第第頁浙江省諸暨市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．直線l的傾斜角為π3，則直線lA．32 B．3 C．12 【答案】B【解析】【解答】設(shè)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為k=tan所以當(dāng)α=π3時，故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合直線的傾斜角與直線的斜率的關(guān)系式，從而求出直線l的斜率。2．如圖，平行六面體ABCD?A1B1CA．?a+bC．a(chǎn)+b?【答案】A【解析】【解答】解：AB=a，AD=b，AA則BD1故答案為：A.【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算求解即可.3．已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離是4，則點(diǎn)P到A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：易知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為由拋物線定義可得：點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離為4，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4-1=3.故答案為：B.【分析】題目給出拋物線方程為y2=4x，點(diǎn)【分析】題目給出拋物線方程為y2=4x，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離。根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，因此可以通過準(zhǔn)線方程和拋物線性質(zhì)求解。

【解答】

【1】確定拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2=4px，其中p=1，故焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1。

【2】利用拋物線定義求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離

根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即|PF|=4，因此點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為4。

【3】計算點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離

點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為|x?(?1)|=x+1（因為拋物線上的點(diǎn)x≥0），故x+1=4，解得x=3。因此，點(diǎn)P到y(tǒng)軸（即x=0）的距離為x=3。

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵在于利用拋物線的定義，將焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而通過準(zhǔn)線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)。最終答案為點(diǎn)【分析】題目給出拋物線方程為y2=4x，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離。根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，因此可以通過準(zhǔn)線方程和拋物線性質(zhì)求解。

【解答】

【1】確定拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2=4px，其中p=1，故焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1。

【2】利用拋物線定義求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離

根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即|PF|=4，因此點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為4。

【3】計算點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離

點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為|x?(?1)|=x+1（因為拋物線上的點(diǎn)x≥0），故x+1=4，解得x=3。因此，點(diǎn)P到y(tǒng)軸（即x=0）的距離為x=3。

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵在于利用拋物線的定義，將焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而通過準(zhǔn)線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)。最終答案為點(diǎn)【分析】題目給出拋物線方程為y2=4x，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離。根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，因此可以通過準(zhǔn)線方程和拋物線性質(zhì)求解。

【解答】

【1】確定拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2=4px，其中p=1，故焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1。

【2】利用拋物線定義求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離

根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即|PF|=4，因此點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為4。

【3】計算點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離

點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為|x?(?1)|=x+1（因為拋物線上的點(diǎn)x≥0），故x+1=4，解得x=3。因此，點(diǎn)P到y(tǒng)軸（即x=0）的距離為x=3。

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵在于利用拋物線的定義，將焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而通過準(zhǔn)線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)。最終答案為點(diǎn)【分析】題目給出拋物線方程為y2=4x，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離。根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，因此可以通過準(zhǔn)線方程和拋物線性質(zhì)求解。

【解答】

【1】確定拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線

拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2=4px，其中p=1，故焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1。

【2】利用拋物線定義求點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離

根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即|PF|=4，因此點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為4。

【3】計算點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離

點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=?1的距離為|x?(?1)|=x+1（因為拋物線上的點(diǎn)x≥0），故x+1=4，解得x=3。因此，點(diǎn)P到y(tǒng)軸（即x=0）的距離為x=3。

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵在于利用拋物線的定義，將焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而通過準(zhǔn)線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)。最終答案為點(diǎn)4．下列選項正確的是（）A．(sin?10°)C．[(2x+1)(2x?1)]'=8x【答案】C【解析】【解答】A：(sin?10B：?(C：[(2x+1)(2x?1)]D：?(故答案為：C.

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，逐一分析每個選項的導(dǎo)數(shù)計算是否正確.常數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及乘積法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等.5．已知直線l:y=kx+1，圓C:(x-1)2+y2A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【解析】【解答】解：易知直線l：y=kx+1恒過定點(diǎn)A(0,1)，圓C：(x-1)2+y2=4的圓心C1,0，半徑為2，

因為|AC|=12故答案為：B.【分析】易知直線l過定點(diǎn)A0,1，判斷點(diǎn)A與圓C6．已知{an}為等差數(shù)列，aA．126 B．144 C．162 D．180【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{aa1+aa2+a則d=a4-故S故答案為：C【分析】設(shè)等差數(shù)列{a7．已知等比數(shù)列an的公比q大于0，前n項和為Sn，則“數(shù)列anA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【解答】解：取a1=?1，q=12，則Sn=a即充分性不成立；取a1=1，q=12，則Sn=a綜上“數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列”是“數(shù)列S故答案為：D.【分析】取特殊值，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.8．已知F是雙曲線C:x2a2?A．5 B．3 C．2 D．5【答案】C【解析】【解答】解：易知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F?c,0，

圓x2+y2=a2+雙曲線漸近線方程為y=±bax，設(shè)點(diǎn)M則x1+x2由y=33x+c由y=33x+cy=?bax，解得x則雙曲線C的離心率e=故答案為：C

【分析】易知雙曲線左焦點(diǎn)，圓心，求直線斜率，得直線PF的方程，聯(lián)立直線PF與圓的方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P是MN中點(diǎn)這一條件，聯(lián)立直線PF與雙曲線漸近線方程求出M、N橫坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出等式求得a，b的關(guān)系，代入雙曲線的離心率公式求解即可.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知數(shù)列an滿足aA．a(chǎn)3=11 B．C．a(chǎn)n=3?2n?1【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由an+1=2an+1，可得an+1+1=2an+1，即an+1+1由an=3?2由an?1=3?2則數(shù)列an由an+1?a則數(shù)列an+1故答案為：ACD.【分析】化簡an+1=2an+1，可得an+1+1an+1=210．已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q，R滿足A．當(dāng)λ=μ=12B．當(dāng)μ=13時，DC．?μ∈0,1，?λ∈0,1D．?λ∈0,1，?μ∈0,1【答案】B,C,D【解析】【解答】解：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：D0,0,0，A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，D10,0,2，因為BQ=λBB1，又因為A1R=μA1C，A1A、當(dāng)λ=μ=12時，點(diǎn)Q2,2,1則QR=B、當(dāng)μ=13時，點(diǎn)R43,設(shè)平面BDC1的法向量為n=x,y,z，則n?DB=2x+2y=0n?DC1=2y+2z=0D1R=43又因為D1R?平面BDC1，所以C、AQ=0,2,2λ，D1當(dāng)μ=0時，AQ?D1R=0恒成立，當(dāng)μ≠0所以?μ∈0,1，?λ∈0,1，有D、CQ=2,0,2λ，D1令CQ?D1R=0因為λ∈0,1，所以μ=11+λ∈12,1故答案為：BCD.【分析】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)結(jié)論公式求QR即可判斷A；求平面BDC1的法向量，直線D1R的方向向量，證明兩向量垂直即可判斷B；由AQ?D1R=011．曲線E:|x-1|+|x+1|+2|y|=4，則下列結(jié)論中正確的是（）A．曲線E關(guān)于直線y=x對稱B．曲線E圍成的圖形面積為6C．曲線E上存在無數(shù)個點(diǎn)到直線y=x的距離為1D．若圓(x-m)2+(y-m)2=2【答案】B,D【解析】【解答】解：由x?1+x+1+2y=4，可得

當(dāng)?1≤x≤1當(dāng)?1≤x≤1，y<0時，y=?1，當(dāng)x>1,y≥0時，x+y?2=0，當(dāng)x>1，y<0時，當(dāng)x<?1,y≥0時，x?y+2=0，當(dāng)x<?1,y<0時，x+y+2=0，作出曲線圖象，如圖所示：其中A?2,0，B?1,?1，C1,?1，D2,0，E1,1，F(xiàn)?1,1，

A、由圖可知，點(diǎn)B、圖形為一個邊長為2的正方形BCEF和兩個底和高分別為2和1的三角形△ABF及△DCE構(gòu)成，其面積為2×2+2×1C、如圖，直線BE就是直線y=x，而直線CD與直線AF均與之平行，兩線段AF和CD上的點(diǎn)到直線y=x距離最大，且直線CD，直線AF與直線BE距離均為d=22=D、易得曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，圓x?m2（1）當(dāng)0<m<1時，須滿足2m?22≥2（2）當(dāng)?1<m<0時，須滿足2m+22≥?2綜上可得mmax故答案為：BD.【分析】分情況去絕對值，的函數(shù)的解析式，作出曲線圖象，根據(jù)對稱性即可判斷A；根據(jù)圖象計算面積即可判斷B；結(jié)合圖象求到直線y=x距離為1的點(diǎn)即可判斷C；根據(jù)圓的方程得到圓心在線段BE上，然后再結(jié)合對稱性列不等式，解不等式即可判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)y=fx的圖象在點(diǎn)M1,f1處的切線方程是y=2x+1，則【答案】5【解析】【解答】解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得f'1=2，

將點(diǎn)M因此，f1故答案為：5.【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，從而可得f'1的值，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入切線方程可得f113．拋物線x2=4y上一動點(diǎn)P到直線y=x-3的最短距離為【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)拋物線x2=4y上動點(diǎn)由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P到直線y=x-3的距離最小時，點(diǎn)Px0,y0為拋物線x設(shè)直線y=x+b與拋物線x2=4y相切，則x2-4x+b=0，Δ=42+16b=0，解得b=-1故點(diǎn)P到直線y=x-3的最小距離d=|2-1-3|故答案為：2.【分析】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由題意可得，點(diǎn)Px0,y0為拋物線14．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a【答案】5或6【解析】【解答】解：由an+12=2則數(shù)列an+1an是以a2a從而可得到a1<a2故答案為：5或6.【分析】化簡遞推公式可得an+2an+1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2（1）求證：平面AMP⊥平面BB（2）試判斷是否存在P，使得直線BC1⊥AP【答案】（1）證明：因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥又因為AB=AC=2，M為BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC，又因為BC∩BB1=B，BC,BB1?平面又因為AM?平面APM，所以平面APM⊥平面BB（2）解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為B(0,2,0)，C1(2,0,3)，設(shè)BP=t(0≤t≤3)，則P(0,2,t)，BC1→若BC1⊥AP，則B故存在P，使得直線BC1⊥AP【解析】【分析】（1）由已知條件證明AM⊥BB1，AM⊥BC，結(jié)合線面垂直判定定理證明AM⊥平面（2）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP=t(0≤t≤3)，求向量BC1→，AP（1）∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB∴AM⊥BB∵AB=AC=2，M為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，∵BC∩BB1=B，BC,B∴AM⊥平面BB∵AM?平面APM，∴平面APM⊥平面BB（2）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為B(0,2,0)，C1(2,0,3)，設(shè)BP=t(0≤t≤3)，則P(0,2,t)，BC1→若BC1⊥AP，則B所以存在P，使得直線BC1⊥AP16．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d>0，a1=1，前n項和為Sn.且（1）求數(shù)列{a（2）記bn=n?2an，求數(shù)列【答案】（1）解：等差數(shù)列{an}，d>0，a1=1，S因為S1，S2，S3則(2+d)2=1·6+3d，整理得故an（2）解：由（1）知，bn則Tn=1?2Tn①-②得：-T-T-T則Tn【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)等比中項的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列通項公式列方程求d，即可得數(shù)列{a（2）由（1）知，bn=n2n，利用錯位相減法求數(shù)列{b（1）由題意知，S1=a1=1因為S1，S2，S3即(2+d)2=1·6+3d，整理得d2因為d>0，所以d=1，所以an（2）由（1）知，bn則Tn2T①-②得，-T-T-T所以Tn17．如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AD，PA⊥面ABCD，M，Q分別為PD和BC的中點(diǎn)，PN=（1）求證：A，M，N，Q四點(diǎn)共面；（2）求二面角M-AN-D的余弦值.【答案】（1）證明：取CD的三等分點(diǎn)T，CT=12由題意知，NCCP=CT確定平面MNTD，且NT=1在平面MNTD中，分別延長MN和DC交于點(diǎn)R，由ΔRNT～ΔRMD，可得NTMD=RT又在面ABCD中，QC//AD，且QCAD=12，連接AQ并延長交則QCAD=KC所以K，R為同一點(diǎn)，又點(diǎn)K=AQ∩CD，點(diǎn)R=MN∩CD，所以直線MN與AQ相交，確定平面AMNQ，所以A，M，N，Q四點(diǎn)共面；（2）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)二面角M-AN-D為θ，（θ為銳角），設(shè)AB長為2，則B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，Q(2,1,0)，因為PN=23PC，所以PNAM→=(0,1,1)，設(shè)平面AMN的法向量為n?=x由AM→?n→=0AN→?n→=0又AD→=(0,2,0)，設(shè)平面AND的法向量為m→=x2,取x2=1，則y2=0，則cosθ=故二面角M-AN-D的余弦值為5【解析】【分析】（1）取CD的三等分點(diǎn)T，CT=12CD，分別延長MN和DC交于點(diǎn)R，根據(jù)ΔRNT～ΔRMD，證明RCRD=KCKD=1（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.（1）取CD的三等分點(diǎn)T，CT=1由題意知，NCCP=CT確定平面MNTD，且NT=1在平面MNTD中，分別延長MN和DC交于點(diǎn)R，所以ΔRNT～ΔRMD，則NTMD=RT又在面ABCD中，QC//AD，且QCAD=12，連接AQ并延長交則QCAD=KC所以K，R為同一點(diǎn)，又點(diǎn)K=AQ∩CD，點(diǎn)R=MN∩CD，所以直線MN與AQ相交，確定平面AMNQ，所以A，M，N，Q四點(diǎn)共面；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角M-AN-D為θ，（θ為銳角），設(shè)AB長為2，則B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，Q(2,1,0)，因為PN=23PC，所以PN又AM→=(0,1,1)，設(shè)平面AMN的法向量為n?=x由AM→?n取y1=2，可得z1所以n→=(-1,2,-2)為平面平面又AD→=(0,2,0)，設(shè)平面AND的法向量為m→由AD→?m取x2=1，則y2所以m→=(1,0,-2)為平面所以cosθ=所以二面角M-AN-D的余弦值為518．曲線E1的方程Fx,y=0中，用λx替換x，uy替換yλ,μ∈R+得到曲線E2的方程Fλx,μy=0，把這種x,y（1）若曲線E1的方程為x2+y2=4，伸縮比（2）若曲線E1的方程為x24+y23（3）對拋物線E1:y2=2p1x作變換x,y→λ1x,μ1y，得拋物線E2:y2=2p2x【答案】（1）解：曲線E1的方程為x2+y2=4，伸縮比故曲線E2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）解：由題意得，經(jīng)過伸縮變換后的橢圓方程為λx24+①當(dāng)4λ2>3μ2時，a②當(dāng)4λ2<3μ2時，a綜上所述，λμ=6（3）證明：對拋物線En:y得拋物線En+1:μn2即n+12pn+1又因為pn所以，當(dāng)n≥3時，S=1+1當(dāng)n=1或n=2時，Sn<3【解析】【分析】（1）根據(jù)“伸縮變換”的定義求解即可；（2）先根據(jù)“伸縮變換”求得曲線E2方程，再分4λ2（3）由“伸縮變換”求的定義計算可得n+12pn+1（1）由題意得12x2所以曲線E2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）由題意得，經(jīng)過伸縮變換后的橢圓方程為λx24+①當(dāng)4λ2>則e2=1?b2②當(dāng)4λ2<則e2=1?b2綜上所述，λμ=6（3）對拋物線En:y得拋物線En+1:μ所以pn+1即n+12所以pn又pn所以，當(dāng)n≥3時，S=1+1當(dāng)n=1或n=2時，Sn<319．已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l(不經(jīng)過B點(diǎn))交C于P，Q兩點(diǎn)，且直線BP和直線BQ的斜率之和為0.①證明：直線l的斜率為定值，并求出這個定值；②若tan∠PBQ=125【答案】（1）解：易知c=1，因為B1,32為橢圓C上一點(diǎn)，

所以2a=(1+1)2+(32)2（2）解：①、由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l:y=kx+m