第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市大興區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（2分）2023航空航天大興論壇于11月15日至17日在北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)臨空經(jīng)濟(jì)區(qū)舉辦，共設(shè)如長(zhǎng)置了“數(shù)字民航”“電動(dòng)航空”“商業(yè)航天”“通航維修”四場(chǎng)專題論壇．若某位航天科研工作者隨機(jī)選擇一個(gè)專題論壇參與活動(dòng)，則他選中“電動(dòng)航空”的概率是（）A．1 B． C． D．2．（2分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．3．（2分）關(guān)于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷4．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的對(duì)稱軸是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣15．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝3x2先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是（）A．y＝3（x+4）2﹣1 B．y＝3（x+4）2+1 C．y＝3（x﹣4）2﹣1 D．y＝3（x﹣4）2+16．（2分）若圓的半徑為1，則60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A． B．π C． D．7．（2分）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C．2 D．48．（2分）如圖，點(diǎn)A，B在⊙O上，且點(diǎn)A，O，B不在同一條直線上，點(diǎn)P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有如下四個(gè)結(jié)論：①恰好存在一點(diǎn)P，使得∠PAB＝90°；②若直線OP垂直于AB，則∠OAP＝∠OBP；③∠APB的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是．10．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個(gè)根為1，則m的值為．11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)（2，y1），（4，y2）在拋物線y＝2（x﹣3）2﹣4上，則y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．12．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，若∠CDE＝80°，則∠ABC的度數(shù)是°．13．（2分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若AD＝2，BC＝6，則△ABC的周長(zhǎng)為．14．（2分）寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)（0，1）且當(dāng)自變量x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大的二次函數(shù)的解析式．15．（2分）杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），（2，1）．給出下面三個(gè)結(jié)論：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（共68分，第17-21題每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明的過(guò)程．17．（5分）解方程：x2+8x＝9．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值．19．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的根．20．（5分）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O為△ABC的外接圓，求⊙O的半徑．22．（6分）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行．中國(guó)隊(duì)以201枚金牌、111枚銀牌、71枚銅牌的優(yōu)異成績(jī)，位居獎(jiǎng)牌榜首．為弘揚(yáng)體育運(yùn)動(dòng)精神，某校對(duì)八、九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了杭州亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽（測(cè)試滿分為100分，得分x均為不小于80的整數(shù)），并從其中分別隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理、描述和分析如下（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）．a(chǎn)．八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100．b．九年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：90，90，91，92，92，93，93，94．c．八、九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級(jí)9090m九年級(jí)90n100d．九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出表中m，n的值及九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的人數(shù)；（2）若該校九年級(jí)共400人參加了此次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的人數(shù)是；（3）為了進(jìn)一步弘揚(yáng)體育運(yùn)動(dòng)精神，學(xué)校決定組織學(xué)生開(kāi)展亞運(yùn)精神宣講活動(dòng)，準(zhǔn)備從九年級(jí)抽取的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的學(xué)生中，隨機(jī)選取一名擔(dān)任宣講員，另一名擔(dān)任主持人．若甲、乙是抽取的成績(jī)?cè)贒組的兩名學(xué)生，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被選上的概率．23．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2）和B（1，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，直接寫(xiě)出n的值．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作直線CE交OD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，使得∠E＝∠B．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝6，，求OD的長(zhǎng)．25．（6分）如圖1，某公園一個(gè)圓形噴水池，在噴水池中心O處豎直安裝一根高度為1.25m的水管OA，A處是噴頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個(gè)方向落下，噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，測(cè)得噴出水流距離噴水池中心O的最遠(yuǎn)水平距離OB為2.5m，水流豎直高度的最高處位置C距離噴水池中心O的水平距離OD為1m．（1）求噴出水流的豎直高度y（m）與距離水池中心O的水平距離x（m）之間的關(guān)系式，并求水流最大豎直高度CD的長(zhǎng)；（2）安裝師傅調(diào)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，噴頭豎直上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水流隨之豎直上下移動(dòng)（假設(shè)拋物線水流移動(dòng)時(shí)，保持對(duì)稱軸及形狀不變），若水管OA的高度增加0.64m時(shí)，則水流離噴水池中心O的最遠(yuǎn)水平距離為m．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（2，m）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝t．（1）當(dāng)m＝c時(shí)，求t的值；（2）點(diǎn)（﹣1，y1），（3，y2）在拋物線上，若c＜m，請(qǐng)比較y1，y2的大小，并說(shuō)明理由．27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ACP＝∠DPB；（3）用等式表示線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（0，t），N（0，t+2），對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：若∠MPN＝30°，則稱點(diǎn)P為線段MN的“親近點(diǎn)”．（1）當(dāng)t＝0時(shí)，①在點(diǎn)，B（3，2），，D（﹣1，﹣3）中，線段MN的“親近點(diǎn)”的是；②點(diǎn)P在直線y＝1上，若點(diǎn)P為線段MN的“親近點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）若直線上總存在線段MN的“親近點(diǎn)”，則t的取值范圍是．

2023-2024學(xué)年北京市大興區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（2分）2023航空航天大興論壇于11月15日至17日在北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)臨空經(jīng)濟(jì)區(qū)舉辦，共設(shè)如長(zhǎng)置了“數(shù)字民航”“電動(dòng)航空”“商業(yè)航天”“通航維修”四場(chǎng)專題論壇．若某位航天科研工作者隨機(jī)選擇一個(gè)專題論壇參與活動(dòng)，則他選中“電動(dòng)航空”的概率是（）A．1 B． C． D．【分析】直接根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：∵從“數(shù)字民航”“電動(dòng)航空”“商業(yè)航天”“通航維修”四場(chǎng)專題論壇隨機(jī)選擇一個(gè)專題論壇有4種情況，選中“電動(dòng)航空”的只有一種情況，∴選中“電動(dòng)航空”的概率是．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形而不是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念依次判定即可．【解答】解：A．該圖形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；B．該圖形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；C．該圖形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D．該圖形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．（2分）關(guān)于一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判斷【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．（2分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的對(duì)稱軸是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】拋物線y＝a（x﹣h）2+k是拋物線的頂點(diǎn)式，拋物線的頂點(diǎn)是（h，k），對(duì)稱軸是直線x＝h．【解答】解：y＝（x﹣2）2+1，對(duì)稱軸是直線x＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，題目是以二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式給出，可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接寫(xiě)出對(duì)稱軸．5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y＝3x2先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是（）A．y＝3（x+4）2﹣1 B．y＝3（x+4）2+1 C．y＝3（x﹣4）2﹣1 D．y＝3（x﹣4）2+1【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．【解答】解：將拋物線y＝3x2先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是y＝3（x﹣4）2+1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．6．（2分）若圓的半徑為1，則60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A． B．π C． D．【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得l＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OBD＝90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，點(diǎn)A，B在⊙O上，且點(diǎn)A，O，B不在同一條直線上，點(diǎn)P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有如下四個(gè)結(jié)論：①恰好存在一點(diǎn)P，使得∠PAB＝90°；②若直線OP垂直于AB，則∠OAP＝∠OBP；③∠APB的大小始終不變．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)B，O，P三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BP為⊙O的直徑，∴∠PAB＝90°，故正確，符合題意；②∵OP垂直于AB，OA＝OB，∴∠OAP＝∠OBP；故正確，符合題意；③如圖，當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧APB上時(shí)，∠APB＝∠AOB，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)，∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，∵∠APB與∠AP′B不一定相等，∴∠APB的大小會(huì)變化，故③錯(cuò)誤，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）若（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是a≠3．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．【解答】解：∵方程（a﹣3）x2﹣3x﹣4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，解得a≠3．故答案為：a≠3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一個(gè)根為1，則m的值為2．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入原方程，列出關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一個(gè)根為1，∴x＝1滿足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，∴1﹣3+m＝0，解得，m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方程解的定義，此類題型的特點(diǎn)是，利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡(jiǎn)后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．11．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)（2，y1），（4，y2）在拋物線y＝2（x﹣3）2﹣4上，則y1＝y(tǒng)2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】把x的值代入二次函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的y值再比較即可．【解答】解：∵點(diǎn)（2，y1），（4，y2）在拋物線y＝2（x﹣3）2﹣4上，∴y1＝2×（2﹣3）2﹣4＝﹣2；y2＝2×（4﹣3）2﹣4＝﹣2，∴y1＝y(tǒng)2；故答案為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是把x的值代入二次函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的y值．12．（2分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，若∠CDE＝80°，則∠ABC的度數(shù)是80°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠CDE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠CDE＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若AD＝2，BC＝6，則△ABC的周長(zhǎng)為16．【分析】先設(shè)BD＝x，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可表示出BE，EC，CF，AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出周長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，設(shè)BD＝x，則BE＝x，CE＝CF＝6﹣x，AD＝AF＝2，∴△ABC的周長(zhǎng)為AD+AF+BD+BE+EC+CF＝（2+x+6﹣x）×2＝16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題關(guān)鍵．14．（2分）寫(xiě)出一個(gè)過(guò)點(diǎn)（0，1）且當(dāng)自變量x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大的二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2+1．【分析】設(shè)解析式為：y＝x2+b，根據(jù)該函數(shù)的增減性確定其與x軸交點(diǎn)的取值，然后代入已知點(diǎn)后即可求得其解析式．【解答】解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴設(shè)解析式為：y＝x2+b，∵函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，1），∴b＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+1，故答案為：y＝x2+1．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道開(kāi)放性題，主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的增減性及用待定系數(shù)法來(lái)確定函數(shù)的解析式．15．（2分）杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因．吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某商店吉祥物“江南憶”6月份的銷售量為1200件，8月份的銷售量為1452件，設(shè)吉祥物“江南憶”6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為1200（1+x）2＝1452．【分析】利用該款吉祥物8月份的銷售量＝該款吉祥物6月份的銷售量×（1+該款吉祥物6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：1200（1+x）2＝1452．故答案為：1200（1+x）2＝1452．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），（2，1）．給出下面三個(gè)結(jié)論：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③．【分析】根據(jù)題意解方程組得到2a+b＝0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；根據(jù)已知條件得到直線x＝﹣＝1，于是得到當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，求得a+b+c＞1，故②正確，符合題意；根據(jù)m＜1，c＝1，得到直線y＝m在直線y＝1的下面，于是得到關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，故③正確．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），（2，1）．∴，解得2a+b＝0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴直線x＝﹣＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，∴y＝a+b+c＞c，即a+b+c＞1，故②正確，符合題意；∵m＜1，c＝1，∴直線y＝m在直線y＝1的下面，∵當(dāng)y＝1時(shí)，x＝0，∴直線y＝m于拋物線y＝ax2+bx+c的交點(diǎn)的在y軸的兩側(cè)，故關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＜1）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，故③正確，故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-21題每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明的過(guò)程．17．（5分）解方程：x2+8x＝9．【分析】先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2+8x＝9，x2+8x﹣9＝0，（x+9）（x﹣1）＝0，x+9＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣9，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．18．（5分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式（a﹣1）2+a（a﹣2）的值．【分析】由a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，可得a2﹣2a＝1，把（a﹣1）2+a（a﹣2）化簡(jiǎn)變形再代入即可求得答案．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，∴（a﹣1）2+a（a﹣2）＝a2﹣2a+1+a2﹣2a＝2a2﹣4a+1，＝2（a2﹣2a）+1＝2×1+1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運(yùn)算的法則．19．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的根．【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列不等式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（2m﹣2）＝1﹣8m+8＝9﹣8m，∴9﹣8m≥0，∴解得；（2）∵，m為最大整數(shù)，∴m＝1，∴x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．20．（5分）已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把（1，0），（0，﹣3）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）將（1）中所得解析式化為頂點(diǎn)式，可得結(jié)果．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（0，﹣3），∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）﹣﹣4∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)必能滿足解析式．21．（5分）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O為△ABC的外接圓，求⊙O的半徑．【分析】連接AO，BO，由圓周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可．【解答】解：連接OA，OB，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，在Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝4，OA2＝2，∴OA＝（舍負(fù)），∴⊙O的半徑是．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理和勾股定理等內(nèi)容，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是由圓周角定理求得∠AOB＝90°．22．（6分）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行．中國(guó)隊(duì)以201枚金牌、111枚銀牌、71枚銅牌的優(yōu)異成績(jī)，位居獎(jiǎng)牌榜首．為弘揚(yáng)體育運(yùn)動(dòng)精神，某校對(duì)八、九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了杭州亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽（測(cè)試滿分為100分，得分x均為不小于80的整數(shù)），并從其中分別隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理、描述和分析如下（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）．a(chǎn)．八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100．b．九年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：90，90，91，92，92，93，93，94．c．八、九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級(jí)9090m九年級(jí)90n100d．九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出表中m，n的值及九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的人數(shù)；（2）若該校九年級(jí)共400人參加了此次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的人數(shù)是240人；（3）為了進(jìn)一步弘揚(yáng)體育運(yùn)動(dòng)精神，學(xué)校決定組織學(xué)生開(kāi)展亞運(yùn)精神宣講活動(dòng)，準(zhǔn)備從九年級(jí)抽取的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的學(xué)生中，隨機(jī)選取一名擔(dān)任宣講員，另一名擔(dān)任主持人．若甲、乙是抽取的成績(jī)?cè)贒組的兩名學(xué)生，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被選上的概率．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)中位數(shù)的定義可得m，n的值．用20分別減去A，B，C組的成績(jī)，可得九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的人數(shù)．（2）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用400乘以樣本中C組和D組的百分比之和，即可得出答案．（3）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲、乙兩人同時(shí)被選上的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)可知，眾數(shù)為95，∴m＝95．∵九年級(jí)A，B兩組的人數(shù)共有20×（10%+30%）＝8（人），∴將九年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列，排在第10和11名的成績(jī)?yōu)?0，91，∴n＝＝90.5．九年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)贒組的人數(shù)為20﹣8﹣8＝4（人）．（2）400×（1﹣10%﹣30%）＝240（人），∴估計(jì)九年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的人數(shù)大約為240人．故答案為：240人．（3）設(shè)D組的另外兩名同學(xué)為丙，丁，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人同時(shí)被選上的結(jié)果有2種，∴甲、乙兩人同時(shí)被選上的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及用樣本估計(jì)總體．23．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2）和B（1，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，直接寫(xiě)出n的值．【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式中，用待定系數(shù)法求解即可．（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)y＝x+n過(guò)點(diǎn)（2，5）時(shí)滿足題意，代入（2，5）求出n的值即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，2）和B（1，4）代入y＝kx+b（k≠0）中，得，解得，∴該函數(shù)的解析式為y＝x+3；（2）由（1）知：當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x+3＝5，∵當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于5，∴當(dāng)y＝x+n過(guò)點(diǎn)（2，5）時(shí)滿足題意，代入（2，5）得：5＝+n，解得：n＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作直線CE交OD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，使得∠E＝∠B．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝6，，求OD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，可得∠OCB＝∠B＝∠E，由OD⊥BC可得，∠E+∠ECD＝90°，進(jìn)一步得到∠OCB+∠ECD＝90°，即∠ECO＝90°，從而得證；（2）由勾股定理求出CD＝3，證明△ABC≌△CED（ASA）．由全等三角形的性質(zhì)得出AC＝CD＝3．則可得出答案．【解答】（1）證明：連接OC．∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB．∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠OCB，∵OD⊥BC，∴∠E+∠DCE＝90°．∴∠OCB+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE．∵OC是半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵OD⊥BC，∴∠CDE＝90°，在Rt△CDE中，DE＝6，，∴．∵OE⊥BC，∴BC＝2CD＝6．∴DE＝BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CDE＝∠ACB．在△ABC與△CED中，，∴△ABC≌△CED（ASA）．∴AC＝CD＝3．∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，勾股定理與全等三角形判定與性質(zhì)，掌握切線的判定定理與全等三角形性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25．（6分）如圖1，某公園一個(gè)圓形噴水池，在噴水池中心O處豎直安裝一根高度為1.25m的水管OA，A處是噴頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個(gè)方向落下，噴出水流的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，測(cè)得噴出水流距離噴水池中心O的最遠(yuǎn)水平距離OB為2.5m，水流豎直高度的最高處位置C距離噴水池中心O的水平距離OD為1m．（1）求噴出水流的豎直高度y（m）與距離水池中心O的水平距離x（m）之間的關(guān)系式，并求水流最大豎直高度CD的長(zhǎng)；（2）安裝師傅調(diào)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，噴頭豎直上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水流隨之豎直上下移動(dòng)（假設(shè)拋物線水流移動(dòng)時(shí)，保持對(duì)稱軸及形狀不變），若水管OA的高度增加0.64m時(shí)，則水流離噴水池中心O的最遠(yuǎn)水平距離為2.7m．【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），由A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1.25），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，0），進(jìn)而求得a，k后得解，再令x＝1，從而求出水流噴出的最大高度；（2）依據(jù)題意，設(shè)拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+m，結(jié)合此時(shí)A為（0，1.89），求出m，從而得拋物線解析式，再令y＝0，即可得解．【解答】解：（1）由題意，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1.25），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，0）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5）．∴x＝1時(shí)，y＝2.25．∴水流噴出的最大高度為2.25m．（2）由題意，∵拋物線水流移動(dòng)時(shí)，保持對(duì)稱軸及形狀不變，∴可設(shè)拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+m．又此時(shí)A為（0，1.89），∴1.89＝﹣1+m．∴m＝2.89．∴拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2.89．令y＝0，∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合題意）．∴水流離噴水池中心O的最遠(yuǎn)水平距離為2.7m．故答案為：2.7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（2，m）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝t．（1）當(dāng)m＝c時(shí)，求t的值；（2）點(diǎn)（﹣1，y1），（3，y2）在拋物線上，若c＜m，請(qǐng)比較y1，y2的大小，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)（2，m）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上和m＝c求得b＝﹣2a，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝t可得答案；（2）根據(jù)點(diǎn)（2，m）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，結(jié)合m＜c，可得2a+b＞0，把點(diǎn)（﹣1，y1），（3，y2）的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，利用差值法即可得到答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意得m＝4a+2b+c，又∵m＝c，∴4a+2b＝0，∴b＝﹣2a，∴t＝﹣＝﹣＝1；（2）根據(jù)題意得m＝4a+2b+c，∵c＜m，∴m﹣c＞0，∴m﹣c＝4a+2b＞0，∴2a+b＞0，∵點(diǎn)（﹣1，y1），（3，y2）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，∴y1＝a﹣b+c，y2＝9a+3b+c，∴y2﹣y1＝（9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝8a+4b＝4（2a+b），∵2a+b＞0，∴4（2a+b）＞0，∴y2﹣y1＞0．∴y2＞y1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱公式是解題關(guān)鍵．27．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠ACP＝∠DPB；（3）用等式表示線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，即可求解；（2）由余角的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△PBD≌△PEC，可得BD＝EC，由勾股定理可求解．【解答】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示；（2）證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ACP+∠APC＝90°，∵以P為中心，將線段PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，∴∠DPC＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，∴∠ACP＝∠DPB；（3）解：線段BC，BP，BD之間的數(shù)量關(guān)系是，理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∵∠DPC＝90°，∠1+∠BPC＝∠2+∠BPC＝90°，∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BPE＝90°，∴∠PBE＝∠PEB＝45°，∴PB＝PE，在△PBD與△PEC中，，∴△PBD≌△PEC（SAS）．∴BD＝EC，∵，∴．【點(diǎn)評(píng)】