2026屆甘肅省通渭縣高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.92．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.3．觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應填入的適當?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.4．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.5．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.16．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.8．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.10．曲線y=x3+11在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.1511．已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________14．已知數(shù)列的前4項依次為，，，，則的一個通項公式為________15．設(shè)集合，把集合中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的前項和___16．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線，命題：關(guān)于的方程無實根（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，"”為真命題，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，點N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，設(shè)O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.20．（12分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.21．（12分）已知數(shù)列的前項和（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等2、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達式，再計算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D3、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D4、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標，代入目標函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當經(jīng)過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B6、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B7、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價于或：當時，由可得；當時，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.8、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D9、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮栴}，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為.故選：D10、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.11、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進而根據(jù)橢圓定義得，進而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.12、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當時，，即因此，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；14、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項，找出規(guī)律即可寫出通項公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項，先不考慮正負，可知，再由奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可得到一個通項公式，故答案為：（不唯一）15、【解析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項中包括的前48項和數(shù)列中的3和27，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，可得，又由不在集合中，在集合中，也在集合中，因為，解得，此時，所以不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項的和為.故答案為：.16、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，的中點，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.18、（1）；（2）.【解析】(1)由雙曲線標準方程的性質(zhì)得，即可求m的范圍；(2)當q命題為真時，方程無實根，判別式小于零，求得m的范圍，再由復合命題的真假得和一真一假，列出不等式組運算可得解【小問1詳解】∵方程表示焦點在軸上的雙曲線，∴，解得【小問2詳解】若為真命題，則，解得，∵“”為假命題，”為真命題，∴一真一假當真假時，“”且“或”，則；當假真時，，則綜上所述，實數(shù)的取值范圍是19、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)直線l的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進行證明即可.【小問1詳解】∵點N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設(shè)直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣2＝0.則x1x2＝﹣2，∴.故k1k2為定值.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問