8/9等腰三角形的相關(guān)要點總結(jié)1．等腰三角形的判定定理（等角對等邊）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．例如：如圖14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，則AB＝AC證明：過點A作AD平分∠BAC，交BC于點D，則∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，這一結(jié)論可直接利用．【說明】（1）在使用“等邊對等角”或“等角對等邊”時，一定要注意是在同一個三角形中才有這一對應(yīng)關(guān)系，不在同一三角形中的邊、角沒有這一對應(yīng)關(guān)系．（2）有了這一結(jié)論，為今后證明線段相等又添了一種重要的解題途徑．例如：如圖14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O點．且BE＝CD求證：OB＝OC．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等邊對等角）．在△BCE和△CBD中∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角對等邊）．【說明】證兩條線段相等，若這兩條線段在同一個三角形中，可利用等腰三角形的判定定理來證明．2．等邊三角形（equilateraltriangle）（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形．如圖14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，則△ABC為等邊三角形．（2）性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．如圖14-3-14中，若△ABC為等邊三角形，則∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，還具有等腰三角形的一切性質(zhì)，如三線合一，軸對稱等．（3）判定：①三個角都相等的三角形是等邊三角形．②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．下面證明以上兩條判定．判定①：如圖14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形．判定②：如圖14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC為等邊三角形．（4）應(yīng)用：例如：如圖14-3-16，△ABC為等邊三角形，D、E為直線BC上的兩點，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度數(shù)．分析：要求∠DAE的度數(shù)，需分開求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC為等邊三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，則BD＝BA，∴△ABD為等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【說明】本題中用到了等邊三角形的性質(zhì)．再如：如圖14-3-17，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別為△ABC三邊上的點，且BD＝CE＝AF，直線AD、BE、CF兩兩相交于點R、Q、P．求證：△PQR是等邊三角形．分析：本題既用到了等邊三角形的性質(zhì)，又用到了其判定．要證△PQR為等邊三角形，證三邊相等難度較大，可考慮證其三角相等．也可先證∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因為∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需證∠BCF＝∠DAC，由此可聯(lián)想證△BCF與△CAD全等．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR為等邊三角形．【說明】（1）此題證明思路比較清晰，只是步驟書寫較繁，書寫應(yīng)認真；（2）在證明過程中用到了三個三角形全等的連等形式，可仿照兩個三角形全等的方式使用．3．證明線段相等的方法到目前為止，學過的證明線段相等的方法，有以下幾種：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等（在兩個三角形中）．（2）等角對等邊（在一個三角形中）．（3）軸對稱的性質(zhì)（在某條直線的兩側(cè)）．（4）角平分線的性質(zhì)（在角的平分線上的兩條線段）．（5）中點的概念（在一條直線上）．（6）利用第三條等量線段．（7）作輔助線、創(chuàng)造條件．例如：如圖14-3-20，點D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．分析：因BD與CE在一條直線上，且又在兩個三角形中，可考慮證兩個三角形全等或用中點的概念進行證明，也可用軸對稱的性質(zhì)進行證明．證法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．證法二：用中線如圖14-3-20，過A點作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三線合一）．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF（三線合一）．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．證法三：用軸對稱過A作BC邊上的垂線，垂足為F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC關(guān)于直線AF對稱，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【說明】從以上的證明可以看出，一個結(jié)論有多種證明途徑和證明方法．4．證明角相等的方法到目前為止，學過的證明角相等的方法，有以下幾種：（1）角平分線的定義及性質(zhì)．（2）全等三角形的對應(yīng)角相等（在兩個三角形中）．（3）等邊對等角（在一個三角形中）．（4）軸對稱的性質(zhì)．（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，則∠A＝∠B）．（6）作輔助線，創(chuàng)造條件．例如：如圖14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求證：∠BAD＝∠CAD．分析：要證∠BAD＝∠CAD，因兩角在兩個三角形中，可考慮選用全等三角形和角平分線，以及軸對稱進行證明．證法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．證法二：用軸對稱∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴點D在BC的垂直平分線上．又∵AB＝AC，∴A點也在BC的垂直平分線上．∴△ABD與△ACD關(guān)于直線AD對稱．∴∠BAD＝∠CAD（軸對稱的性質(zhì)）．證法三：用角平分線∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴點A、D都在BC的垂直平分線上．∴AD也為∠BAC的平分線（三線合一）．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如圖14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F．求證：∠B＝∠CAF．分析：要證∠B＝∠CAF，根據(jù)全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分線也用不上，可考慮用第三等量角．證明：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC為△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．5．得到等腰三角形的方法（1）如圖14-3-27，一直線平行于等腰三角形底邊，與兩腰（或兩腰的延長線）相交所得的三角形是等腰三角形．如圖中，△ADE是等腰三角形．（2）把一張對邊平行的紙，像圖14-3-28那樣折疊，重合部分是一個等腰三角形．如圖中，△