第第頁廣東省深圳市龍華區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．已知集合A=?1,0,1,B=x∣A．?1,0 B．?1,1 C．0,1 D．?1,0,1【答案】A【解析】【解答】解：解一元二次不等式x2+x?2<0，可得-2<x<1，即集合B=-2,1，

因?yàn)锳=故答案為：A.【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.2．已知命題p：所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；命題q：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).則（）A．p和q都是真命題 B．?p和?q都是真命題C．?p和q都是真命題 D．p和?q都是真命題【答案】C【解析】【解答】解：2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，則命題p是假命題，q是真命題，?p是真命題，?q是假命題，故?p和q都是真命題.故答案為：C.【分析】根據(jù)素?cái)?shù)，結(jié)合命題的否定以及命題真假的關(guān)系判斷即可.3．設(shè)函數(shù)fx是定義在R上的周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈?2,0時(shí)，fxA．?2 B．0 C．2 D．6【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在R上的周期為4的偶函數(shù)，所以f又因?yàn)楫?dāng)x∈?2,0時(shí)，fx=x+1故答案為：B.【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及周期性求解即可.4．已知a=1.1A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】A【解析】【解答】解：易知c=log0.51.1<log0.51<0，

故答案為：A.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a，b，c的大小關(guān)系即可.5．已知tanα=?2，則cosA．?45 B．?35 C．【答案】B【解析】【解答】解：tanα=?2則cos2α=故答案為：B.【分析】利用余弦的二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系齊次化求值即可.6．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：ms）可以表示為v=k?log3Q100（k為常數(shù)），其中QA．600 B．700 C．800 D．900【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得：0.5=k?log3300100，解得當(dāng)v=1m/s時(shí)，則1=12log3故答案為：D.【分析】由題意，將v=0.5ms代入v=k?log37．函數(shù)fx=3A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)fx=3排除A；當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)=0，可得x=1，排除D；當(dāng)x→+∞時(shí)，y=ex故答案為：C.【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性即可判斷A；再由函數(shù)零點(diǎn)及函數(shù)值變化趨勢即可判斷BCD.8．已知函數(shù)fx=tanA．0,π4 B．π4,π2【答案】D【解析】【解答】解：令fx=tanx+π3?sinx=0，可得tanfπf3f(π由零點(diǎn)存在定理及圖象可知，函數(shù)fx在π2,故答案為：D.【分析】令fx=0，可得tanx+π3二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知a>b>0,c>0，則（）A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c>bc C．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由不等式性質(zhì)，a>b>0,c>0，則ac>bc，故A正確；B、函數(shù)y=xc在0,+∞C、c>0，函數(shù)y=cx的單調(diào)性不確定，則D、b+ca+c?b所以b+ca+c?b故選答案為：ABD.【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷C；作差比較即可判斷D.10．下列關(guān)于函數(shù)fxA．fxB．fxC．fx的最大值是D．若0<a<12，則方程【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、函數(shù)fx=xx2B、當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=1x+1x，由對勾函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在C、因?yàn)閒x為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，由B知函數(shù)的最大值為f(1)=12，可得fD、由AB可作出函數(shù)大致圖象，如圖所示：由圖可知，當(dāng)0<a<12時(shí)，方程故答案為：ACD.【分析】求函數(shù)的定義域，利用定義判斷函數(shù)的奇偶性即可判斷A；判斷當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)偶函數(shù)單調(diào)性即可判斷C；由AB作出函數(shù)大致圖象，根據(jù)圖象即可判斷D.11．質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動，同時(shí)出發(fā)，P的角速度大小為1rad/s，起點(diǎn)為1,0，Q的角速度大小為3rad/s，起點(diǎn)為12A．32,12 B．?32【答案】A,C【解析】【解答】解：由題意可得：點(diǎn)Q的初始位置Q1的坐標(biāo)為12,?設(shè)t時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則3t?t=π3+2kπk∈N，即t=π6+kπk∈當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，Qcosπ6,sin當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，Q?cosπ故答案為：AC.【分析】設(shè)t時(shí)刻兩點(diǎn)重合，由題意列出重合時(shí)刻t的表達(dá)式，求得重合時(shí)P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再分k為奇數(shù)、偶數(shù)討論，求點(diǎn)P的坐標(biāo).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知a>0,b>0，且1a+3b=1【答案】4+23【解析】【解答】解：a>0,b>0，且1a則a+b=a+b當(dāng)且僅當(dāng)3ab=b故答案為：4+23.

13．一個(gè)扇形的弧長與面積的數(shù)值都是4，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為rad.【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)圓心角為α，半徑為r，由題意可得：S=α2π故答案為：2.【分析】設(shè)出圓心角為α，半徑為r，根據(jù)扇形的面積與弧長公式計(jì)算.14．已知函數(shù)fx=2?a2x2【答案】(2【解析】【解答】解：函數(shù)fx=2?a2x2+2ax?3,x≤1logax+1,x>1在R上單調(diào)遞增，

則2?故答案為：(2【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小列出不等式組求解即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．（1）計(jì)算：33（2）已知x?log35=1（3）已知角θ的終邊過點(diǎn)P4,?3，求sin【答案】解：（1）338（2）由xlog35=1，得x=（3）由題意可得：cosθ=44【解析】【分析】（1）根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可；（2）根據(jù)對數(shù)的換底公式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的化簡求值即可.16．已知函數(shù)fx（1）求fx（2）求fx在區(qū)間0,2π上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值時(shí)【答案】（1）解：fx則T=2（2）解：當(dāng)x∈0,2π時(shí)，則當(dāng)x2+π6=當(dāng)x2+π6=綜上，當(dāng)x=2π時(shí)有最小值?1，當(dāng)x=【解析】【分析】（1）逆用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)fx（2）當(dāng)x∈0,2π時(shí)，（1）fx所以T=2（2）當(dāng)x∈0,2π時(shí)，所以當(dāng)x2+π6=當(dāng)x2+π6=綜上，當(dāng)x=2π時(shí)有最小值?1，當(dāng)x=17．近年來，我國自主研發(fā)芯片的市場需求增長迅速.某公司自2020年起，每年統(tǒng)計(jì)其芯片的年銷售數(shù)量.將2020年記為第0年，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20202021202220232024時(shí)間t/01234年銷售數(shù)量Q/100150225337.5506.25（1）在平面直角坐標(biāo)系中，以t為橫軸，Q為縱軸，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；（2）為了描述年銷售數(shù)量Q與時(shí)間t的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種數(shù)學(xué)模型供選擇：①Q(mào)=at+b②Q=kat（i）根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選出最合適的函數(shù)模型，說明理由，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（ii）根據(jù)（i）中所選模型，預(yù)測該公司芯片的年銷售數(shù)量在哪一年會首次超過2000萬片？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301,【答案】（1）解：

??（2）解：（i）由散點(diǎn)圖可知，年銷售數(shù)量呈指數(shù)型增長，則選擇函數(shù)模型Q=ka將0,100,1,150分別代入Q=kat，得k=100100a=150當(dāng)t=2時(shí)，Q=225；當(dāng)t=3時(shí)，Q=337.5；當(dāng)t=4時(shí)，Q=506.25，故Q=100?3（ii）令100?32t則t>log故預(yù)測該公司芯片的年銷售數(shù)量在2028年會首次超過2000萬片.【解析】【分析】（1）根據(jù)2020年到2024年的年銷量數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖即可；（2）（i）由散點(diǎn)圖可知，年銷售數(shù)量呈指數(shù)型增長，則選擇函數(shù)模型Q=ka（ii）令100?3（1）（2）（i）由散點(diǎn)圖可知，年銷售數(shù)量呈指數(shù)型增長，故選擇函數(shù)模型Q=ka將0,100,1,150分別代入得k=100100a=150，解得k=100所以Q=100?3當(dāng)t=2時(shí)，Q=225；當(dāng)t=3時(shí)，Q=337.5；當(dāng)t=4時(shí)，Q=506.25，所以Q=100?3（ii）令100?32t則t>log所以預(yù)測該公司芯片的年銷售數(shù)量在2028年會首次超過2000萬片.18．已知函數(shù)fx（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷fx（3）若對任意的x∈R，不等式fmx【答案】（1）解：函數(shù)f(x)=a?2x+a?12x+1，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，即a?2?x+a?12?x+1=?a?2（2）解：f(x)是?∞,+∞上的增函數(shù)，

證明如下：?x1,x2∈?∞,+∞，且x1<x2，

則f(x1（3）解：由（1）（2）知，f(x)是?∞,+∞上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，

則fmx2+f3?2mx>0，即f(mx2)>?f(3?2mx)=f(2mx?3)，即mx2>2mx?3，

即mx2?2mx+3>0對任意x∈R恒成立，

【解析】【分析】（1）根據(jù)f(x)是奇函數(shù)，滿足f(?x)=?f(x)，代入化簡求a的值即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性不等式fmx2+f3?2mx>0轉(zhuǎn)化為mx（1）由題意可得：f(x)=a?2∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(?x)=?f(x)，即a?2?x所以a+(a?1)2x∴a?1=?a，即a=1即f(x)=1（2）f(x)是?∞設(shè)x1,x2為區(qū)間則0<2x1∵f(x1)?f(x2)即f(x∴f(x)是?∞（3）由（1）（2）知，f(x)是?∞∵fm∴f(mx∴mx即mx2?2mx+3>0當(dāng)m=0時(shí)，3>0恒成立，符合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，只需m>0Δ=4m綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍0,319．定義域?yàn)榧螦的函數(shù)fx，若存在t∈A，使關(guān)于x的方程fx+t=fx+ft有解，則不妨稱fx（1）若fx=2（2）證明：對任意m>?1,gx（3）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得函數(shù)hx=cos2x?a在0,nπ上恰有5個(gè)“π【答案】（1）解：由題意fx+1=fx+f1，可得2x+1=（2）證明：由題意方程gx+2=gx+g2有解，即方程lnx+m+2=lnx+m+ln2+m有解，

即x+m+2=x+m2+m，即x=?m2?m+2m+1，

由x+m+2>0（3）解：由題意hx+即hx+即a?12=即a?12=sinμ在π①當(dāng)a?12=1或?1，即a=32②當(dāng)a?12=12③當(dāng)?1<a?12<12或1方程a?12=sinμ綜上，a=32n=5，a=?【解析】【分析】（1）若fx=2x，由（2）由題意可得方程gx+2=gx+g