高一數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章至第四章。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合A={x|4-x>1},B=N,則A∩B=

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2}D.[0,3]

2.若命題p:Vx∈R,x2—20x+100≥0,則

A.p為假命題B.p為存在量詞命題

C.p的否定：Vx∈R,x2—20x+100<0D.p的否定：3x∈R,x2-20x+100<0

3.已知1≤x≤3,6≤y≤12,則y-x的取值范圍為

A.[3,11]B.[5,9]C.[3,9]D.[5,11]

,則xy的最小值為

A.2√10B.2√5C.20D.400

5.如圖，現(xiàn)有四個電路圖，已知p:燈泡L亮，q:開關(guān)S?閉合，則符合p是q的必要不充分條件

的電路圖是

ABCD

6.函數(shù)f(x)=-3x2+6|x|+3-11的零點個數(shù)為

A.0B.2C.3D.4

7.已知,b=1g11,則

A.a>b>1B.a>1>bC.b>a>1D.b>1>a

8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,十∞]上單調(diào)遞增，定義在(一∞,0)U(0,十∞)上的奇函數(shù)

g(x)滿足當(dāng)x>0時，g(x)=lnx.若f(5)=0,則不等式g(x)f(x)<0的解集是

A.(一5,—1)U(1,5)B.(一∞,-5)U(5,十∞)

C.(一5,一1)U(0,1)U(5,十∞)D.(一∞,一5)U(-1,0)U(1,5)

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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)x°.若,則

A.m=2B.f(x?+1)<f(x2)

C.f(x)的圖象恒過點(0,0)D.f(x)的圖象不過第二象限

10.已知m,n是關(guān)于x的方程162-2b·42+b2—9=0的兩個不相等的根.若m+n=2,則

C

A.b=5或b=-5B.4mn=3D.2“+2”=3√2

11.已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=8一f(x),f(x+8)=8一f(一x),則

A.f(x+8)=f(x)

B.f(x)的圖象關(guān)于點(4,4)對稱

C.函數(shù)g(x)=f(x)-4為奇函數(shù)

D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(887)+f(888)=1776

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)的定義域為▲_·

13.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是▲·

14.十干是中國傳統(tǒng)歷法術(shù)語，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個天干符號.十二地支，

又稱十二支，分別為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作為中國農(nóng)歷數(shù)字系統(tǒng)的重

要組成部分，十干與十二地支組合形成干支紀(jì)元法，被廣泛應(yīng)用于歷法推算、時間記錄及傳

統(tǒng)文化領(lǐng)域.現(xiàn)有關(guān)于十干的轉(zhuǎn)譯函數(shù)其中甲=1,乙=

2,…,癸=10;關(guān)于十二地支的轉(zhuǎn)譯函數(shù)其中子=91,丑

=92,…,亥=102.若甲戌轉(zhuǎn)譯后為己辰(代入后以函數(shù)值所對應(yīng)的十干和十二地支為新的

結(jié)果),則辛丑轉(zhuǎn)譯前為▲_·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

(1)計算：

(2)已知10“=3,10?=2,試用a,b表示log?612.

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16.(15分)

某智能多媒體企業(yè)的年利潤y(單位：萬元)與年研發(fā)成本x(單位：萬元)的函數(shù)關(guān)系式為y

=tlog?x—5t(x>32,t∈R).當(dāng)年研發(fā)成本為128萬元時，該企業(yè)的年利潤為320萬元.

(1)求t的值；

(2)若該企業(yè)下一年的年利潤不少于480萬元，試問下一年的年研發(fā)成本至少應(yīng)為多少

萬元?

17.(15分)

已知函數(shù)f(x)滿足(x2+2x+5)f(x+1)=20x+20.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的值域；

(3)設(shè)集合A={a∈N*|f(a)∈N*},請用列舉法表示A.

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18.(17分)

已知函數(shù),f(1)=17.

(1)求a的值；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在[2,十∞]上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)函數(shù)h(x)=4?一b·2?+1+a,若對于任意m∈[1,2],存在n∈[2,4],使得不等式

h(m)≥f(n)成立，求b的取值范圍.

19.(17分)

設(shè)P,Q是兩個非空數(shù)集，若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意a,b∈R,當(dāng)a-b∈P時，f(a)

一f(b)∈Q,則稱f(x)為P到Q的雙界函數(shù).

(1)設(shè)P=[1,2],Q=[4,16],f(x)=tx+m.

(i)證明：當(dāng)t=5時，f(x)是P到Q的雙界函數(shù).

(ii)若f(x)是P到Q的雙界函數(shù)，求t的取值范圍.

(2)若P={2},Q={3},f(x)是P到Q的雙界函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)=x+e2,求

f(x)在(2026,十∞)上的最小值.

(3)設(shè)集合A=B={n·2”},其中m∈R,n∈N".若P=Q=[2”,2"+1],f(x)是P到Q的

雙界函數(shù)，證明：f(x)是A到B的雙界函數(shù).

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高一數(shù)學(xué)試題參考答案

1.BA={x|x<3},則A∩B={0,1,2}.

2.D因為x2—20x+100=(x—10)2≥0,所以p為真命題，A錯誤.p為全稱量詞命題，B錯

誤.p的否定：3x∈R,x2—20x+100<0,C錯誤，D正確.

3.A根據(jù)題意可得-3≤-x≤-1,所以3≤y-x≤11.

因,所以xy>0,則

4.C,所以,所L

,得xy≥20,當(dāng)且僅,即x=y=2√5時，等號成立.

5.C若p是q的必要不充分條件，則燈泡L亮不可以推出開關(guān)S?閉合，且開關(guān)S?閉合能推

出燈泡L亮，故選C.

6.B易得f(x)的定義域為R,且f(一x)=-3(一x)2+6|-x|+

3-I-z1=-3x2+6|x|+3-I1=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0

時，f(x)=-3x2+6x+3?2.令f(x)=0,可得3x2—6x=3?1.畫出

函數(shù)y=3x2—6x與y=3?1在(0,十∞)上的大致圖象，如圖所示，易

得y=3x2—6x與y=3?1在(0,十∞)上的圖象的交點個數(shù)為1,所以

f(x)在(0,十∞)上的零點個數(shù)為1.又因為f(x)為偶函數(shù)，f(0)=

1≠0,所以f(x)的零點個數(shù)為2.

7.Ab=1g11>1g10=1,0<1g9<1g10=1,得a>1.因為

,所以a>b.

故a>b>1.

8.D根據(jù)題意可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且

f(一5)=0.因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)的圖象

關(guān)于原點對稱.畫出g(x)的大致圖象，如圖所示，不

妨設(shè)f(x)的圖象如圖所示，易得g(x)與f(x)的函

數(shù)值異號的區(qū)間為(一∞,-5),(-1,0),(1,5),所

以不等式g(x)f(x)<0的解集是(一∞,一5)U

(一1,0)U(1,5).

9.ACD根據(jù)題意可得m—1=1,解得m=2,A正確.因為a>0,所以f(x)在[0,十∞]上單調(diào)

遞增，因為x?+且所以f(x?+1)>f(x2),B

錯誤.易得f(x)的圖象恒過點(0,0),且不過第二象限，C正確，D正確.

【高一數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共5頁)】·26-161A1·

10.BD令t=4*,則t>0,根據(jù)題意可得關(guān)于t的方程t2—2bt+b2-9=0有兩個不相等的正

根，所以解得b>3.易得4”·4”=b2—9,因為m+n=2,所以42=

b2—9,解得b=5或b=-5(舍去),A錯誤.易得4“+4”=2b=10,即4”+42-m=10,所以

4”=2或4”=8,解得.故

或.當(dāng)時，;當(dāng)時，

則4mn=3,B正確.Im-n|=1,C錯誤.2”+2”=22+23=√2+2√2=3√2,D正確.

11.ABC對于f(x+4)=8—f(x),以x+4代替x,得f(x+8)=8-f(x+4)=8一[8一

f(x)]=f(x),A正確.因為f(x+8)=8-f(一x),所以f(x+8)+f(一x)=8,所以

f(x)的圖象關(guān)于點(4,4)對稱，B正確.將f(x+8)=f(x)代入f(x+8)+f(一得

f(x)+f(一x)=8,所以g(x)+g(一x)=f(x)-4+f(一x)-4=0,所以g(x)=

f(x)—4為奇函數(shù)，C正確.由f(x+4)=8-f(x),可得f(x+4)+f(x)=8,則f(1)+

f(5)=f(2)+f(6)=f(3)+f(7)=f(4)+f(8)=8,所以f(1)+f(2)+f(3)+…十

f(887)+f(888)=111×4×8=3552,D錯誤.

12.(0,1)由解得0<x<1,即f(x)的定義域為(0,1).

13.由題意

解得

14.丙未依題意得辛=8,丑=92.當(dāng)f(x)=8時，x+5=8,解得x=3,易得丙=3.當(dāng)g(x)=

92時，x—6=92,解得x=98,易得未=98.故辛丑轉(zhuǎn)譯前為丙未.

15.解：(1))………………2分

=(lg2+1g50)—1+33…………4分

=lg100-1+27=2—1+27=28.………………5分

(2)由題意得a=lg3,…………………6分

b=lg2,……7分

…………9分

則

……………11分

………………………12分

……………13分

【高一數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共5頁)】·26-161A1·

16.解：(1)當(dāng)x=128時，y=320,,………3分

解得t=160.……………6分

(2)令y≥480,可得480≤160log?x-800,則log?x≥8,10分

解得x≥256,………………………13分

所以下一年的年研發(fā)成本至少應(yīng)為256萬元.…………15分

17.解：(1)(方法一)因為x2+2x+5=(x+1)2+4≠0,所以,……1分

令t=x+1,t∈R,則x=t-1,則,………………3分

即………………………4分

(方法二)因為[(x+1)2+4]f(x+1)=20(x+1),…………………1分

所以,……………2分

所以……………………4分

(2)易得f(x)的定義域為R,且,所以f(x)是奇函數(shù).…5分

當(dāng)x=0時，f(0)=06分

當(dāng)x>0時……………8分

故f(x)的值域為[-5,5].……………9分

(3),則kx2—20x+4k=0,△=400—16k2≥0,解得1≤k≤5.………

…………………10分

當(dāng)k=1,2時，√400-16k2均為無理數(shù)，不符合題意；…………………11分

當(dāng)k=3時，方程3x2—20x+12=0,即(3x-2)(x-6)=0,解得x=6或(舍去);

………………12分

當(dāng)k=4時，方程4x2—20x+16=0,即4(x-1)(x-4)=0,解得x=1或x=4;……13分

當(dāng)k=5時，方程5x2—20x+20=0,即5(x-2)2=0,解得x=214分

故A={1,2,4,6}.…………………15分

18.(1)解：根據(jù)題意可得,…………1分

所以a=16.…………2分

(2)證明：由(1)得

【高一數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共5頁)】·26-161A1·

任取x?則

…4分

……………6分

因為x?>x?≥2,所以x?x?>4

所以In(x?x?)>0,l

所以f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),故f(x)在(2,十∞)上單調(diào)遞增.………8分

(3)解：記h(x)在[1,2]上的最小值為h(x)min,f(x)在[2,4]上的最小值為f(x)min,

所以對于任意m∈[1,2],存在n∈[2,4],使得不等式h(m)≥f(n)成立，即h(x)mn≥

f(x)mm.…9分

由(2)知f(x)在[2,+∞]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(2)=(ln2)2+1210分

令t=2#,則t∈[2,4],g(t)=t2—2bt+16,得h(x)mn=g(t)min·

當(dāng)b≤2時，g(t)在[2,4]上單調(diào)遞增，所以g(t)min分

所以20-4b≥(In2)2+12,解得,因為,所以

………………12分

當(dāng)b≥4時，g(t)在[2,4]上單調(diào)遞減，所以g(t)mn=g(4)=分

所以32-8b≥(1n2)2+12,解得,所以b≥4不符合

題意；……………………14分

當(dāng)2<b<4時，g(t)在[2,b]上單調(diào)遞減，在[b,4]上單調(diào)遞增，所以g(t)mn=g(b)=-b2+

16,………………15分

所以—b2+16≥(ln2)2+12,解得b2≤4-(ln2)2,因為4<b2<16,所以2<b<4不符合

題意.…………………16分

綜上，b的取值范圍.……………17分

19.(1)(i)證明：當(dāng)a—b∈P,即1≤a-b≤2時，f(a)一f(b)=(5a+m)一(5b+m)=5(a一

b),則5≤5(a—b)≤10,即f(a)一f(b)∈[5,10],……………1分

因為[5,10][4,16],所以f(a)-f(b)∈Q,所以當(dāng)t=5時，f(x)是P到Q的雙界函數(shù).

…………………2分

(ii)解：若f(x)是P到Q的雙界函數(shù)，則當(dāng)a-b∈P,即1≤a-b≤2時，

4≤f(a)—f(b)=(ta+m)—(tb+m)=t(a—b)≤16恒成立.…………3分

【高一數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共5頁)】·26-161A1·

恒成立.……………………4分

即

因為,所以4≤t≤8,即t的取值范圍為[4,8].……………5分

(2)解：依題意得，當(dāng)a—b=2時，f(a)-f(b)=3,

所以f(b+2)一f(