2025年電路理論試題分析及答案一、計(jì)算題（本題20分）圖1所示電路中，已知R?=2Ω，R?=3Ω，R?=6Ω，R?=4Ω，U?=10V，U?=5V，I?=2A，受控電流源I?=0.5I?（I?為R?支路電流，方向由a指向b）。試求：（1）節(jié)點(diǎn)a的電位；（2）受控電流源發(fā)出的功率。分析與解答：（1）采用節(jié)點(diǎn)電壓法分析。選取節(jié)點(diǎn)d為參考節(jié)點(diǎn)（電位為0），設(shè)節(jié)點(diǎn)a、b、c的電位分別為U?、U?、U?。根據(jù)基爾霍夫電流定律（KCL），對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列寫方程：節(jié)點(diǎn)a：(U?-U?)/R?+(U?-U?)/R?+I?=0代入已知量：(U?-10)/2+(U?-U?)/3+2=0→3(U?-10)+2(U?-U?)+12=0→5U?-2U?=18（式1）節(jié)點(diǎn)b：(U?-U?)/R?+U?/R?+(U?-U?)/R?-I?=0由于I?=0.5I?，而I?=U?/R?（R?支路電流由a到b，故I?=(U?-U?)/R?？需修正方向！原題中I?方向由a指向b，因此I?=(U?-U?)/R?，故I?=0.5(U?-U?)/R?=0.5(U?-U?)/6=(U?-U?)/12。修正節(jié)點(diǎn)b的KCL方程：流出節(jié)點(diǎn)b的電流包括：(U?-U?)/R?（經(jīng)R?到a）、U?/R?（經(jīng)R?到d？若R?連接b和d，則I?=(U?-0)/R?=U?/6，方向由b到d，與題目中“方向由a指向b”矛盾。需明確電路連接：假設(shè)R?連接a和b，即R?跨接在a、b之間，則I?=(U?-U?)/R?（方向a→b），此時(shí)R?的電流方向與題目一致。重新整理電路連接：R?連接U?正極到a（U?負(fù)極接地d），R?連接a到b，R?連接a到b（與R?并聯(lián)），R?連接b到U?正極（U?負(fù)極接地d），I?電流源從d流向a，受控電流源I?從b流向c（假設(shè)c為另一節(jié)點(diǎn)）?？赡茉瓐D中R?連接a、b，R?連接b、d，U?連接d、b（負(fù)極d，正極b）。重新列寫節(jié)點(diǎn)方程：節(jié)點(diǎn)a（獨(dú)立節(jié)點(diǎn)）：流入電流=流出電流電流源I?（d→a）流入a；R?支路（U?正極→a）電流為(U?-U?)/R?（從U?正極到a，若U?負(fù)極接地d，則U?=10V即d到U?正極電壓為10V，故a點(diǎn)電位U?相對(duì)于d，R?的電流為(U?-U?)/R?=(10-U?)/2（方向從U?正極到a）；R?和R?并聯(lián)在a、b之間，電流分別為(U?-U?)/R?和(U?-U?)/R?（方向a→b）。因此節(jié)點(diǎn)a的KCL：I?+(10-U?)/2=(U?-U?)/2+(U?-U?)/3（注：I?從d流入a，(10-U?)/2是從U?正極流入a的電流，流出a的電流是經(jīng)R?和R?到b的電流之和）化簡：2+(10-U?)/2=(U?-U?)(1/2+1/3)→2+5-0.5U?=(5/6)(U?-U?)→7-0.5U?=(5/6)U?-(5/6)U?→兩邊乘6：42-3U?=5U?-5U?→8U?-5U?=42（式1）節(jié)點(diǎn)b的KCL：流入b的電流=流出b的電流經(jīng)R?和R?流入b的電流：(U?-U?)/2+(U?-U?)/3=(5/6)(U?-U?)經(jīng)R?流出b的電流：(U?-U?)/R?（U?=5V，負(fù)極在d，故b到d的電壓為U?-0，R?連接b和U?正極，U?正極電位為5V（相對(duì)于d），因此R?的電流為(U?-5)/4（方向b→U?正極）受控電流源I?=0.5I?=0.5(U?-U?)/3（I?=(U?-U?)/3，方向a→b），若I?從b流出到其他節(jié)點(diǎn)（如c），則流出b的電流還包括I?=0.5(U?-U?)/3因此節(jié)點(diǎn)b的KCL：(5/6)(U?-U?)=(U?-5)/4+0.5(U?-U?)/3化簡左邊=(5/6)(U?-U?)，右邊=(U?-5)/4+(U?-U?)/6兩邊乘12消分母：10(U?-U?)=3(U?-5)+2(U?-U?)→10U?-10U?=3U?-15+2U?-2U?→8U?-11U?=-15（式2）聯(lián)立式1（8U?-5U?=42）和式2（8U?-11U?=-15），相減得6U?=57→U?=9.5V，代入式1得8U?=42+5×9.5=42+47.5=89.5→U?=89.5/8=11.1875V（2）受控電流源發(fā)出的功率P=U?×I?，其中U?為其兩端電壓。假設(shè)受控電流源連接b和c，c點(diǎn)電位未知，需確定其電壓。若c點(diǎn)通過其他支路接地或連接其他元件，需補(bǔ)充條件。假設(shè)c點(diǎn)通過電阻R?接地，或題目中隱含受控源另一端接地（c=d），則U?=U?-0=9.5V（若c=d）。此時(shí)I?=0.5I?=0.5(U?-U?)/3=0.5(11.1875-9.5)/3=0.5×1.6875/3≈0.28125A功率P=U?×I?=9.5×0.28125≈2.672W（若電流從b流出到d，則U?=U?，發(fā)出功率為正）。二、綜合分析題（本題25分）圖2所示電路為二階RLC串聯(lián)電路，t=0時(shí)開關(guān)S由1擲向2，換路前電路已穩(wěn)定。已知L=0.5H，C=2μF，R=1000Ω，U?=20V，U?=10V。試求：（1）電容電壓u_C(t)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)；（2）判斷電路的暫態(tài)過程性質(zhì)（欠阻尼、臨界阻尼或過阻尼）；（3）畫出u_C(t)的波形示意圖。分析與解答：（1）換路前（t<0），開關(guān)接1，電路穩(wěn)定時(shí)電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路，故u_C(0?)=U?=20V，i_L(0?)=U?/R=20/1000=0.02A（方向由左到右）。根據(jù)換路定則，u_C(0?)=u_C(0?)=20V，i_L(0?)=i_L(0?)=0.02A。換路后（t≥0），開關(guān)接2，電路由U?、R、L、C串聯(lián)組成。二階RLC串聯(lián)電路的微分方程為：L(d2i/dt2)+R(di/dt)+(1/C)i=dU?/dt。由于U?為直流電源，dU?/dt=0，方程化簡為：L(d2i/dt2)+R(di/dt)+(1/C)i=0。但通常以u(píng)_C為變量更方便，因i=C(du_C/dt)，代入得：LC(d2u_C/dt2)+RC(du_C/dt)+u_C=U?（非齊次方程，穩(wěn)態(tài)值u_C(∞)=U?=10V）。特征方程：LCs2+RCs+1=0→s2+(R/L)s+1/(LC)=0計(jì)算參數(shù)：R/L=1000/0.5=2000，1/(LC)=1/(0.5×2×10??)=10?特征根：s=[-2000±√(20002-4×1×10?)]/2=[-2000±√(4×10?-4×10?)]/2=-1000（重根），故為臨界阻尼。零輸入響應(yīng)（U?=0時(shí)的響應(yīng)）：齊次方程解，初始條件u_C(0?)=20V，i_L(0?)=C(du_C/dt)|?=??=0.02A→du_C/dt|?=??=0.02/(2×10??)=10?V/s。臨界阻尼時(shí)零輸入響應(yīng)為u_Czi(t)=(A?+A?t)e^(-αt)，α=R/(2L)=1000/(2×0.5)=1000rad/s。代入初始條件：u_Czi(0)=A?=20Vdu_Czi/dt|?=?=A?-αA?=10?→A?=10?+αA?=10?+1000×20=3×10?故u_Czi(t)=(20+3×10?t)e^(-1000t)V零狀態(tài)響應(yīng)（初始條件為0，即u_C(0?)=0，i_L(0?)=0）：非齊次方程解，穩(wěn)態(tài)值u_Czs(∞)=U?=10V，通解為u_Czs(t)=10+(B?+B?t)e^(-1000t)。代入初始條件：u_Czs(0)=10+B?=0→B?=-10du_Czs/dt|?=?=B?-1000B?=0（因i_L(0?)=C(du_C/dt)|?=?=0→du_C/dt|?=?=0）故0=B?-1000×(-10)→B?=-10?因此u_Czs(t)=10+(-10-10?t)e^(-1000t)V全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)=(20+3×10?t)e^(-1000t)+10+(-10-10?t)e^(-1000t)=10+(10+2×10?t)e^(-1000t)V（2）特征根為實(shí)重根（s=-1000），故電路處于臨界阻尼狀態(tài)。（3）u_C(t)的波形：初始值20V，穩(wěn)態(tài)值10V，響應(yīng)曲線無振蕩，單調(diào)趨近于穩(wěn)態(tài)值。t=0時(shí)斜率為du_C/dt|?=?=10?V/s（由全響應(yīng)求導(dǎo)得：du_C/dt=[2×10?e^(-1000t)+(10+2×10?t)(-1000)e^(-1000t)]，t=0時(shí)為2×10?-10×1000=10?V/s），隨后斜率逐漸減小，最終趨近于0。三、正弦穩(wěn)態(tài)分析題（本題25分）圖3所示電路中，電源電壓u(t)=220√2sin(314t+30°)V，Z?=10+j15Ω，Z?=20-j10Ω，Z?=30+j20Ω，Z?=5+j5Ω。試求：（1）各支路電流的相量表達(dá)式；（2）電路的有功功率、無功功率和功率因數(shù)；（3）若要將功率因數(shù)提高到0.95（滯后），需并聯(lián)多大的電容？分析與解答：（1）電源角頻率ω=314rad/s，相量電壓U=220∠30°V。首先計(jì)算等效阻抗：Z?與Z?并聯(lián)后與Z?串聯(lián)，再與Z?并聯(lián)。Z?∥Z?=(Z?Z?)/(Z?+Z?)=[(20-j10)(30+j20)]/(50+j10)分子：(20×30+20×20j-10×30j-10×20j2)=600+400j-300j+200=800+100j分母：50+j10=10(5+j1)，模√(52+1)=√26，幅角arctan(1/5)≈11.31°故Z?∥Z?=(800+100j)/(50+j10)=(100(8+j1))/(10(5+j1))=10(8+j1)/(5+j1)=10×[(8+j1)(5-j1)]/(25+1)=10×(40-8j+5j-j2)/26=10×(41-3j)/26≈(410-30j)/26≈15.77-1.15jΩZ并聯(lián)部分=Z?∥Z?+Z?=15.77-1.15j+5+5j=20.77+3.85jΩ總等效阻抗Z=Z?∥(Z并聯(lián)部分)=(10+j15)(20.77+3.85j)/(10+j15+20.77+3.85j)分子：(10×20.77+10×3.85j+15×20.77j+15×3.85j2)=207.7+38.5j+311.55j-57.75=150+350.05j≈150+350jΩ分母：30.77+18.85j≈30.77+18.85j，?！?30.772+18.852)≈36.1Ω，幅角arctan(18.85/30.77)≈31.5°故Z≈(150+350j)/36.1∠31.5°≈(374.17∠66.8°)/36.1∠31.5°≈10.36∠35.3°≈8.47+j5.98Ω總電流相量I=U/Z=220∠30°/(8.47+j5.98)=220∠30°/(10.36∠35.3°)≈21.24∠-5.3°A分流計(jì)算：Z?支路電流I?=I×(Z并聯(lián)部分)/(Z?+Z并聯(lián)部分)=21.24∠-5.3°×(20.77+3.85j)/(30.77+18.85j)Z并聯(lián)部分=20.77+3.85j≈21.13∠10.4°，分母=30.77+18.85j≈36.1∠31.5°故I?≈21.24∠-5.3°×21.13∠10.4°/36.1∠31.5°≈21.24×21.13/36.1∠(-5.3+10.4-31.5)≈12.4∠-26.4°AZ并聯(lián)部分電流I?=I-I?=21.24∠-5.3°-12.4∠-26.4°≈21.24×(cos(-5.3°)+jsin(-5.3°))-12.4×(cos(-26.4°)+jsin(-26.4°))≈21.15-j1.96-11.1-j5.53≈10.05-j7.49≈12.53∠-36.6°AZ?支路電流I??=I?×Z?/(Z?+Z?)=12.53∠-36.6°×(30+j20)/(50+j10)=12.53∠-36.6°×(36.06∠33.7°)/(50.99∠11.3°)≈12.53×36.06/50.99∠(-36.6+33.7-11.3)≈8.85∠-14.2°AZ?支路電流I??=I?×Z?/(Z?+Z?)=12.53∠-36.6°×(20-j10)/(50+j10)=12.53∠-36.6°×(22.36∠-26.6°)/(50.99∠11.3°)≈12.53×22.36/50.99∠(-36.6-26.6-11.3)≈5.5∠-74.5°A（2）有功功率P=UIcosφ=220×21.24×cos(30°-(-5.3°))=220×21.24×cos35.3°≈220×21.24×0.816≈3830W無功功率Q=UIsinφ=220×21.24×sin35.3°≈220×21.24×0.578≈2700var功率因數(shù)cosφ=cos(35.3°)≈0.816（滯后）（3）原功率因數(shù)cosφ?=0.816，φ?=35.3°；目標(biāo)cosφ?=0.95，φ?=18.2°。需補(bǔ)償?shù)臒o功功率Qc=P(tanφ?-tanφ?)=3830×(tan35.3°-tan18.2°)=3830×(0.71-0.33)=3830×0.38≈1455var并聯(lián)電容的容抗Xc=U2/Qc=2202/1455≈33.2Ω，電容C=1/(ωXc)=1/(314×33.2)≈96.5μF四、互感電路分析題（本題20分）圖4所示電路中，兩耦合電感L?=0.2H，L?=0.1H，互感M=0.05H，電阻R?=5Ω，R?=3Ω，電源u(t)=100√2sin(1000t)V。試求：（1）開關(guān)S斷開時(shí)，ab端的開路電壓；（2）開關(guān)S閉合時(shí)，各支路電流的有效值。分析與解答：（1）開關(guān)S斷開時(shí)，副邊開路，i?=0。原邊電流i?=u(t)/(R?+jωL?)，相量U=100∠0°V，ω=1000rad/s，Z?=5+j1000×0.2=5+j200Ωi?=U/Z?=100∠0°/(5+j200)=100/(200.06∠88.6°)≈0.5∠-88.6°Aab端開路電壓由互感電壓和L?的自感電壓組成（因i?=0，L?的自感電壓為0），故u_ab=jωMi?=j1000×0.05×0.5∠-88.6°=j50×0.5∠-88.6°=25∠(90°-88.6°)=25∠1.4°V，有效值25V。（2）開關(guān)S閉合時(shí)，副邊接R?，原邊和副邊的電壓方程為：原邊：U=(R?+jωL?)I?+jωMI?副邊：0=jωMI?+(R?+jωL?)I?代入數(shù)值：100∠0°=(5+j200)I?+j50I?（式1）0=j50I?+(3+j100)I?（式2）由式2得I?=-j50I?/(3+j100)=-j50I?/(100.0