備戰(zhàn)2024高考二模模擬訓(xùn)練卷(3)

一、單選題

I.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1.2),則)=()

A.-l+2iB.l+2iC.I-2iD,-l-2i

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示及共視復(fù)數(shù)概念可得答案.

【詳解】由題,z=T+2i，故N=

故選：D

2.輿合A={x||x+1區(qū)2,xeZ}4={y|y=x\-lKxKl}

,則Al8=

A.B,[-1,1]C.0D.{-1,03)

【答案】D

【分析】先求解集合A和集合“，再利用交集運(yùn)算即可.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁絢+lK2,xwZ,即一2Kx+lW2,xeZ,即一3WXW1,XGZ,

所以集合A=

因?yàn)楹瘮?shù))，=VTWXG的值域得卜1』，所以集合B={y|TK)，Kl},

因此48={-1,0,1}.

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,則“己(x),g(x)為周期函數(shù)”是“〃x)+g(x)為周期函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)通過反例和周期的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】兩個(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個(gè)函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則

有周期，若不為有理數(shù)，則無周期.

〃x)=sin2x的周期為幾，，g(x)=sinzr的周期為2,則當(dāng)〃x)+g(x)時(shí),只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周

期，則不是充分條件；

若/(x)=sinx+x,g(x)=T,

則/G)+g(x)=sinx+x-x=sinx為周期函數(shù)，但/(x)=sin%+x,g("=.r為周期函數(shù)不正確，故不是必

要條件：

因此為不充分不必要條件.

故選：D

4.人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球的半徑為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離

分別為4，4,則衛(wèi)星軌道的離心率等于()

AR4+1rDL

2/?+(+G2R^rt+r22R+2rt2R+2r2

【答案】A

【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，求出橢圓的長半軸。，半焦距。，即可確定橢圓的離心率.

【詳解】橢圓的離心率：6=晨(0.1),(c,半焦距：小長半軸)

a

所以只要求出橢圓的C和小

V

4+%+2R

a=2，

c=OFt="+2R-仁氏=三，

4f

2/?+/；+A

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法，是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)

生的作圖視圖能力.

試卷第2頁，共19頁

的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A.84B.85C.127D.128

【答案】D

【分析】由題意得。+3=+3+—］尸.=(】+；)',結(jié)合展開式的通項(xiàng)公式即可求解.

V-VX>Jx

【詳解】由題意知。+~^=+3+—^=尸=(1+，=『，

Jxx"xsix

展開式的通項(xiàng)公式為C：1'?(2)'=C?/'(0MrW8.rGN),

當(dāng)，=0.2,4,6,8時(shí)，為有理項(xiàng)，

所以所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為C；+C；+C：+C：+C；=128.

故選：D.

6.已知數(shù)列｛〃"｝中，其前〃項(xiàng)和為S”，且〃，S“成等差數(shù)列(〃wN.),則a4=.

A.iB.4C.7D.15

【答案】D

【詳解】???〃，/，冬成等差數(shù)歹11，???24=〃+￡,當(dāng)〃=1時(shí)，24=1+$,%=1,當(dāng)〃之2時(shí)，247=〃-1+5“一1,

??.2%—247=1+,%即4=必*+1,???4N=23I+1),???4+1是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

??.?！?1=2”，???%=2"-1,???％=2'-1=15,故選D

7.已知函數(shù)/(*)=Asin(@r+°)(4>0,3>0,|0|<9的部分圖象如圖所示，點(diǎn)(y,0),

內(nèi)工工，且/(%)=/(9),則/(為+王)=()

D-4

【答案】D

【分析】根據(jù)條件求出A，①和W的值，求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可.

o2乃.

【詳解】解：由條件知函數(shù)的周期滿足丁=244,即rt——=4用，

(1)

得3=5

由五點(diǎn)法得go+8=0,即gx!+e=O,得8=-g,

332o

則。x)=Asin("r_g),

2o

則/[0)=Asin(-g)=得A=3,

622

即/.?=3sin4x-y),

26

n171

在內(nèi)的對稱軸為.一3,34乃,

X---------------

2T

若“丫件?），玉工々，且〃玉）=/⑸,

則關(guān)于x=（4乃對稱，

mlC4乃3冗

貝IJA+Z=2Xy=彳，

貝I]/(』+/)=/(與)=°.48兀K..7兀3

3sin(—x--------)=3sin—=——

23662

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件先求出函數(shù)的解析式，以及利用三角函數(shù)的對稱

性是解決本題的關(guān)鍵.

8.生正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半

正多面體，其中四邊形4BC。和四邊形EFG”均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所

有棱長均為2,則平面A8CQ與平面之間的距離為（）

A.V2B.</8C.姮D,巫

22

【答案】B

【分析】分別取8cA。的中點(diǎn)M,N,作出截面EGMN,結(jié)合幾何體的性質(zhì)，確定梯形EGMN的高即為平

面ABCQ與平面EFGH之間的距離，由此即可求得答案.

【詳解】分別取8cAD的中點(diǎn)M”，連接MN、MG,NE,EG,

試卷第4頁，共19頁

NM

根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形EGMN為等腰梯形：

根據(jù)題意可知BC1MN,BC上MG,

而MNC\MG=M,MN,MGu平面EGMN,

故BC上平面EGMN,又BCu平面48CQ,

故平面人BCD工平面EGMN,則平面EAG〃_L平面EGA/N,

作MS_LEG,垂足為S,平面EFG"。平面EGMN=EG,

MSu平面EGMN,故MS_L平面

則梯形EGMN的高即為平面/18C3與平面EFGH之間的距離：

A/G=2x—=V3,5G=^^=V2-1,

22

故MS=>JMG2-SG2=6_（向1）2=亞方=強(qiáng)，

即平面"CD與平面EFGH之間的距離為布，

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了空間想象能力，解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，作出其截面圖，確

定梯形EGMN的高即為平面ABCD與平面EFGH之間的距離，即可求得答案.

二、多選題

9.小明在今年“十一”假期隨家人到杭州游玩,恰逢亞運(yùn)盛會，在10月2三下午女子跳水1米板決賽開賽前，

小明隨機(jī)調(diào)查了若干名前來觀看本場比賽觀眾的年齡，并將調(diào)查所得數(shù)據(jù)制作成了如圖所示的餅圖，則關(guān)

于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）

34%

(40,50]

A.平均數(shù)約為38.6B.中位數(shù)約為38.75

C.第40百分位數(shù)約為35.6D.上四分位數(shù)約為42.6

【答案】ABC

【分析】利用平均數(shù)和百分位數(shù)的的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A,由餅圖可知，平均數(shù)為：25x0.22+35x0.32+45x().34+55x0.12=38.6故A正確；

時(shí)于B,0.22<0.5.0.22+0.32>0.5,故中位數(shù)在［30,40］這組，設(shè)中位數(shù)為小

r-30

則0.22+0.32、天_=0.5,解得x=38.75,故B正確:

對于C,0.22<0.4,0.22+0.32>0.4,故第40百分位數(shù)在［30,40］這一組，

設(shè)第40百分位數(shù)為八則0.22+0.32x哈2=0.4,解得戶35.625*35.6,故C正確：

對于D,上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，0.22+0.32<0.75,0.22+0.32+0.34>0.75,故第75百分位數(shù)在［40,50］

這一組，

z-40

設(shè)第75百分位數(shù)為z,則0.22+0.32+0.34、不一=0.75,解得z=42L故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

10.若平面向量〃=(〃,2),其中〃，小CR,則下列說法正確的是()

A.若2a=(2,6),則日〃/?

B.若d=-2b，則與〃同向的單位向量為等，一日j

C.若〃=1,且d與)的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為

D.若a_Lb，則z=2"+￥的最小值為4

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷AB選項(xiàng)，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項(xiàng)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)

表示及基本不等式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】由，=(〃，2),

A選項(xiàng):2〃+力=(2〃+1,3+〃?)=(2,6),

⑶+1=2卜=3(.

則.一解得1,則。=亍2,匕=1,2,

。+/〃=6n=—)

2

所以不存在4,使。=而，即。，b不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤:

試卷第6頁，共19頁

.?=-2f/??=0

B選項(xiàng)；a--2/7.則\八，解得)」

2=-2(m-\)[n=-2

即a=(-2,2),^=(1,-1),M|="+(—l)2=&,

所以與〃同向的單位向量為同=(2，--了J,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：〃=1時(shí)，a=(l,2),

又匕與〃的夾角為銳角，

則卜/=l：+2x(〃I)>。，解得吟，且…

吁1022

即me(T，3)U(3,E),C選項(xiàng)錯(cuò)誤：

rI

D選項(xiàng)：由4,得=〃+2(/〃-1)=2〃?+〃-2=0,即2〃?+〃=2,

所以z=2"+4m=2"+22m>272"-22m=2。*"=2應(yīng)=4，

當(dāng)且僅當(dāng)2”=22桁，即〃=2〃?=1時(shí)，等號成立，D選項(xiàng)正確：

故選：BD.

II.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足〃x)+〃4+x)=0J(2+2x)是偶函數(shù),/(1)=1,則()

A./(”是奇函數(shù)B./(2023)=-1

10

C./("的圖象關(guān)于直線x=l對稱D.Z"2k-l)=2

k=l

【答案】ABD

【分析】利用函數(shù)的周期性、奇偶性卻對稱性逐一判斷即可.

【詳解】由/(力=一/(》+4)可得〃x+8)=-/(x+4)=〃x),即〃x)=/(x+8),

所以/(x)是以8為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)?(2+2月是偶函數(shù)，所以/(2+2x)=/(2—2%),則/(2+x)=/(2-x),

所以〃x+4)=/(-x)=-〃x),所以“x)是奇函數(shù),選項(xiàng)A正確:

由周期性可得“2023)=/(-1+253x8)=/(-1)=-“1)=-1,選項(xiàng)B正確；

由"2+X)=/(2T)可得/(3)=/(1)=1,因?yàn)?(-1)=一/⑴//(3),/(x)的圖象不關(guān)于直線x=l對稱,

選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

又由〃2+%)=/(2-x)可得f(5)=f(-l)=-f(l)=T,/(7)=/(-3)=-/(3)=-1,

10

所以/。)+/(3)+/(5)+/(7)=0,所以結(jié)合周期性可得2〃2*-1)=八1)+〃3)=2,選項(xiàng)D正確;

Jt=l

故選：ABD

⑵已知當(dāng)”>。時(shí)，士時(shí)吟!則，)

4.11

A.B.1十4--十4--十4-+->In8

7237

11c：

C.-+-+H—<In8D.G+G++—7-<e

?.aR8°818X

【答案】BCD

【分析】根據(jù)給定的不等式，賦值變形判斷A：賦值求和判斷BC；變形不等式右邊，借助二項(xiàng)式定理及組

合數(shù)的性質(zhì)推理判斷D作答.

【詳解】因?yàn)椤挂?lt;ln(l+，)<，，令人=7,-i-=l<ln(l+l)=liJ,

則故A錯(cuò)誤；

7

hx11、1A+l1.2,.31,81

因?yàn)閘n(l+-)=ln---<-,則nilln-<-,...?ln-<-,

xxx12277

以上各式相加有h】8<l+；++；,B正確；

mu11fi01X+,n,i1.21.3I,8

因?yàn)?；?lt;lnI+-=ln---,則-<In-,-<ln-,

1+xVx)x213287

以上各式相加有:+：++J<ln8,C正確：

25o

由+■得，,v|n(|+-!-)<I,g|Jln(l+-)*<l,

XXXX

(l+-r<e,因此4+g++g=(|+%<e,所以D正確.

x8°81888

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由給定信息判斷命題的正確性問題，從給定的信息出發(fā)結(jié)合命題，對變量適當(dāng)賦值，

再綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵.

三、填空題

13.已知直線士十與丫牛充二間與圓的?/由■?=［相切，則〃的值為.

【答案】a=8或-18

【詳解】試題分析：由題直線與圓相切，則4=/，0,0),r=l,5帶方學(xué)小近二加

試卷第8頁，共19頁

得：d=|5xl+l2x°+4=+4=13,4=8或_]8

V52+122

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系(相切)的判定和性質(zhì).

14.已知點(diǎn)41,—1,0),8(3,0,0),0(320),0(4,3,尬)，則向量cb在向量e上的投影向量的模為.

【答案】主叵

5

【分析】先第出日)在向量A%上的投影，進(jìn)而算出投影向量的模.

【詳解】由題意,d)=(lj①),A4=(2,l,0)，則①在向量疝上的投影為

|叫詞8硝=胃=1=|5

所以投影向量的模為I6=1逐.

故答案為：:布.

15.已知雙曲線。：￡一二=1(〃＞0,。＞0)的右焦點(diǎn)為R離心率為巫，點(diǎn)A是雙曲線C右支上的一-點(diǎn)，

a~b-2

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長A0交雙曲線C于另一點(diǎn)&且延長m7交雙曲線C于另一點(diǎn)Q，則

1。尸1二

\BQ\~---------1

【答案】包

2

【分析】在中，由勾股定理可求得IA/H、IAMI用含有"的代數(shù)式表示，在Rt△耳AQ中，由勾股

定理可求得I。用用含有a的代數(shù)式表示，在心△“「＜?中，由勾股定理可求得I8。|可用含有a的代數(shù)式表示,

進(jìn)而求得結(jié)果.

由雙曲線的對稱性知：OA=OB,OF=OF\,

又???AFLBF,

???四邊形AF8Z為矩形，

設(shè)|砌=心0,則由雙曲線的定義知：|46卜2。+m,

在Rl△64尸中,|6R『=|A戶2,即：4e2=（2a+m）2+m2,

整理得：nr+2am—3a2=0?即：+3a）=0,

Vz?>0,工m=a,

|AFt|=3〃

設(shè)IQ尸l=〃>0,則由雙曲線的定義知:3l=2a+n,

在R^￡A。中，即：（2a+〃）2=（3a）2+（〃+〃）2,

解得：n=3a,即：l（2F|=3?,

又???|8尸月明|=%，

??.在RtA86Q中，|BQ|=^\BFf+\FQ\2=3>f2a

.|。用一3a二夜

故答案為：1.

2

16.如圖，在/8C中，AC=\,BC=43,C='，點(diǎn)。是邊A8（端點(diǎn)除外）上的一動(dòng)點(diǎn).若將「AC。沿

直線8翻折，能使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影汗落在ABCD的內(nèi)部（不包含邊界），且A'C=立.設(shè)AO=3

3

則/的取值范圍是.

【分析】由已知分析可得，牙在過A與C。的垂線AE上，且在以C為圓心，以也為半徑的圓弧上，且在

3

MCD內(nèi)部.然后求出極端情況，即H在5c上與在48上的，的值，即可求得，的取值范圍.

【詳解】解：如圖,

試卷第10頁，共19頁

A

A4_L平面6C。，過4作連接AE,可得A￡_L8,

即A在過A與CD的垂線AE上，又AC=E,則4在以C為圓心,以正為半徑的圓弧上，且在ABC。內(nèi)

33

部.

分析極端情況：

①當(dāng)火在8c上時(shí)，ZAC￡+ZC4￡=90°,NC4￡+NC43=90°,可得NGVA=NACE,設(shè)為a,

13sina

tunex=~~f==----3cd

在用△CA'A中，V7v7cosa,且sin，a+cos2a=1,可得sina=~^

T44

設(shè)NEC8=￡,ZCDA=/,貝Ija+/7=9O。，/=/7+30°,

則sin￡=cosa=立，cos/7=sina=^,

44

?.，n2c。、6.01。6不\3匹+3

siny=sin（夕+30°）=-^-sin夕+QCOS/7=—x—+—x—=——-——.

ACAnit

在△4四中，由正弦定理可得：—=-一，即——=^—,

sin/sinasin/sina

3

sina4V21-3

口/==-7=^—=------.

付Siny9+32'

8

當(dāng)4在AS上時(shí)，有CZ）J_A?,此時(shí)r=ACcos6（r=lxg=；.

A在MC。的內(nèi)部（不包含邊界），/J的取值范圍是（1,叵口），

22

故答案為：（；,駕3.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于找到點(diǎn)A'的兩個(gè)臨界位置，并根據(jù)幾何關(guān)系求解.

四、解答題

17.在一ABC'中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知2sin4=sinA+cosA-tanC.

(1)求C的值；

⑵若2(〃+9=/,求.A3。的周長的最大值.

冗

【答案】（1）。=]

⑵12

【分析】（【）利用兩角和的正弦公式化簡即可求解：

（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】（【）因?yàn)?sinB=sinA+cosA?tanC,所以2sin3cosc=sirMcosC+cosAsinC,

即2sinBcosC=sin（A+C）,又A+所以sin（A+C）=sinZ?wO,

所以cosC=g,又0<Cv兀，即C=：；

（2）因?yàn)镃=],由余弦定理可知，c~=a~+b~-2z/Z?cosC=（a+h）2-3ab,

又因?yàn)?（。+〃）=。2,所以2（a+〃）=（a+b）2-3a〃，

所以（a+〃丁一2（a+8）=3"￡；（“+/）廣,

解得a+》W8,當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)，等號成立，

所以c=j2（a+〃）44,即a+〃+c￡l2,

所以.ABC周長的最大值為12.

18.在等差數(shù)列｛4｝中，6=13,陽=53.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛2q+（T）”｝的前〃項(xiàng)和S..

【答案】⑴勺=4〃+1

S_4〃?+6〃-1,〃為奇數(shù)，

（）”[而+6〃,〃為偶數(shù).

【分析】（I）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解,

（2）根據(jù)等差數(shù)列以及等比求和公式，結(jié)合分組求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并項(xiàng)求

和求解.

【詳解】（1）設(shè)小｝的公差為"，則

試卷第12頁，共19頁

4=5,

解得J

d=4.

所以4=4〃+l.

⑵（方法一）S”=2（q+%++凡）+-廠/-；\一

1一（一1）

_0x(5+4〃+l)〃_1+(-1嚴(yán)

22

/2/l+(-Dn+,

4n'+6n---------

2

（方法二）當(dāng),為偶數(shù)時(shí)，S”=2（q+%++4）

(5+4〃+1)〃2，

=2x---------=4n~+6”;

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，S.=2（4+%++/為1

4/?2+6M-1.

4/『+6〃-1,〃為奇數(shù),

綜.匕5“=,

4/+6兒〃為偶數(shù).

19.如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為P,Q,AAGC是圓柱的軸截面，正方形A8C力內(nèi)接于下底

面圓Q,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，AB=65/2,/V\=6.

（1）求證：平而PQE，平面「3C：

（2）若點(diǎn)M為線段PQ上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面P8C所成角的余弦值的最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵而

3

【分析】（1）只需證明BC/平面尸QE即可；（2）用向量法求角度及基本不等式即可

【詳解】（1）.的中點(diǎn)為4c中點(diǎn)，.?.QE〃AB,乂ABJ.BC,可得Q￡_L8C,

乂直圓柱的上、下底面圓心分別為P,Q」PQ_L平面48CZ）

8Cu平面ABCD,:.PQLBC.

且QEcPQ=Q.QE,PQu平面PQE,「BCJ■平面PQE；

又因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面PQEI平面PBC.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，。。所在的直線為了軸，過。作z軸〃4%，建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系.

則及,3&,0）,尸（3及,3應(yīng),6）,3（6拉,6&,0）,C（0,6忘,0）,

所以也=（0.0,-6）,朋=（3"3?-6）（3=僅夜,0,0）,

設(shè)尸M=4尸。=(0,0,-^1)(00441),

BM=BP+PM=(-3>/2,-3>/2,6-62)；

"/8=3缶+3岳-6仁=0

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（〃」”）則]〃V8=6伍=0

取C=l,可得4=(),/)=&,所以"=l：o,,

設(shè)直線BM與平面PBC所成角為0,

_|-6+6-62|

...sin0=cos(BMji

\nM[\n\X/3X718X2+(6-62)2

22

令/=—,則，e[l,+8),——+1=2J-2r+l"=l時(shí),[2?-2/+1].=1,

%AA.L」rmn

試卷第14頁，共19頁

20.巳知拋物線C:y2=2px(〃>0),f為其焦點(diǎn)，P(2,y)(y>0),A,/?三點(diǎn)都在拋物線C上，且I0加=4,

直線A8,PA,P8的斜率分別為&,k、,k2.

kk

(1)求拋物線C的方程，并證明匕+公-女/2=華；

k

(2)已知例且A,乩用三點(diǎn)共線，若尸A_L依且《>網(wǎng)，求直線小的方程.

【答案】(l)V=8x：證明見解析

⑵立一)，一2=0

【分析】(1)由拋物線的定義和|研=4,求得〃=4,得出拋物線的方程及點(diǎn)P(2.4),利用斜率公式，分

別求得幺卻右，即可求解;

(2)設(shè)直線48的方程為％+1=機(jī)(>-1),其中(〃?=:)，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系,

結(jié)合小_L依，列出方程，即可求解.

【詳解】(1)由題拋物線C:y2=2px,/>(2,)，)(y>0),且|閉=4,

根據(jù)拋物線的定義，可得|m=2+^=4,解得p=4,

所以拋物線。的方程為V=8x,且點(diǎn)。(2,4),

七=上1=±±=-8

設(shè)點(diǎn)人(不，，),鳳天，%)，可得,弓-22：_2,+4，同理施=總2,

8

)二力一。8

馬-xK_2L)”為‘

88

所以4=3+8,

見以K&8,k8

11]tL

所以彳+匯=工+1，即4+右一"盧寧.

(2)由1),且人及M三點(diǎn)共線，

設(shè)直線43的方程為尤+1=，，仆+D,其中(，〃=1)，

K

,、-V+l=///(y+l)…,午

聯(lián)立《，o，消去X得V-8,町一8/〃+8=0,

y~=8x

則）\+%=8切，yty2=8-8,

乂由△=(8〃z).-4(8-8〃。＞0,解得加〈一1或機(jī)＞;，

6464

因?yàn)镻AJ.總'所以他=而研丁礦I即y…4(y+.vj+l6r

6411

則......-......=-1,解得小=一1,

8-8〃?+32〃?+163

111,118

由⑴知彳+匕一，所以釬￡=3

?8

即了一4=一鼻，且右，所以占=2,

所以直線，4的方程為)，-4=3(犬一2),即3工一3，-2=0

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線

方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解.

21.某中學(xué)的風(fēng)箏興趣小組決定舉行一次盲盒風(fēng)箏比賽，比賽采取得分制度評選優(yōu)勝者，可選擇的風(fēng)箏為

硬翅風(fēng)箏、軟翅風(fēng)箏、串式風(fēng)箏、板式風(fēng)箏、立體風(fēng)箏，共有5種風(fēng)箏，將風(fēng)箏裝入盲盒中摸取風(fēng)箏，每位參

賽選手摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏均得1分并放飛風(fēng)箏，摸取串式風(fēng)箏、板式風(fēng)箏、立體風(fēng)箏均得2分并放飛

風(fēng)箏，每次摸取風(fēng)箏的結(jié)果相互獨(dú)立，且每次只能摸取1只風(fēng)箏，每位選手每次摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏

的概率為:，操取其余3種風(fēng)箏的概率為

(1)若選手甲連續(xù)摸了2次盲盒，其總得分為X分，求X的分布列與期望；

(2)假設(shè)選手乙可持續(xù)摸取盲盒，即摸耳又盲盒的次數(shù)可以為1,2,3,中的任意一個(gè)數(shù)，記乙累計(jì)得〃分的概率

為尸(〃),當(dāng)心時(shí),求P(〃).

【答案】(1)分布列見解析，y

【分析】(I)根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

(2)根據(jù)已知條件列出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列、累加法等知識求得尸(〃).

試卷第16頁，共19頁

【詳解】(1)X的可能取值為2.3,4,則:

3=2)=宵=去唳=3)=2乂汕一小去唳=4沖高2總

(2)當(dāng)〃23時(shí)，得分累計(jì)〃分，即在得到n-1分后再得I分，或在得到〃-2分后再得2分,

9、q

所以/，(〃)=彳/，5-1)+：/，(〃-2),

JJ

則戶(〃)一P(〃-1)=一;一尸(〃一2)].

因?yàn)?基=9僑=吳所以R-R=*，

DDID/ZDNJ

所以｛/>(〃+1)-尸(〃)｝為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為白，公比為?

則戶5+1)—「(〃)=奈(一|)，匕一《=6一6+6—旦++匕一匕-

則叫+小斗故當(dāng)X時(shí)，吟+抬J.

22.已知函數(shù)/(x)=e'sinx-x.

(1)當(dāng)xw]時(shí)，求證：/(x)20：

(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/⑶的零點(diǎn)從小到大依次排列，記為｛.%｝(〃wN')

證明：（i）sinx”>sinxn￥］；

(ii)*2”-1+兀<2〃兀<為“.

【答案】(1)證明見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【分析】(I)求導(dǎo)，討論單調(diào)性，求最值即可證明;

(2)(i)根據(jù)(1)得函數(shù)/(x)零點(diǎn)區(qū)間，變形為sin.r.=$,sinxm=WH,構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用單調(diào)