BigIdea）是學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)中的“樞紐節(jié)點(diǎn)”，是能聯(lián)結(jié)具體知識、揭示本質(zhì)規(guī)律、具有廣泛遷移價(jià)值的核心觀念。在分?jǐn)?shù)除法中，其大概念可凝練為：分?jǐn)?shù)除法是乘法逆運(yùn)算的擴(kuò)展，本質(zhì)是通過“轉(zhuǎn)化”將未知運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已知運(yùn)算，其核心是理解“除以一個(gè)數(shù)（0除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的算理，并能在不同情境中運(yùn)用這一規(guī)律解決問題。2分?jǐn)?shù)除法大概念的學(xué)科定位從知識體系看，分?jǐn)?shù)除法上承整數(shù)除法（“平均分”“包含除”的意義）、分?jǐn)?shù)乘法（“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的運(yùn)算），下啟比的意義（“除法與比的等價(jià)性”）、比例問題（“分率與具體量的對應(yīng)關(guān)系”）。其大概念的理解需突破“計(jì)算技巧”的局限，指向三個(gè)關(guān)鍵聯(lián)結(jié)：縱向聯(lián)結(jié)：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算本質(zhì)一致性（均為“已知積與一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)”）；橫向聯(lián)結(jié)：分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法、比、方程的內(nèi)在聯(lián)系（如“已知$\frac{2}{3}x=6$，求$x$”可轉(zhuǎn)化為$x=6\div\frac{2}{3}$）；應(yīng)用聯(lián)結(jié)：從純計(jì)算到解決“量率對應(yīng)”“工程問題”“行程問題”等實(shí)際問題的建模能力。3學(xué)生認(rèn)知的“痛點(diǎn)”與大概念的價(jià)值教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生的典型困惑包括：為什么分?jǐn)?shù)除法要“顛倒相乘”？（算理不清晰）何時(shí)用分?jǐn)?shù)除法解決問題？（意義理解不深刻）分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法有何本質(zhì)相同？（知識聯(lián)結(jié)不緊密）大概念的教學(xué)正是要破解這些“痛點(diǎn)”：通過揭示“轉(zhuǎn)化思想”“運(yùn)算一致性”等核心觀念，幫助學(xué)生從“機(jī)械記憶”轉(zhuǎn)向“意義建構(gòu)”，從“單一技能”轉(zhuǎn)向“知識網(wǎng)絡(luò)”，最終實(shí)現(xiàn)“舉一反三”的遷移能力。03分?jǐn)?shù)除法大概念的核心要素拆解分?jǐn)?shù)除法大概念的核心要素拆解要實(shí)現(xiàn)大概念的深度理解，需聚焦以下四個(gè)核心要素，層層遞進(jìn)，從“是什么”到“為什么”再到“怎么用”，構(gòu)建完整的認(rèn)知鏈條。1要素一：運(yùn)算意義的貫通——從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的“不變本質(zhì)”除法的本質(zhì)是“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)”。無論是整數(shù)除法（如$12\div3$表示“已知$3\times4=12$，求$4$”）、小數(shù)除法（如$1.2\div0.3$表示“已知$0.3\times4=1.2$，求$4$”），還是分?jǐn)?shù)除法（如$\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}$表示“已知$\frac{2}{3}\timesx=\frac{4}{5}$，求$x$”），其意義的本質(zhì)是一致的。教學(xué)中，可通過“問題串”引導(dǎo)學(xué)生對比理解：問題1：把12塊糖平均分給3個(gè)小朋友，每人分幾塊？算式是$12\div3$，表示什么意義？（已知$3\times每人分到的數(shù)量=12$）1要素一：運(yùn)算意義的貫通——從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的“不變本質(zhì)”問題2：把$\frac{4}{5}$塊糖平均分給2個(gè)小朋友，每人分幾塊？算式是$\frac{4}{5}\div2$，這里的除法意義與整數(shù)除法有何相同？（已知$2\times每人分到的數(shù)量=\frac{4}{5}$）問題3：如果把$\frac{4}{5}$塊糖分給$\frac{2}{3}$個(gè)小朋友（虛擬情境，幫助抽象），每人分幾塊？算式是$\frac{4}{5}\div\frac{2}{3}$，此時(shí)除法的意義是否變化？（仍然是“已知$\frac{2}{3}\times每人分到的數(shù)量=\frac{4}{5}$”）通過這樣的對比，學(xué)生能直觀感受到：分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義本質(zhì)相同，只是“另一個(gè)因數(shù)”從整數(shù)擴(kuò)展到了分?jǐn)?shù)。2要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘它的倒數(shù)”是分?jǐn)?shù)除法的核心算法，但學(xué)生常疑惑：“為什么可以這樣轉(zhuǎn)化？”要解決這個(gè)疑惑，需通過直觀模型（如面積模型、線段圖）和代數(shù)推理（等式變形）雙重路徑，揭示算理的本質(zhì)。2要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用2.1直觀模型驗(yàn)證：以“面積模型”為例例如，計(jì)算$\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}$，可以理解為“已知一個(gè)長方形的面積是$\frac{2}{3}$，其中一條邊長是$\frac{1}{2}$，求另一條邊長”。根據(jù)長方形面積公式，另一條邊長=面積÷邊長，即$\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}$。我們可以用單位1的正方形表示面積1，將其橫向平均分成3份，取其中2份表示$\frac{2}{3}$（見圖1）。已知一條邊長是$\frac{1}{2}$，即縱向的邊長為$\frac{1}{2}$，那么橫向的邊長需要滿足：$\frac{1}{2}\times橫向邊長=\frac{2}{3}$。為了找到橫向邊長，我們可以將整個(gè)正方形縱向平均分成2份（每份是$\frac{1}{2}$），此時(shí)原來的$\frac{2}{3}$面積在縱向$\frac{1}{2}$的范圍內(nèi)，橫向需要覆蓋多少份？2要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用2.1直觀模型驗(yàn)證：以“面積模型”為例通過觀察圖1，$\frac{2}{3}$的面積在縱向$\frac{1}{2}$的區(qū)域內(nèi)，橫向需要覆蓋$\frac{2}{3}\times2=\frac{4}{3}$份（因?yàn)榭v向每份是$\frac{1}{2}$，2份就是1，所以橫向邊長是$\frac{2}{3}\times2$）。因此，$\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\times2=\frac{4}{3}$，而2是$\frac{1}{2}$的倒數(shù)，由此驗(yàn)證了“除以分?jǐn)?shù)等于乘倒數(shù)”的合理性。2要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用2.2代數(shù)推理驗(yàn)證：從等式變形到一般化設(shè)$a\divb=x$（$b\neq0$），根據(jù)除法的意義，$b\timesx=a$。兩邊同時(shí)乘$\frac{1}$（$b$的倒數(shù)），得到$x=a\times\frac{1}$，因此$a\divb=a\times\frac{1}$。這一推理過程適用于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，揭示了“除以一個(gè)數(shù)等于乘它的倒數(shù)”是除法意義的必然結(jié)果，而非人為規(guī)定的“技巧”。3.3要素三：算法的結(jié)構(gòu)化掌握——從“操作步驟”到“思維程序”在理解算理的基礎(chǔ)上，算法的掌握需要經(jīng)歷“具體情境→抽象規(guī)則→靈活應(yīng)用”的過程。分?jǐn)?shù)除法的算法可總結(jié)為“三步驟”：變號：將除號變?yōu)槌颂枺?要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用2.2代數(shù)推理驗(yàn)證：從等式變形到一般化變倒數(shù)：將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)；計(jì)算：按照分?jǐn)?shù)乘法的法則進(jìn)行計(jì)算（分子乘分子，分母乘分母，能約分的先約分）。但教學(xué)中需避免讓學(xué)生死記“三步驟”，而是引導(dǎo)其關(guān)聯(lián)算理。例如，計(jì)算$\frac{5}{6}\div\frac{3}{4}$時(shí)，學(xué)生應(yīng)能解釋：“因?yàn)槌?\frac{3}{4}$等于乘它的倒數(shù)$\frac{4}{3}$，所以$\frac{5}{6}\times\frac{4}{3}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}$?！蓖瑫r(shí)，要注意對比不同類型的分?jǐn)?shù)除法，幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化掌握：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（如$\frac{4}{5}\div2$）：可理解為“平均分成2份，每份是$\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}$”，與“乘倒數(shù)”一致；2要素二：算理的本質(zhì)理解——“轉(zhuǎn)化”思想的具體應(yīng)用2.2代數(shù)推理驗(yàn)證：從等式變形到一般化整數(shù)除以分?jǐn)?shù)（如$6\div\frac{2}{3}$）：可理解為“6里面包含多少個(gè)$\frac{2}{3}$”，即$6\times\frac{3}{2}=9$；分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)（如$\frac{3}{4}\div\frac{5}{8}$）：統(tǒng)一用“乘倒數(shù)”計(jì)算，結(jié)果可能是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或帶分?jǐn)?shù)。4要素四：實(shí)際問題的建模應(yīng)用——從“解題”到“用數(shù)學(xué)”大概念理解的最終目標(biāo)是應(yīng)用。分?jǐn)?shù)除法的實(shí)際問題主要涉及兩類模型：3.4.1模型1：已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)這類問題是分?jǐn)?shù)乘法問題的逆運(yùn)算。例如：“某班男生人數(shù)是女生的$\frac{2}{3}$，已知男生有16人，女生有多少人？”其數(shù)學(xué)模型為：$女生人數(shù)\times\frac{2}{3}=16$，因此$女生人數(shù)=16\div\frac{2}{3}=24$。教學(xué)中，可通過“畫線段圖”幫助學(xué)生明確“量率對應(yīng)”關(guān)系：先畫女生人數(shù)為單位“1”，平均分成3份，男生占2份（對應(yīng)16人），則每份是$16\div2=8$人，女生總?cè)藬?shù)是$8\times3=24$人，這與$16\div\frac{2}{3}=24$的計(jì)算結(jié)果一致，驗(yàn)證了模型的正確性。4要素四：實(shí)際問題的建模應(yīng)用——從“解題”到“用數(shù)學(xué)”3.4.2模型2：求單位時(shí)間/單位面積的量（即“速率問題”）例如：“一輛汽車$\frac{3}{4}$小時(shí)行駛了60千米，1小時(shí)行駛多少千米？”其數(shù)學(xué)模型為：$速度\times\frac{3}{4}=60$，因此$速度=60\div\frac{3}{4}=80$千米/小時(shí)。這類問題可通過“歸一法”理解：$\frac{3}{4}$小時(shí)行駛60千米，那么$\frac{1}{4}$小時(shí)行駛$60\div3=20$千米，1小時(shí)（4個(gè)$\frac{1}{4}$小時(shí)）行駛$20\times4=80$千米，即$60\div\frac{3}{4}=60\times\frac{4}{3}=80$，同樣驗(yàn)證了“除以分?jǐn)?shù)等于乘倒數(shù)”的應(yīng)用。04分?jǐn)?shù)除法大概念的教學(xué)策略設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)除法大概念的教學(xué)策略設(shè)計(jì)基于上述核心要素，教學(xué)中需采用“理解導(dǎo)向”的策略，從“教師講授”轉(zhuǎn)向“學(xué)生探究”，從“結(jié)果記憶”轉(zhuǎn)向“過程建構(gòu)”。以下是具體的教學(xué)建議：1情境導(dǎo)入：用“真實(shí)問題”激活前概念策略描述：選擇學(xué)生熟悉的生活情境（如分食物、行程問題、工程問題），設(shè)計(jì)“認(rèn)知沖突”問題，引發(fā)學(xué)生對“分?jǐn)?shù)除法必要性”的思考。案例設(shè)計(jì)：教師出示問題：“小明有$\frac{3}{4}$塊蛋糕，他想分給$\frac{1}{2}$個(gè)小朋友（虛擬情境，幫助抽象），每個(gè)小朋友能分到多少塊？”學(xué)生可能疑惑：“$\frac{1}{2}$個(gè)小朋友怎么分？”教師引導(dǎo)：“這里的$\frac{1}{2}$個(gè)小朋友可以理解為‘按1個(gè)小朋友的$\frac{1}{2}$比例分配’，實(shí)際是求‘$\frac{3}{4}$塊蛋糕是$\frac{1}{2}$個(gè)小朋友的量，1個(gè)小朋友的量是多少’。”通過這一情境，學(xué)生自然聯(lián)想到“已知部分量求總量”需要用除法，從而激活“除法是乘法逆運(yùn)算”的前概念。2操作探究：用“直觀模型”理解算理策略描述：提供學(xué)具（如圓形紙片、方格紙），讓學(xué)生通過折一折、畫一畫、算一算，自主探究分?jǐn)?shù)除法的算理。案例設(shè)計(jì)：教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，教師讓學(xué)生用方格紙表示$\frac{2}{3}$平方米的菜地，已知每$\frac{1}{4}$平方米種1棵菜，求能種多少棵菜。學(xué)生操作步驟：畫出1平方米的方格紙（4×4=16格，每格$\frac{1}{16}$平方米）；標(biāo)出$\frac{2}{3}$平方米（約10.67格）；2操作探究：用“直觀模型”理解算理每$\frac{1}{4}$平方米（4格）種1棵菜，計(jì)算$\frac{2}{3}$平方米包含多少個(gè)$\frac{1}{4}$平方米：$\frac{2}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{2}{3}\times4=\frac{8}{3}$棵。通過操作，學(xué)生直觀看到“除以$\frac{1}{4}$相當(dāng)于乘4”，理解“倒數(shù)”的本質(zhì)是“單位量的轉(zhuǎn)換”。3對比聯(lián)結(jié)：用“知識網(wǎng)絡(luò)”深化理解策略描述：設(shè)計(jì)對比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)乘法、比的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。案例設(shè)計(jì)：教師出示三組題目：（1）整數(shù)除法：$12\div3=4$，表示“12里有4個(gè)3”；（2）分?jǐn)?shù)乘法：$12\times\frac{1}{3}=4$，表示“12的$\frac{1}{3}$是4”；（3）分?jǐn)?shù)除法：$4\div\frac{1}{3}=12$，表示“4是$\frac{1}{3}$的12倍”。引導(dǎo)學(xué)生思考：“這三組算式有什么聯(lián)系？”學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：除法是乘法的逆運(yùn)算，分?jǐn)?shù)除法的結(jié)果是“已知部分量求總量”，與比“前項(xiàng)÷后項(xiàng)=比值”的結(jié)構(gòu)一致。4錯(cuò)誤資源化：用“典型錯(cuò)誤”促進(jìn)深度思考策略描述：收集學(xué)生常見錯(cuò)誤（如$\frac{2}{3}\div\frac{1}{2}=\frac{2\div1}{3\div2}=\frac{2}{1.5}$），組織學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，強(qiáng)化算理理解。案例設(shè)計(jì)：教師展示錯(cuò)誤算式：“$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3\div2}{4\div5}=\frac{1.5}{0.8}=\frac{15}{8}$”，提問：“這個(gè)計(jì)算對嗎？為什么？”學(xué)生討論后得出：“分?jǐn)?shù)除法不能直接除分子和分母，因?yàn)?\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$表示‘已知$\frac{2}{5}\times