天津市靜海區(qū)重點中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.3．已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.5．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.6．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.7．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.48．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.9．將一枚均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為（）A. B.C. D.10．若，則（）A B.C. D.11．平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C.平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行12．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.14．已知點和，圓，當圓C與線段沒有公共點時，則實數(shù)m的取值范圍為___________15．已知拋物線的焦點為F，若拋物線上一點P到x軸的距離為2，則|PF|的值為___________.16．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點.（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對應(yīng)的邊長,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.20．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.21．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.22．（10分）已知曲線上任意一點滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點分別是，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.2、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.3、C【解析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C4、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題5、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.6、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.7、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A8、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B9、D【解析】利用次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率計算公式直接求解.【詳解】解：將一枚均勻的篩子先后拋擲3次，每次出現(xiàn)點數(shù)為3的概率都是至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為：故選：D10、D【解析】直接利用向量的坐標運算求解即可【詳解】因為，所以，故選：D11、D【解析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對A，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯誤；對B，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯誤；對C，若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，若這無數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯誤；對D，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.12、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當時，，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；14、【解析】當點和都在圓的內(nèi)部時，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得出實數(shù)m的取值范圍，再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當點和都在圓的內(nèi)部時，，解得或直線的方程為，即圓心到直線的距離為，當圓心到直線的距離大于半徑時，，且.綜上，實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：15、3【解析】先求出拋物線的焦點坐標和準線方程，再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為拋物線上一點P到x軸的距離為2，所以由拋物線的定義可得，故答案為：316、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè).（1）寫出、的坐標，利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值；（2）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面，四邊形為正方形，設(shè).以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、、、.（1），，，所以，異面直線、所成角的余弦值為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，取，可得，則，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（3）設(shè)平面的一個法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，，由圖形可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數(shù)列加上一個等比數(shù)列得到，要求其前項和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項和【小問1詳解】當時，，解得；當時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得20、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數(shù)，運用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關(guān)于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個數(shù)，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為設(shè)中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數(shù)為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設(shè)四件禮物分為二個包裹E、F，因為禮物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數(shù)分別有，，，，共5種，對應(yīng)的快遞費分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點睛】主要考查了頻率分布直方圖的平均數(shù)，中位數(shù)求解，以及古典概型，屬于中檔題.21、（1）圓C與圓M相交，理由見解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當直線l的斜率不存在時則方程為，當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】把圓M的方程化成標準方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因為，所以圓C與圓M相交，【小問2詳解】①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；