第二章二次函數(shù)2.2.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)北師版

九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）導(dǎo)入新課許多橋梁都采用拋物線形設(shè)計(jì)，小明將他家鄉(xiāng)的彩虹橋按比例縮小后，繪制成如圖所示的示意圖，圖中的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經(jīng)過中間拋物線的最高點(diǎn)，左右兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱．經(jīng)過測(cè)算，中間拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋10，你能計(jì)算出中間拋物線的最高點(diǎn)離橋面的高度嗎？探究新知探究在同一坐標(biāo)系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝x2的圖象，并進(jìn)行比較．①列表：x···－2－1012···y＝x2···41014···y＝2x2···82028···y＝

x2···20.500.52···y=x2②描點(diǎn)；③連線.y=2x2y=x2y=2x2函數(shù)，y=2x2的圖象與函數(shù)y=x2的圖象相比，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？開口都向上，對(duì)稱軸都是y軸.頂點(diǎn)都是原點(diǎn)(0，0)，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減??；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大.y=2x2拋物線的開口最?。伎继骄啃轮骄吭谏鲜鲎鴺?biāo)系中接著畫出y＝－x2，y＝－2x2的圖象．x···－2－1012···y＝－x2···－4－10－1－4···y＝－2x2···－8－20－2－8···y=x2y=2x2①列表：②描點(diǎn)；③連線.y＝－x2y＝－2x2(1)二次函數(shù)y＝ax2中的a的符號(hào)決定拋物線的開口方向：a＞0開口向上，a＜0開口向下；(2)二次函數(shù)y＝ax2與y＝－ax2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．歸納總結(jié)y=ax2(a≠0)a>0a<0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性最值向上向下(0，0)(0，0)y軸(x=0)y軸(x=0)在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小.在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大.在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小.x=0時(shí)，y最小=0x=0時(shí)，y最大=0拋物線y=ax2(a≠0)的形狀是由|a|來確定的，一般說來，|a|越大，拋物線的開口就越小.探究新知探究在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的圖象，并進(jìn)行比較．x－2－1012y＝2x282028y＝2x2＋193139y＝2x2－171－117①列表：②描點(diǎn)；③連線.y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1二次函數(shù)y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的圖象都是拋物線，并且形狀相同，只是位置不同.將二次函數(shù)y=2x2的圖象向上平移1個(gè)單位，就得到函數(shù)y=2x2+1的圖象.將二次函數(shù)y=2x2的圖象向下平移1個(gè)單位，就得到函數(shù)y=2x2－1的圖象.將二次函數(shù)y=2x2＋1的圖象向____平移____個(gè)單位，就得到函數(shù)y=2x2－1的圖象.下2拋物線y=2x2+1，y=2x2-1與拋物線y=2x2有什么關(guān)系？思考拋物線y=ax2+c的圖象相當(dāng)于把拋物線y=ax2的圖象____（c＞0）或

（c＜0）平移

個(gè)單位.拋物線y=2x2+1，y=2x2-1y=2x2與拋物線有什么關(guān)系？y=ax2+cy=ax2y=ax2cy=ax2+c（c＞0）

cy=ax2＋c（c＜0）

向上向下|c|探究新知二次函數(shù)y=ax2+c的圖象和性質(zhì):a的符號(hào)a>0a<0圖象c>0c<0開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的增減性最值當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減??；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大.向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0，c）（0，c）x=0時(shí)，y最小值=cx=0時(shí)，y最大值=c歸納總結(jié)應(yīng)用舉例

例1二次函數(shù)①y＝－2x2，②y＝2x2，③y＝x2，④y＝－x2的圖象都是拋物線，開口向上的是______，開口大小相同的是______________，關(guān)于x軸對(duì)稱的是__________________．(填序號(hào))①②與③④②③①②與③④二次函數(shù)y＝ax2，a＞0，則開口向上；|a|相等，則開口大小相同；a的符號(hào)相反，則關(guān)于x軸對(duì)稱．

例2已知直線y＝－2x＋3與拋物線y＝ax2相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，m).(1)求a，m的值；(2)求拋物線的表達(dá)式及其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2中的y隨x的增大而減?。拷猓?1)將點(diǎn)A(－1，m)代入y＝－2x＋3，得m＝5；把A(－1，5)代入y＝ax2，得a＝5；(2)y＝5x2；對(duì)稱軸為y軸；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)；(3)當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減?。骄啃轮n堂小結(jié)二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0)的圖象和性質(zhì)圖象性質(zhì)與y=ax2的關(guān)系開口方向由a的符號(hào)決定；c決定頂點(diǎn)位置；對(duì)稱軸是y軸.增減性結(jié)合開口方向和對(duì)稱軸才能確定.平移規(guī)律：c正向上；c負(fù)向下.隨堂練習(xí)1．已知點(diǎn)(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在拋物線y＝ax2＋c(a＞0)上，則(

)A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3C2．(1)函數(shù)y＝x2＋3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______，開口方向是_______；最____值是____；(2)函數(shù)y＝－2x2＋3的圖象可由函數(shù)y＝－2x2的圖象向____平移____個(gè)單位長(zhǎng)度得到；(3)把函數(shù)y＝－3x2的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)______________的圖象．(0，3)向上小3上3y＝－3x2－2隨堂練習(xí)3.二次函數(shù)y＝3x2－

的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對(duì)稱圖形嗎？它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？畫圖看一看.解：二次函數(shù)與y=3x2的圖象都是拋物線，形狀相同，只是位置不同.將二次函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到的圖象.二次函數(shù)與y=3x2的圖象都是軸對(duì)稱圖形，它們的對(duì)稱軸都是y軸（直線x=0），開口都向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是.隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)4.二次函數(shù)

的圖象與二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？解：二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象都是拋物線，形狀相同，只是位置不同.將二次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到二次函數(shù)的圖象.隨堂練習(xí)5.二次函數(shù)

y=x2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么相同和不同?解:二次函數(shù)y=x2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象的同點(diǎn):圖象都是拋物線,拋物線的開口都向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),都是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸都是y軸(或直線x=0).不同點(diǎn):兩者的開口大小不同,函數(shù)y=3x2的圖象在函數(shù)y=x2的圖象的內(nèi)側(cè).隨堂練習(xí)6.二次函數(shù)

y=-3x2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎？它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？先想一想，如果需要，畫圖看一看.二次函數(shù)y=-

x2

的圖象與二次函數(shù)y=x2的圖象呢？隨堂練習(xí)解:二次函數(shù)y=-3x2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象都是拋物線,并且形狀相同,都是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸都是y軸(或直線x=0),頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0).但它們的開口方向不同,二次函數(shù)y=-3x2的圖象的開口向下,而二次函數(shù)y=3x2的圖象的開口向上,二次函數(shù)y=-3x2的圖象與二次函數(shù)y=3x2的圖象關(guān)于x軸成軸對(duì)稱，圖象如圖①所示.隨堂練習(xí)二次函數(shù)y=-x2的圖象與二次函數(shù)y=x2的圖象都是拋物線,并且形狀相同,都是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸都是y軸(或直線x=0),頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0).但它們的開口方向不同,二次函數(shù)y=-x2的圖象的開口向下,而二次函數(shù)y=x2的圖象的開口向上,它們關(guān)于x軸成軸對(duì)稱,如圖②所示.隨堂練習(xí)7.二次函數(shù)y=5x2-3與二次函數(shù)y=5x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對(duì)稱圖形嗎?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?先想一想，如果需要，畫圖看一看.二次函數(shù)y=-5x2-2的圖象與二次函數(shù)y=-5x2+3的圖象呢?隨堂練習(xí)解:二次函數(shù)y=5x2-3的圖象是由二次函數(shù)y=5x2的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,這兩個(gè)圖象都是拋物線，并且形狀相同,頂點(diǎn)坐標(biāo)不同,都是軸對(duì)稱圖形.二次函數(shù)y=5x2-3的圖象的開口向上,對(duì)稱軸是y軸(或直線x=0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-3);二次函數(shù)y=5x2的圖象開口向上,對(duì)稱軸是y軸(或直線x=0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0).隨堂練習(xí)二次函數(shù)y=-5x2-2的圖象可以由二次函數(shù)y=-5x2的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.二次函數(shù)y=-