第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025-2026學(xué)年山西省晉中市太谷區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則sinA的值為（）A.

B.

C.

D.

2.一元二次方程x2-3x-1=0的根的情況是（）A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法確定3.超級(jí)工程——北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)：鳳凰涅槃，位列“新世界七大奇跡”之首，其曲面屋蓋由8000余塊玻璃構(gòu)成，每塊玻璃的曲率都經(jīng)過優(yōu)化接近于0.618，既滿足結(jié)構(gòu)受力要求，又形成富有韻律的視覺效果.這里玻璃曲率的優(yōu)化中，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A.位似變換

B.平移變換

C.旋轉(zhuǎn)變換

D.黃金分割4.在2025年秋季《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試數(shù)據(jù)上報(bào)中，太谷區(qū)為從中了解我區(qū)初中生體質(zhì)健康水平，便在全區(qū)的測(cè)試數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽測(cè)，結(jié)果如下表，根據(jù)抽測(cè)結(jié)果，下列對(duì)我區(qū)初中生體質(zhì)健康合格的概率的估計(jì)，最合理的是（）累計(jì)抽測(cè)的學(xué)生數(shù)n1002003004005006007008009001000體質(zhì)健康合格的學(xué)生數(shù)與n的比值0.850.900.930.900.890.900.910.910.920.92A.0.92 B.0.93 C.0.903 D.0.905.太原市迎澤大街西段路燈“11頭火棉桃燈”（如圖1）于2025年8月底“上崗”.它在保留了傳統(tǒng)中華燈造型的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了照明技術(shù)的創(chuàng)新.所有的光源都采用了LED技術(shù)，不僅節(jié)能環(huán)保，還能帶來更智能的照明體驗(yàn).如圖2是路燈的底座，它的俯視圖如圖3所示，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.6.已知四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件：①AB∥CD；②OA=OC；③OB=OD；④AC⊥BD，從以上條件中任選三個(gè)，能判定四邊形ABCD是菱形的選法有（）種.A.1

B.2

C.3

D.47.關(guān)于反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-2） B.圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

C.圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 D.y的值隨x值的增大而增大8.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠D=∠ACB，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定△ACD和△ABC相似的是（）

A.AC平分∠BAD B.∠DCA=∠B C. D.9.2025年，由于新能源汽車的快速崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng).某款燃油汽車今年9月份售價(jià)為25萬元，11月份售價(jià)為24.01萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x,則所列方程正確的是（）A.24.01（1+2x）=25 B.24.01（1+x）2=25

C.25（1-x）2=24.01 D.25（1-2x）=24.0110.如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB=10cm,AD=6cm,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將紙片沿DE折疊，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'、B'處，當(dāng)點(diǎn)C在A'B'上時(shí)，則線段CE的長(zhǎng)為（）A.

B.

C.2.5cm

D.5cm二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若x=1是一元二次方程x2-3x+m=0的一個(gè)根，則m的值為

.12.如圖是一組懸掛在天花板上的創(chuàng)意吊燈，清洗時(shí)每次只能取下一個(gè)吊燈，且取下吊燈B前必須先取下吊燈C，直到3個(gè)吊燈都被取下為止，則清洗時(shí)第二個(gè)被取下的吊燈是B的概率是

.

13.驗(yàn)光師通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示.經(jīng)過一段時(shí)間佩戴“星趣控”鏡片的矯正治療后，小穎的鏡片焦距由0.2米調(diào)整到0.25米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了

度.14.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其俯視圖為菱形，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得幾何體的體積為

cm2.15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD=3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD=30°，∠BED=60°，且CD=4，則AB的長(zhǎng)為

.三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

按要求完成下列各題：

（1）解方程：x（x-3）-x+3=0；

（2）計(jì)算：4sin60°-6tan30°+2cos245°.17.(本小題7分)

如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，3），B（1，2），C（3，1）.

（1）以點(diǎn)A為位似中心，在點(diǎn)A的下方畫出△A1BC1使△AB1C1與△ABC位似，且位似比為3：1；

（2）寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)：（______）；

（3）四邊形BCC1B1的面積為______.18.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1=k1x+b（k1≠0）與反比例函數(shù)（k2≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)A（-1，4），在第四象限交于點(diǎn)B（2，m），過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接AC.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）求△ABC的面積.

（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集.19.(本小題7分)

《數(shù)學(xué)之美》是中國(guó)郵政于2025年3月14日（國(guó)際圓周率日）發(fā)行的紀(jì)特郵票.該套郵票共4枚，面值分別為80分、1.20元、1.20元、1.50元.郵票圖案名稱為：圓周率、勾股定理、歐拉公式、莫比烏斯帶.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)該組郵票很感興趣，便收集了這4張郵票的圖案并制成卡片，依次標(biāo)為A、B、C、D，現(xiàn)將卡片背面朝上洗勻放在桌面上（卡片背面完全相同）.

（1）將這四張卡片背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，則抽取的這張卡片圖案剛好是“歐拉公式”的概率是______；

（2）小文從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求小文抽到的兩張卡片的圖案恰好是“歐拉公式”和“莫比烏斯帶”的概率.

20.(本小題8分)

利用一元二次方程解決實(shí)際問題.

截至2025年10月30日，《浪浪山小妖怪》的累計(jì)票房已超過17億元，登頂中國(guó)影史國(guó)產(chǎn)二維動(dòng)畫電影票房冠軍.問童子毛絨品牌公司，借助電影《浪浪山小妖怪》的東風(fēng)，推出《浪浪山小妖怪》系列毛絨公仔、掛偶等并在各大網(wǎng)站、店鋪爆賣.現(xiàn)已知某店鋪成本價(jià)為50元/個(gè)的“小豬妖”毛絨掛偶，當(dāng)它的售價(jià)為80元/個(gè)銷售時(shí)，每周可售出100個(gè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)“小豬妖”毛絨掛偶的售價(jià)每上漲1元，周銷售量將減少5個(gè).問：該店鋪本周計(jì)劃漲價(jià)銷售該款“小豬妖”毛絨掛偶，并盈利2000元，求該店鋪本周該款“小豬妖”毛絨掛偶的售價(jià).21.(本小題9分)

項(xiàng)目化學(xué)習(xí)項(xiàng)目主題測(cè)量“史公塔”的高度項(xiàng)目背景史公塔，也稱北壇塔，位于晉中市介休城西北，坐落在北壇公園內(nèi).縣級(jí)文物保護(hù)單位.塔建于清乾隆十三年（1748），系八角七層樓閣式磚塔，塔頂飾以黃、綠兩色琉璃瓦，塔剎和覆缽為黃色琉璃，配以綠琉璃垂脊，外觀雄渾秀麗，金碧輝煌.有木梯、臺(tái)階可登頂遠(yuǎn)眺.某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組以“測(cè)量史公塔的高度”為主題開展項(xiàng)目學(xué)習(xí).測(cè)量示意圖說明：點(diǎn)A為“史公塔”的塔頂，點(diǎn)C、D是兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，DE為垂直于地面的高臺(tái)，且B、C、D三點(diǎn)共線測(cè)量數(shù)據(jù)C處的仰角E處的仰角高臺(tái)DE的高度CD的距離45°38°5m5.88m……任務(wù)一：請(qǐng)運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)，根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助“綜合與實(shí)踐”小組求出塔頂A到地面的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）；

任務(wù)二：該“綜合與實(shí)踐”小組要寫出一份完整的課題活動(dòng)報(bào)告，除了上表中的項(xiàng)目外，你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目（寫出一個(gè)即可）.22.(本小題12分)

綜合與應(yīng)用

定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“完美點(diǎn)”.

【嘗試初探】

（1）點(diǎn)C（4，5）______“完美點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；若點(diǎn)D（8，b）是第一象限內(nèi)的一個(gè)“完美點(diǎn)”，則b=______；

【深入探究】

（2）①若“完美點(diǎn)”E（m,6）（m＞0）在雙曲線且k為常數(shù)）的圖象上，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；

②在①的條件下，若點(diǎn)F（9，n）也在雙曲線的圖象上，請(qǐng)?jiān)趫D2中描出E，F(xiàn)兩點(diǎn)，構(gòu)造出△EOF，畫出該反比例函數(shù)在第一象限的圖象，并求出△EOF的面積.

23.(本小題13分)

綜合與探究

【自主探究】

在綜合與實(shí)踐課上，老師以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1，

已知正方形ABCD和正方形EBGF，當(dāng)點(diǎn)F在對(duì)角線BD上時(shí)，在老師提出：猜想線段DF與AE的數(shù)量關(guān)系時(shí)，大家一致認(rèn)為，并且有兩個(gè)小組給出如下的證明思路：

奮進(jìn)組：要想證明，可以構(gòu)造并證明等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜邊與底角的三角函數(shù)，然后通過等量代換，便可證明；

創(chuàng)新組：要想證明，可利用平行線分線段成比例定理，對(duì)比例式進(jìn)行變形，然后利用等腰直角三角形的斜邊與底角的三角函數(shù).便可證明；

【操作思考】

（1）請(qǐng)你根據(jù)“奮進(jìn)組”和“創(chuàng)新組”提出的思路對(duì)下面問題做出選擇（）

A.“奮進(jìn)組”的思路正確，“創(chuàng)新組”的思路不正確

B.“創(chuàng)新組”的思路正確，“奮進(jìn)組”的思路不正確

C.“奮進(jìn)組”和“創(chuàng)新組”的思路都正確

D.“奮進(jìn)組”和“創(chuàng)新組”的思路都不正確

【深入探究】

（2）將正方形EBGF繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α；（0＜α＜360°）當(dāng)正方形EBGF旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【拓展延伸】

（3）如圖3，將正方形EBGF繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜360°）的過程中，當(dāng)A，E，G三點(diǎn)共線時(shí)，直線BF與射線DC相交于點(diǎn)H，當(dāng)，，線段DH的長(zhǎng)為______.（直接寫出答案）

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】2

12.【答案】

13.【答案】100

14.【答案】270

15.【答案】

16.【答案】x1=3，x2=1

1

17.【答案】如圖，△A1B1C1即為所作；

1，-3

20

18.【答案】反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為y1=-2x+2

3

不等式的解集為-1＜x＜0或x＞2

19.【答案】

20.【答案】該店鋪本周該款“小豬妖“毛絨掛偶的售價(jià)為90元/個(gè)．

21.【答案】任務(wù)一：該塔AB的高度約為44米；

任務(wù)二：除了上表中的項(xiàng)目外，我認(rèn)為還需要補(bǔ)充項(xiàng)目有：測(cè)量工具等等（答案不唯一）．

22.