《一階電路的全響應(yīng)》全響應(yīng)：由儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和獨(dú)立電源共同引起的響應(yīng)。下面討論RC串聯(lián)電路在直流電壓源作用下的全響應(yīng)。已知：uC(0-)=U0。t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合。

為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以u(píng)C(t)為變量，列出電路的微分方程iCRt=0+Us-+uC(0-)=U0-其解為代入初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得求得A=U0-US則：uC(0+)=U0=A+US

也就是說(shuō)電路的完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。這是線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)基本性質(zhì)，是響應(yīng)可以疊加的一種體現(xiàn)。上式可改寫(xiě)為tuC(t)U0USUS<U0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUS<U0uCp(t)uCh(t)U0-USuC(t)=uCh(t)+uCp(t)uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)5-6一階電路的三要素法

iSGLiLC+uS-R+uC-若用r(t)來(lái)表示電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)，上述兩個(gè)電路的微分方程可表為統(tǒng)一形式r(0+)表示電容電壓的初始值uC(0+)或電感電流的初始值iL(0+)；

=RC或

=GL=L/R；w(t)表示電壓源的電壓uS或電流源的電流is。其通解為因而得到一階電路任意激勵(lì)下uC(t)和iL(t)響應(yīng)的公式t=0+代入，得：推廣應(yīng)用于任意激勵(lì)下任一響應(yīng)在直流輸入的情況下，t

時(shí)，rh(t)

0，rp(t)為常數(shù)，則有因而得到

r(0+)

——響應(yīng)的初始值r(

)

——響應(yīng)的終值，

——時(shí)間常數(shù)=RC,=L/R三要素：tr(t)r(

)

r(0+)r(

)>r(0+)

tr(t)r(0+)

r(

)

r(

)<r(0+)三要素公式的響應(yīng)波形曲線(xiàn)可見(jiàn)，直流激勵(lì)下一階電路中任一響應(yīng)總是從初始值r(0+)開(kāi)始，按照指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)或衰減到穩(wěn)態(tài)值r(

)，響應(yīng)的快慢取決于的時(shí)間常數(shù)

。

注意：（1）

直流激勵(lì)；（2）一階電路任一支路的電壓或電流的（全）響應(yīng)；（3）適合于求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。直流激勵(lì)下一階電路的全響應(yīng)取決于r(0+)，r(

)和

這三個(gè)要素。只要分別計(jì)算出這三個(gè)要素，就能夠確定全響應(yīng)，而不必建立和求解微分方程。這種方法稱(chēng)為三要素法。三要素法求直流激勵(lì)下響應(yīng)的步驟：1.初始值r(0+)的計(jì)算（換路前電路已穩(wěn)定）(1)畫(huà)t=0-圖，求初始狀態(tài)：電容電壓uC(0-)或電感電流iL(0-)。(2)由換路定則，確定電容電壓或電感電流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。(3)畫(huà)0+圖，求其它初始值——用數(shù)值為uC(0+)的電壓源替代電容或用iL(0+)的電流源替代電感，得電阻電路再計(jì)算2，穩(wěn)態(tài)值r(

)的計(jì)算(畫(huà)終了圖)根據(jù)t>0電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，將電容用開(kāi)路或電感用短路代替，得一個(gè)直流電阻電路，再?gòu)姆€(wěn)態(tài)圖求穩(wěn)態(tài)值r(

)。3，時(shí)間常數(shù)

的計(jì)算(開(kāi)關(guān)已動(dòng)作)先計(jì)算與電容或電感連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro，然后用公式

=RoC

或

=L/Ro計(jì)算出時(shí)間常數(shù)。4，將r(0+),r(

)和

代入三要素公式得到響應(yīng)的一般表達(dá)式。注意點(diǎn)：三要素公式可以計(jì)算全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)分量和零狀態(tài)響應(yīng)。但千萬(wàn)不要認(rèn)為就推廣到一般，得出結(jié)論，所有的響應(yīng)應(yīng)該是：如求全響應(yīng)

。+－RC+－+－R+－

圖外激勵(lì)引起內(nèi)激勵(lì)引起從另一個(gè)角度說(shuō)：只有電容電壓和電感電流，只要知道全響應(yīng)表達(dá)式，就可以把它分成零輸入響應(yīng)(分量)和零狀態(tài)響應(yīng)(分量)。否則，在僅知道全響應(yīng)的表達(dá)式時(shí)，無(wú)法將零輸入響應(yīng)(分量)和零狀態(tài)響應(yīng)(分量)分開(kāi)。非要知道電路，畫(huà)出零輸入的

圖或零狀態(tài)的

圖，求出零輸入響應(yīng)或零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)才行。由于開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換時(shí)，電容電流有界，電容電壓不能躍變，故

畫(huà)0+圖如右8V+-4

4

2

i(0+)10V+-2A2，計(jì)算穩(wěn)態(tài)值uC(

)、i(

)

10VuC(

)+-4

4

2

i(

)+-2A換路后，經(jīng)一段時(shí)間，重新穩(wěn)定，電容開(kāi)路，終值圖如右，運(yùn)用疊加定理得3，計(jì)算時(shí)間常數(shù)

計(jì)算與電容相連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻，它是三個(gè)電阻的并聯(lián)時(shí)間常數(shù)為10Vi(t)uC+-4

4

2

+-2A4，將初始值、終值及時(shí)間常數(shù)代入三要素公式，得到響應(yīng)表達(dá)式：下面看響應(yīng)過(guò)程——波形ti(t)1.5

15/3uC(t)t8

70畫(huà)0+圖如右,用節(jié)點(diǎn)法4

4

2Ai(0+)+2i(0+)-+u(0+)-ab解得：則：2，計(jì)算穩(wěn)態(tài)值u(

)、i(

)

t

，電路重新達(dá)到穩(wěn)定，電容開(kāi)路，終值圖如右，得：4

4

2Ai(

)+2i(

)-+u(

)-u(

)=0i(

)=2A時(shí)間常數(shù)為代入三要素公式得：

3，計(jì)算時(shí)間常數(shù)

電容相連接的電阻網(wǎng)絡(luò)如右圖，用加壓求流法得：4

4

i+2i-ReqRC部分：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+uC+-0.5F2

1A所以RL部分：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+所以u(píng)L+-1H2

1AiC(t)CR1Us+-t=R1C時(shí)，第二次換路,由換路定則得：iC(R1C+)R1R2+US(1-e-1)-得t=R1C+圖如上：tiCUS/R15-7一階電路的特殊情況分析1.R＝0或G＝0的情況；2.特殊情況——電路含全電容回路或全電感割集；電容電壓和電感電流不連續(xù)，即跳變——換路定則失效。求初試值依據(jù)——瞬間電荷守恒，磁鏈?zhǔn)睾?.所謂“陷阱”。例如：電路原已穩(wěn)定，求開(kāi)關(guān)動(dòng)作后的電流i。+10V-iiLt=05

5

1H解：由換路定則：得如果認(rèn)為用三要素公式，得取極限，得最后，得可見(jiàn)，采取極限的方法，三要素公式仍然是成立的。對(duì)偶地，儲(chǔ)存電場(chǎng)能電容的情況。

+－2V例21

已知:uC1(0-)=U1,uC2(0-)=U2，試求uC1(0+),uC2(0+)

解：開(kāi)關(guān)閉合后，兩個(gè)電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個(gè)電容電壓必相等，即：再根據(jù)在開(kāi)關(guān)閉合前后節(jié)點(diǎn)的總電荷守恒定律，可得t=0C1C2+uC1(t)

-+uC2(t)

-uC2(t)R1C1>R2C2R1C1=R2C2R1C1<R2C2t0（5）

由上式看出，輸出電壓的穩(wěn)態(tài)分量由兩個(gè)電阻的比值確定，其暫態(tài)分量還與兩個(gè)電容的比值有關(guān)。改變電容C1可得到三種情況，當(dāng)R1C1=R2C2時(shí)，暫態(tài)分量為零，輸出電壓馬上達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，這種情況稱(chēng)為完全補(bǔ)償；當(dāng)R1C1<R2C2或R1C1>R2C2時(shí)，暫態(tài)分量不為零，輸出電壓要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，前者稱(chēng)為欠補(bǔ)償，后者稱(chēng)為過(guò)補(bǔ)償。這就是在很多高頻測(cè)量?jī)x器的輸入RC分壓電路(例如示波器的探頭)中設(shè)置一個(gè)微調(diào)電容器的原因，用戶(hù)可以調(diào)節(jié)這個(gè)電容器來(lái)改變時(shí)間常數(shù)，令R1C1=R2C2，從而得到?jīng)]有失真的輸出波形。

例24

求t>0時(shí)的uC1(t),uC2(t)和i

(t)，畫(huà)出它們的波形。已知uC1(0-)=10V，uC2(0-)=0V。t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

解：含全電容割集，兩個(gè)電容可等效為一個(gè)獨(dú)立電容。是一階電路，用三要素法（1）求時(shí)間常數(shù)t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

（2）求初始值（3）求終值由KVL，得：由電荷守恒：t

，電路穩(wěn)定：也可以再次應(yīng)用電容或電感的等效圖。+－C1C2+－+－畫(huà)終了圖如下：聯(lián)立解得：（4）代三要素公式，得：10V6V1A0tuC1(t)i

(t)uC2(t)波形圖：兩個(gè)電容上的6V電壓，象掉入“陷阱”一樣，永遠(yuǎn)跑不掉。5－8階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)

5－8-1階躍信號(hào)

定義：0t(t)1延遲單位階躍信號(hào)：

0t0t(t-t0)1階躍信號(hào)用途：

1.描述開(kāi)關(guān)動(dòng)作t=0+2V-電路+2(t)V-電路2.表示各種信號(hào)0t0tAf(t)012t21f(t)0/2tAf(t)f(t)=(t)-(t-1)-2(t-1)f(t)=Asint[(t)-(t-)]5－8-2階躍響應(yīng)

單位階躍響應(yīng)s(t)：零狀態(tài)時(shí)電路在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)。t=0+1V-+v-t=01Ai把(t)看作下圖開(kāi)關(guān)動(dòng)作，則求解階躍響應(yīng)（零狀態(tài)）可用三要素法圖(a)RC串聯(lián)電路，初始值uC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值uC(

)=1，時(shí)間常數(shù)

=RC。圖(b)RL并聯(lián)電路，初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL(

)=1，時(shí)間常數(shù)

=L/R?？煞謩e得到uC(t)和iL(t)的階躍響應(yīng)如下。

例25

用階躍函數(shù)表示左圖所示的方波電流，再求iL

，并畫(huà)出波形。iSiL1HLR2

01t2iS解法一：左圖所示的方波電流，可以用兩個(gè)階躍函數(shù)表示:iS(t)=2

(t)-2

(t-1)A

由于是線(xiàn)性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于2

(t)和-2

(t-1)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。

（1）先求單位階躍響應(yīng)s(t)

(t)s(t)1HLR2

所以：s(t)=(1-e-2t)

(t)τ=L/R=0.5Ss(∞)=1s(0+)=s(0-)=

0（2）應(yīng)用線(xiàn)性及時(shí)不變性（3）疊加，2

(t)-2

(t-1)作用的零狀態(tài)響應(yīng)為iL(t)=2s(t)-2s(t-1)

由于：

(t)→

s(t)=(1-e-2t)

(t)A由線(xiàn)性：2

(t)→2

s(t)=2(1-e-2t)

(t)A-2

(t)→-2s(t)=-2(1-e-2t)

(t)A時(shí)不變：

(t-1)→s(t-1)=[1-e-2(t-1)]

(t-1)A=2(1-e-2t)

(t)-2[1-e-2(t-1)]

(t-1)A黃線(xiàn)和紫線(xiàn)分別表示2s(t)和-2s(t-1)。它們相加得到iL(t)波形，如紅線(xiàn)所示iL(t)201t-2解法二：將激勵(lì)看作兩次開(kāi)關(guān)動(dòng)作2AiL1HLR2

t=0t=1iL(t)201t第一次換路，充電第二次換路，放電。例26

求t>0時(shí)的i

(t)，已知uC(0-)=2V。0.5F+uS-2

+uC-i(t)uS2-1012t先求零輸入響應(yīng)izi(t).izi(0+)=-1A，時(shí)間常數(shù)

=RC=1s。解：（1）所以：izi(t)=-e-tA,t>0（2）求零狀態(tài)響應(yīng)iCzs(t).先求單位階躍響應(yīng)s(t).0.5F+uS-2

+uC-i(t)初始值uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，由于uS(t)=-

(t)+3

(t-1)-2

(t-2),所以，零狀態(tài)響應(yīng)為s(t)=0.5e-t

(t)（3）全響應(yīng)i(t)=izs(t)+izi(t)

izs(t)=-s(t)+3s(t-1)-2s(t-2)=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A-e-tA,t>05-9脈沖序列作用下的一階電路分析C+uS-R+uC-+uR-0T2T3T4TtuS(t)US1.當(dāng)T>4

時(shí)：在0<t<T，電容由零狀態(tài)充電，t=T時(shí)達(dá)穩(wěn)態(tài)值US；在T<t<2T，電容由US放電，直至0。0T2T3T4TtuS(t)US0T2T3T4T

tuC(t)US02T4T

tuR(t)US-UST微分電路：(輸出等于輸入的微分)當(dāng)

＝RC<<T

,(即

＝RC很小時(shí))2.T<4

時(shí)：在0<t<T，電容由零狀態(tài)充電，t=T時(shí)，uC(T)尚未至穩(wěn)態(tài)值US；在T<t<2T，電容由uC(T)放電，uC(2T)不為0。第二周期由uC(2T)開(kāi)始充電。0T2T3T4T

tuC(t)US若干周期后，充放電過(guò)程達(dá)穩(wěn)態(tài)。0T2T3T4T

tuC(t)USUAUB-UB對(duì)照式(5-55):解得：可見(jiàn)：積分電路：(輸出等于輸入的積分)當(dāng)T<<

時(shí)，(即=RC很大時(shí))摘要1、線(xiàn)性時(shí)不變電容元件的特性曲線(xiàn)是通過(guò)q-v平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)方程為

電容的電壓電流關(guān)系由以下微分或積分方程描述

可見(jiàn)，電容電壓隨時(shí)間變化時(shí)才有電容電流。若電容電壓不隨時(shí)間變化，則電容電流等于零，電容相當(dāng)于開(kāi)路。因此電容是一種動(dòng)態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲(chǔ)能元件。儲(chǔ)能為電容的儲(chǔ)能取決于電容的電壓，與電容電流值無(wú)關(guān)

2、線(xiàn)性時(shí)不變電感元件的特性曲線(xiàn)是通過(guò)-i平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)方程為

電感的電壓電流關(guān)系由以下微分或積分方程描述

可見(jiàn)，電感電流隨時(shí)間變化時(shí)才有電感電壓。若電感電流不隨時(shí)間變化，則電感電壓等于零，電感相當(dāng)于短路。因此電感是一種動(dòng)態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲(chǔ)能元件。儲(chǔ)能為

電感的儲(chǔ)能取決于電感的電流，與電感電壓值無(wú)關(guān)

3、

電容和電感的一個(gè)重要性質(zhì)是連續(xù)性——若電容電流iC(t)在閉區(qū)間[t1,t2]內(nèi)有界，則電容電壓uC(t)在開(kāi)區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。例如電容電流iC(t)在閉區(qū)間[0+,0-]內(nèi)有界，則有若電感電壓uL(t)在閉區(qū)間[t1,t2]內(nèi)有界，則電感電流iL(t)在開(kāi)區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。例如電感電壓uL(t)在閉區(qū)間[0+,0-]內(nèi)有界，則有利用電容電壓和電