垂徑定理及其推論提高試題_第1頁(yè)
垂徑定理及其推論提高試題_第2頁(yè)
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垂徑定理及其推論提高試題已知⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB垂直平分CD于E，求證：AB是⊙O的直徑。證明：連接OC、OD，因AB垂直平分CD于E，故CE=DE，∠AEC=∠AED=90°。若CD為⊙O的直徑，則其中點(diǎn)E為圓心，此時(shí)AB過(guò)圓心E，故AB為直徑；若CD非直徑，由垂徑定理推論，垂直平分非直徑弦的直線必過(guò)圓心，而AB為⊙O的弦，過(guò)圓心的弦是直徑，因此AB是⊙O的直徑。綜上，AB為⊙O的直徑。已知⊙O的弦AB長(zhǎng)為8，弦CD長(zhǎng)為6，且AB與CD垂直相交于圓內(nèi)點(diǎn)P，圓心O到P的距離為√5，求⊙O的半徑r。解：過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA、OC。由垂徑定理，AM=MB=4，CN=ND=3。設(shè)O到AB的距離為d?，到CD的距離為d?，則OA2=d?2+42=r2，OC2=d?2+32=r2，故d?2=r216，d?2=r29。因AB⊥CD，OM⊥AB，ON⊥CD，故OM與ON垂直，四邊形OMPN為矩形，OP為矩形對(duì)角線，由勾股定理得OP2=d?2+d?2=5。代入得(r216)+(r29)=5，解得2r2=30，r=√15。⊙O中，直徑AB與弦CD相交于E，AE:EB=1:3，CD⊥AB于E，求∠COD的度數(shù)。解：設(shè)⊙O半徑為r，則AB=2r，AE:EB=1:3，故AE=r/2，EB=3r/2，OE=OAAE=rr/2=r/2。CD⊥AB于E，由垂徑定理，CE=ED。在Rt△OEC中，OC=r，OE=r/2，cos∠COE=OE/O

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