安徽省淮南市和淮北市2025屆高三上學期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|(x+1)(x-2)<0}，B={x|0<x<3}，則A∩B=A.(0,2)B.(-1,3)C.(0,1)D.(-2,3)2.已知復數(shù)z=1+3iA.-1B.0C.1D.23.“a=2”是“直線x+ay-1=0與直線4x-ay+1=0垂直”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.權(quán)，是中國傳統(tǒng)度量衡器具，歷史悠久，文化底蘊深厚，承載著中華民族在政治、經(jīng)濟、文化方面的大量信息．“環(huán)權(quán)”類似于砝碼(如下圖)，用于測量物體質(zhì)量．已知九枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列{an}，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且a2=2，a4=6，A.194B.193C.192D.1915.下列各式的值為12A.sin15°cos15°B.6.已知正三角形的三個頂點坐標分別為(1,1)，(2,2)，(m,n)，若m>1，則n=A.22B.32C.3-7.定義在[0,2]上的函數(shù)f(x)=xm(2-x)n的A.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,1)8.已知點A(2,0)，B(4,0)，P是直線y=x上的動點，B在直線AP上的投影為Q，則|PQA.3B.72C.4D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1A.直線A1C//平面PMNB.直線BD1⊥平面PMNC.直線AD1與MN的夾角為6010.已知函數(shù)f(x)=1-A.函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線B.f(ln4)=1-4e2C.f(ln6)<f11.如圖，點P(a,b)是以(1,0)，(0,1)，(-1,0)，(0,-1)為頂點的正方形邊上的動點，角θ以O(shè)x為始邊，OP為終邊，定義S(θ)=b|a|+|b|，C(θ)=A.Sπ4=12，C(π)=1B.Sθ+π2=C(θ)C.函數(shù)y=S(x)，x∈0,π2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知f(x)為奇函數(shù)，當x>0時f(x)=log2x，則13.若a，b>0，且ab=2a+b+16，則ab的最小值為

.14.如圖，點M，N分別是正四棱錐P-ABCD的棱PA，PC的中點，設(shè)PD∩平面BMN=Q，則PQ與PD長度之比為

，四棱錐P-ABCD被平面BMN分成上下兩部分體積之比為

.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanB=2cos(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若D為AB邊上任意一點，作AE⊥CD于E，設(shè)∠BCD=θ，試用θ表示AECD，并求AE16.(本小題12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=2AD，點M在線段PD(Ⅰ)求證：AM⊥平面PCD；(Ⅱ)求平面MAC與平面PAB夾角的余弦值．17.(本小題12分)在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x-a)2+(y+2a-4)(Ⅰ)若圓心C在直線x+y-3=0上，過點P作圓C的切線，求切線方程；(Ⅱ)若圓C上存在點Q，使|PQ|=2|OQ|，求a的取值范圍．18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)(Ⅰ)求證：當x>0時，f(x)<x(Ⅱ)若x>0時，f(x)>ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(Ⅲ)求證：對任意n∈N*，e19.(本小題12分)已知無窮數(shù)列{an}滿足：an(Ⅰ)若a1=1，a3(Ⅱ)若a1=a2=1，an+1≥(Ⅲ)若數(shù)列{an}存在最大項，證明：存在m∈N答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題．先把集合A解出來，然后求A∩B即可.【解答】解：因為集合A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2}，所以A∩B=(0,2)，故選：A.2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了復數(shù)的四則運算和復數(shù)的概念.

利用復數(shù)的四則運算得z=i，再利用復數(shù)的概念得結(jié)論.

【解答】解：因為復數(shù)z=1+3i33.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查充分條件和必要條件以及直線垂直的等價條件，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線垂直的等價條件進行判斷即可．【解答】解：①當a=2時，兩方程可化為x+2y-1=0，4x-2y+1=0，斜率分別為-12和2，∴兩直線垂直，∴充分性成立，②x+ay-1=0與直線4x-ay+1=0垂直，則4×1+a×(-a)=0，∴a=±2，∴必要性不成立，∴a=2”是“直線x+ay-1=0與直線4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，求出后7項的公比，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【解答】解：因為后7項成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且a4=6，a9=192，所以q5=a9a4=32，所以q=2，則a35.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查二倍角公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．由條件利用二倍角公式求得各個選項中式子的值，從而得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)sin15°cos15°=126.【答案】D

【解析】【分析】本題考查兩條直線垂直的判定及應用、點斜式方程、兩點間的距離公式，屬于一般題.設(shè)A(1,1)，B(2,2)，Cm,n，求出直線AB的中垂線方程，得出n=3-m，再由|AC|=|AB|，得出m-12【解答】解：設(shè)A(1,1)，B(2,2)，Cm,n，則AB的重點坐標為32,32，kAB=2-12-1=1，，所以AB中垂線的方程為y-32=-x+32，即x+y-3=0，則C點在直線x+y-3=0，即m+n-3=0，即n=3-m，又因為△ABC為正三角形，所以|AC|=|AB|，則7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性，屬于一般題.由由圖像可知，當x∈0,a時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈a,2時，函數(shù)單調(diào)遞減，其中1<a<2【解答】解：由圖像可知，當x∈0,a時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈a,2時，函數(shù)單調(diào)遞減，其中1<a<2，A選項，當(m,n)為(1,2)時，函數(shù)fx=x2-x2=x4-4x+x2=x3-4x2+4x，則f'x=3x2-8x+4，由f'x>0，得x>2或x<23，由f'x<0，得23<x<2，所以函數(shù)在0,23上單調(diào)遞增，在23,2上單調(diào)遞減，不符合題意，故A錯誤；B選項，當(m,n)為(1,3)時，函數(shù)fx=x2-x3，則f'x=2-x3-3x2-x2=22-x21-2x，當x∈0,128.【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.利用B在直線AP上的投影為Q，所以Q的軌跡是以AB為直徑的圓，圓心為D(3,0)，半徑為1，過P作圓的切線PC，切點為C，則|PQ|?|PA|=PC2【解答】解：因為B在直線AP上的投影為Q，所以Q的軌跡是以AB為直徑的圓，圓心為D(3,0)，半徑為1，過P作圓的切線PC，切點為C，則|PQ|?|PA|=PC2，所以|PQ|?|PA|的最小值為PC2的最小值，PC2=PA2-1，而D到直線y=x9.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、異面直線所成的角、面面平行的性質(zhì)，屬于中檔題.利用線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、異面直線所成的角、面面平行的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.【解答】解：對于A，連接AC，AB1,CB1，則因為M，N是對應棱的中點，所以MN//AC，因為MN?平面AB1C，AC?平面AB1C，所以MN//平面AB1C，同理PM//平面AB1C，因為PM∩MN=M，PM,MN?平面PMN，所以平面PMN//平面AB1C，因為直線A1C不平行平面AB1C，所以直線A1C不平行平面PMN，A錯誤；因為BD⊥AC，AC⊥D1D，BD∩D1D=D，BD,D1D?平面BD1，所以AC⊥平面BD1，因為BD1?平面BD1，所以BD1⊥AC，同理可得，BD110.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與圖象，屬于中檔題.利用函數(shù)f(x)=1-e【解答】解：由題意，0<x≤1時，f(x)=f(x-1)=1-ex-1，x=0，x→1-1e，又f(0)=1，所以可知函數(shù)f(x)的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，A錯誤；1<x≤2，0<x-1≤1時，f(x)=f(x-1)=1-ex-2，所以f(ln4)=1-eln4-2=1-4e2，B正確；f(ln6)=1-eln6-2=1-6e2，f(-12)=1-e11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查曲線與方程，屬于難題.利用條件，結(jié)合對稱性及正弦函數(shù)面積的計算方法得出結(jié)論.【解答】解：由題意，θ=π4，a=b>0，則Sπ4=12，θ=π，a=-1，b=0，所以C(π)=-1，A錯誤；角θ以O(shè)x為始邊，OP為終邊，P(a,b)，則θ+π2以O(shè)x為始邊，OQ為終邊，A(b,a)，所以S(θ+π2)=a|a|+|b|=C(θ)，B正確；由題意，0≤a≤1,0≤b≤1，所以S(θ+π2)+S(θ)=C(θ)+S(θ)=aa+b+ba+b=1，所以函數(shù)y=S(x)，x∈0,π2的圖象關(guān)于點π4,12對稱，C正確；在第一象限，a+b=1，所以S(θ)=b|a|+|b|=b，0<b<112.【答案】-3

【解析】【分析】本題主要考查了奇函數(shù)定義在函數(shù)求值中的應用，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)奇函數(shù)的定義和對數(shù)運算求解．【解答】解：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(-8)=-f(8)=-log213.【答案】32

【解析】【分析】本題考查基本不等式求最值的基本應用，屬于基礎(chǔ)題.由基本不等式，根據(jù)條件ab=2a+b+16可得關(guān)于ab的不等式，解之即可.【解答】解：由于a，b>0，則ab=2a+b+16≥22ab+16，即(ab+22)(ab-42)≥0，于是ab14.【答案】13

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1【解析】【分析】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查棱錐體積的計算，屬于中檔題．利用三角形中位線的性質(zhì)得出結(jié)論；利用棱錐的體積公式計算可得結(jié)論.【解答】解：連接MN，AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OP，設(shè)MN∩OP=H，因為M，N為棱PA，PC的中點，所以MN//AC，則H為OP的中點，延長BH交PD于點Q，取QD的中點E，連接EO，則EO//QH，所以Q為PD的三等分點，所以PQ與PD長度之比為13；不妨設(shè)PA=2，AB=2，則PO=3，BD=2，PQ=23，因為平面PBD⊥平面BMN，且BE為交線，所以P到平面BMN的距離等于P到直線BE的距離，BH=BO2+OF2=12+(322)=72,PF=32,PB=2，在△PBH中，由余弦定理得cos∠PBH=22+(15.【答案】解：(Ⅰ)因為b2+c2-a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=32，所以tanB=2cosA=3，故B=π3.(Ⅱ)由(Ⅰ【解析】本題考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.(Ⅰ)由余弦定理得cosA=32，可得B的值；(Ⅱ)易得△ABC為直角三角形，在△BCD中，由正弦定理得CD=3BC2sin(2π16.【答案】解：設(shè)AD=2，則PA=PD=22，AD中點為O，BC中點為E，分別以O(shè)E，OD，OP為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，(Ⅰ)A(0,-1,0)，B(2,-1,0)C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,7)，M(0,34,74)，AM=(0,74,74)，PD=(0,1,-7)，CD=(-2,0,0)，所以AM?PD=0，AM?CD=0，故AM⊥PD，AM⊥CD，因為PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，所以AM⊥平面PCD.(Ⅱ)設(shè)n1=(x1,y1,【解析】本題考查了線面垂直的向量表示和平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.(Ⅰ)設(shè)AD=2，建立空間直角坐標系，易得AM?PD=0，AM?CD=0，故AM⊥PD，AM⊥CD，利用線面垂直的判定即可得證；(Ⅱ)17.【答案】解：(Ⅰ)因為圓心C(a,-2a+4)在直線x+y-3=0上，所以a-2a+4-3=0，即a=1，所以圓心C的坐標為(1,2).(i)當過P點的切線斜率存在時，方程可設(shè)為y=kx-3，即kx-y-3=0，則|k-5|1+k2=1，解得k=125，得切線方程為y=125x-3.(ii)當過A點切線斜率不存在時，直線x=0也滿足，綜上，所求直線方程為x=0或12x-5y-15=0.(Ⅱ)設(shè)點Q(x,y)，C(a,-2a+4)，由|PQ|=2|OQ|，化簡得：x2+(y-1)2=4.點Q的軌跡為以C'(0,1)為圓心，2

【解析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，是中檔題.(Ⅰ)由圓心C(a,-2a+4)在直線x+y-3=0上，得出a的值，再分切線斜率存在和不存在兩種情況求解即可；(Ⅱ)設(shè)點Q(x,y)，C(a,-2a+4)，由|PQ|=2|OQ|，得出點Q的軌跡方程，易得圓C與圓C'的關(guān)系為相交或相切，則1≤|CC'|≤3，計算即可.18.【答案】解：(Ⅰ)設(shè)g(x)=f(x)-x22-x，x∈[0,+∞),則g'(x)=ln(x+1)-x，令φ(x)=ln(x+1)-x，則φ'(x)=-xx+1≤0，所以g'(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，又g'(0)=0，所以g'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立，所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，又g(0)=0，所以g(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以當x>0時，f(x)<x22+x.(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)-ax，