帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題深度剖析與算法優(yōu)化一、引言1.1研究背景最短路問題作為圖論中的經(jīng)典問題，自誕生以來便在眾多領域中展現(xiàn)出了強大的應用價值與活力。在計算機科學領域，它是網(wǎng)絡路由的核心問題，決定著數(shù)據(jù)包在網(wǎng)絡中的最優(yōu)傳輸路徑，對于提高網(wǎng)絡傳輸效率、降低延遲起著關鍵作用。在物流配送行業(yè)，合理規(guī)劃貨物運輸?shù)淖疃搪窂?，能夠有效減少運輸成本，提高配送效率，從而增強企業(yè)的競爭力。在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，最短路徑分析是實現(xiàn)智能導航、路徑規(guī)劃等功能的基礎，為人們的出行提供了極大的便利。在通信網(wǎng)絡領域，它有助于優(yōu)化信號傳輸路徑，確保通信的穩(wěn)定與高效。在電力傳輸網(wǎng)絡中，確定最短路徑可以減少線路損耗，提高能源利用效率。從理論層面來看，最短路問題的研究成果也為其他相關問題的解決提供了重要的思路和方法，推動了圖論、運籌學等學科的發(fā)展。傳統(tǒng)的最短路問題通常假設網(wǎng)絡中的邊權是固定不變的常數(shù)，但在實際應用場景中，網(wǎng)絡往往呈現(xiàn)出動態(tài)性和不確定性。例如，在交通網(wǎng)絡中，道路的通行時間會受到交通流量、天氣狀況、突發(fā)事件等因素的影響，這些因素使得邊權不再是固定值，而是隨時間或其他參數(shù)動態(tài)變化。在通信網(wǎng)絡中，信號傳輸?shù)难舆t可能會受到網(wǎng)絡擁塞、設備故障等因素的干擾，導致邊權的不確定性。在物流配送中，運輸成本可能會因油價波動、運輸需求變化等因素而發(fā)生改變。因此，研究帶參數(shù)賦權的網(wǎng)絡最短路問題具有重要的現(xiàn)實意義。帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題，作為帶參數(shù)賦權網(wǎng)絡最短路問題的一種特殊形式，在實際應用中也有著廣泛的需求。以電力傳輸網(wǎng)絡為例，在規(guī)劃電力傳輸線路時，不僅需要考慮線路建設的初始成本（一次參數(shù)），還需要考慮線路在未來運行過程中的維護成本、能耗成本等（二次參數(shù)），這些成本因素往往與線路的長度、使用年限、負載等因素相關，呈現(xiàn)出二次函數(shù)的關系。通過求解帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題，可以確定最優(yōu)的電力傳輸線路規(guī)劃方案，實現(xiàn)建設成本與運行成本的綜合最優(yōu)。在水資源調配網(wǎng)絡中，從水源地到各個用水區(qū)域的管道鋪設，需要考慮管道建設成本（一次參數(shù)）以及未來長期的水資源輸送能耗成本、管道維護成本（二次參數(shù)），通過優(yōu)化最短路問題，可以實現(xiàn)水資源調配的經(jīng)濟高效。在通信網(wǎng)絡升級改造中，涉及新設備的采購成本（一次參數(shù)）以及后續(xù)設備運行的能耗成本、維護成本（二次參數(shù)），求解帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題，有助于制定最優(yōu)的網(wǎng)絡升級方案。在城市綜合管廊建設中，需要考慮管廊建設的初期投資成本（一次參數(shù)）以及后期管廊運營過程中的維護成本、擴容成本（二次參數(shù)），通過研究該問題，可以為管廊建設提供科學合理的規(guī)劃依據(jù)。綜上所述，帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題研究，對于解決實際工程和管理中的優(yōu)化決策問題具有重要的理論和實踐意義，能夠為相關領域的資源優(yōu)化配置、成本控制和效率提升提供有力的支持，具有廣闊的研究前景和應用價值。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1靜態(tài)網(wǎng)絡最短路徑算法的研究靜態(tài)網(wǎng)絡最短路徑算法作為最短路問題研究的基礎，已經(jīng)取得了豐碩的成果，其發(fā)展歷程蘊含著眾多學者的智慧結晶。早在1959年，荷蘭計算機專家E.W.Dijkstra提出了著名的Dijkstra算法，該算法基于貪心策略，通過不斷選擇距離源點最近且未確定最短路徑的節(jié)點，并利用該節(jié)點更新其他節(jié)點的距離，逐步找到從源點到各個頂點的最短路徑。Dijkstra算法在處理邊權非負的網(wǎng)絡時表現(xiàn)出色，具有較高的穩(wěn)定性和準確性。例如在通信網(wǎng)絡中，當信號傳輸延遲可視為非負邊權時，Dijkstra算法能夠有效地確定信號從發(fā)送端到各個接收端的最短傳輸路徑，確保通信的高效性。其時間復雜度為O(V^2)，其中V為頂點數(shù)。若使用優(yōu)先隊列優(yōu)化，時間復雜度可降為O((V+E)\logV)，E為邊數(shù)。為了解決含有負權邊的圖的最短路問題，F(xiàn)ord在Dijkstra算法基礎上提出了Ford算法，它通過對所有邊進行多次松弛操作，不斷更新節(jié)點的最短路徑估計值，直至所有邊都無法再更新最短路徑為止，從而有效地處理了含有負權邊的情況。然而，F(xiàn)ord算法的時間復雜度較高，為O(VE)。后來出現(xiàn)的Bellman-Ford算法是對Ford算法的改進，同樣適用于存在負權邊的圖，其原理也是通過不斷松弛邊來求解最短路。以物流配送網(wǎng)絡為例，若考慮運輸過程中可能出現(xiàn)的負向因素（如某些路段的補貼），可利用Bellman-Ford算法來規(guī)劃貨物運輸?shù)淖顑?yōu)路徑，以實現(xiàn)成本的最小化。Floyd-Warshall算法則是多源最短路徑算法的代表，它采用動態(tài)規(guī)劃的思想，通過一個三層循環(huán)，逐步計算所有節(jié)點對之間的最短路徑。其時間復雜度為O(V^3)，雖然復雜度較高，但它能夠在一次計算中得到圖中任意兩點之間的最短路徑，在一些需要全局最短路徑信息的場景中有著廣泛應用。例如在城市交通規(guī)劃中，要確定任意兩個地點之間的最短行車路線，F(xiàn)loyd-Warshall算法就可以發(fā)揮重要作用。1.2.2動態(tài)網(wǎng)絡最短路徑算法的研究隨著實際應用中網(wǎng)絡動態(tài)性的凸顯，動態(tài)網(wǎng)絡最短路徑算法逐漸成為研究熱點。動態(tài)網(wǎng)絡的特點是網(wǎng)絡拓撲結構或權值會隨時間變化，這對傳統(tǒng)的靜態(tài)算法提出了挑戰(zhàn)。例如在交通網(wǎng)絡中，道路的臨時封閉、交通流量的實時變化等都會導致網(wǎng)絡拓撲和邊權的動態(tài)改變。為了應對這些變化，一些基于增量更新思想的動態(tài)最短路徑算法被提出。這些算法在網(wǎng)絡發(fā)生變化時，通過局部更新而非重新計算來快速獲取新的最短路徑，從而提高了算法的效率。Ziliaskopoulos和Kotzinos對基于時間的動態(tài)最短路徑算法進行了深入研究，并在并行虛擬機（PVM）上實現(xiàn)了該算法的并行化。實驗結果表明，隨著時間步數(shù)的增加，算法的加速比有所改善。然而，他們也指出需要在實際網(wǎng)絡和隨機網(wǎng)絡上對算法的效率作進一步測試。在國內(nèi)，相關研究也在不斷推進。有研究提出了一種改進的動態(tài)網(wǎng)絡最短路徑算法，該算法基于經(jīng)典的Dijkstra算法和A*算法，并引入了一些新的優(yōu)化措施。比如采用優(yōu)先隊列代替數(shù)組存儲節(jié)點，使每次選擇下一個節(jié)點的時間復雜度由O(n)降到O(\logn)；當某個節(jié)點的距離值發(fā)生改變時，采用更新延遲策略，減少重復節(jié)點的更新次數(shù)；在每次新加邊或新建節(jié)點時，通過結構緩存記錄鄰居節(jié)點集合，避免計算過程中的重復遍歷。這些優(yōu)化措施使得算法在處理網(wǎng)絡拓撲動態(tài)變化時更加高效、穩(wěn)定和可用。1.2.3最短路徑并行算法的研究隨著計算機硬件技術的發(fā)展，利用并行計算來加速最短路徑算法成為一個熱門研究方向。并行計算能夠將計算任務分配給多個處理器或計算節(jié)點，利用它們的并行計算能力來提高算法的執(zhí)行效率。在分布式并行集群環(huán)境下，研究最短路徑并行算法的實現(xiàn)方法成為重要課題。譚國真和隋春麗在PC機群環(huán)境下研究了最短路徑并行算法，給出了SPMD模式下最短路徑并行算法的簡單實現(xiàn)過程，并在非循環(huán)圖網(wǎng)絡模型和強連通隨機網(wǎng)絡模型上對算法的加速比和并行效率進行了測試。然而，該算法在網(wǎng)絡分割策略中采用靜態(tài)負載平衡策略，沒有考慮動態(tài)變化的網(wǎng)絡帶寬和各個節(jié)點機的動態(tài)變化情況，導致不能高效利用各節(jié)點機的計算資源。因此，后續(xù)研究致力于優(yōu)化最短路徑并行算法中的負載平衡算法，以更加有效地利用分布式并行計算環(huán)境的資源，進一步提高求解大規(guī)模網(wǎng)絡上最短路徑的速度。同時，研究最短路徑并行算法在對動態(tài)性和實時性要求較高的系統(tǒng)中的實際應用也具有重要意義。1.2.4大規(guī)模網(wǎng)絡模型與最優(yōu)路徑算法隨著網(wǎng)絡規(guī)模的不斷擴大，大規(guī)模網(wǎng)絡模型與最優(yōu)路徑算法的研究變得愈發(fā)重要。在大規(guī)模網(wǎng)絡中，傳統(tǒng)的最短路徑算法可能面臨計算資源消耗過大、計算時間過長等問題。為了解決這些問題，一些針對大規(guī)模網(wǎng)絡的優(yōu)化算法和模型被提出。例如，在交通網(wǎng)絡中，為了處理城市規(guī)模的交通數(shù)據(jù)，研究人員提出了分層網(wǎng)絡模型。該模型將交通網(wǎng)絡按照一定規(guī)則進行分層，在高層網(wǎng)絡中進行快速的路徑搜索，確定大致的路徑方向，然后在低層網(wǎng)絡中進行精細的路徑優(yōu)化，從而減少了搜索空間，提高了算法效率。在實際應用中，大規(guī)模網(wǎng)絡的最優(yōu)路徑算法還需要考慮多目標優(yōu)化問題。比如在物流配送中，不僅要考慮運輸路徑的最短，還要綜合考慮運輸成本、運輸時間、貨物時效性等多個因素。一些多目標優(yōu)化算法，如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等，被應用于求解大規(guī)模網(wǎng)絡的最優(yōu)路徑問題。這些算法通過模擬自然進化或群體智能行為，在多個目標之間進行權衡和優(yōu)化，能夠找到滿足多種約束條件的近似最優(yōu)解。然而，目前對于帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題研究相對較少。在已有的研究中，大多集中在靜態(tài)網(wǎng)絡、動態(tài)網(wǎng)絡、并行算法以及大規(guī)模網(wǎng)絡模型等方面，對于網(wǎng)絡中權值為帶二次參數(shù)函數(shù)的情況，尚未形成完善的理論體系和高效的算法。這種研究的不足在實際應用中可能導致無法準確地解決一些復雜的優(yōu)化問題，如在電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃中，無法充分考慮線路建設成本和長期運行成本之間的二次關系，從而難以實現(xiàn)整體成本的最優(yōu)控制。因此，開展帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題研究具有重要的理論和現(xiàn)實意義。1.3研究目的與意義本研究旨在深入剖析帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題，構建嚴謹?shù)睦碚擉w系，并設計出高效、實用的算法，為解決實際工程和管理中的復雜優(yōu)化決策問題提供堅實的理論支撐和有效的技術手段。從理論層面來看，帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題研究，能夠填補當前在該領域理論研究的不足，完善帶參數(shù)賦權網(wǎng)絡最短路問題的理論體系。通過對二次參數(shù)在網(wǎng)絡中的作用機制、參數(shù)賦權對路徑選擇的影響等方面進行深入探究，揭示帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的內(nèi)在規(guī)律，為后續(xù)相關研究提供重要的理論基礎和研究思路。這不僅有助于推動圖論、運籌學等學科在動態(tài)網(wǎng)絡優(yōu)化領域的發(fā)展，還能為其他涉及多參數(shù)優(yōu)化的復雜問題提供借鑒和參考。在實際應用中，本研究成果具有廣泛的應用價值。在電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃中，通過求解帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題，可以綜合考慮線路建設成本和長期運行成本，實現(xiàn)電力傳輸線路的最優(yōu)規(guī)劃，降低電力傳輸?shù)目偝杀?，提高電力系統(tǒng)的經(jīng)濟性和可靠性。在水資源調配網(wǎng)絡中，能夠優(yōu)化水資源的輸送路徑，在滿足用水需求的前提下，減少水資源輸送過程中的能耗和成本，實現(xiàn)水資源的合理配置和高效利用。在通信網(wǎng)絡升級改造中，可幫助通信企業(yè)制定最優(yōu)的升級方案，在控制設備采購成本的同時，降低設備運行和維護成本，提高通信網(wǎng)絡的性能和穩(wěn)定性。在城市綜合管廊建設中，能夠為管廊的規(guī)劃和設計提供科學依據(jù)，實現(xiàn)建設成本與運營成本的平衡，提高城市基礎設施建設的效益。此外，本研究對于提高企業(yè)的運營效率和競爭力也具有重要意義。在物流配送、交通運輸?shù)刃袠I(yè)，合理規(guī)劃路徑可以降低運輸成本，提高配送效率，縮短貨物運輸時間，從而增強企業(yè)的市場競爭力。通過本研究提出的算法和模型，企業(yè)可以更加準確地計算和優(yōu)化運輸路徑，實現(xiàn)資源的優(yōu)化配置，提高企業(yè)的經(jīng)濟效益。帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題研究具有重要的理論和現(xiàn)實意義，其研究成果將為多個領域的實際應用提供有力支持，促進相關行業(yè)的發(fā)展和進步。1.4研究方法與創(chuàng)新點1.4.1研究方法理論分析：深入剖析帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的特性，運用數(shù)學理論和邏輯推導，對二次參數(shù)在網(wǎng)絡中的作用機制、參數(shù)賦權對路徑選擇的影響進行系統(tǒng)研究。通過建立嚴謹?shù)臄?shù)學模型，揭示帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的內(nèi)在規(guī)律，為算法設計提供堅實的理論基礎。例如，運用函數(shù)分析的方法，研究二次參數(shù)函數(shù)的性質對邊權的影響，進而分析其對最短路徑的影響。數(shù)值模擬：利用計算機編程技術，對設計的算法進行數(shù)值模擬實驗。通過構建不同規(guī)模和特性的帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡模型，模擬各種實際場景下的網(wǎng)絡情況，對算法的性能進行全面測試和評估。在模擬過程中，收集算法的運行時間、計算精度等數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分析來驗證算法的有效性和優(yōu)越性。例如，使用Python的NetworkX庫來構建網(wǎng)絡模型，利用NumPy和Pandas庫進行數(shù)據(jù)處理和分析。實例驗證：選取實際工程和管理中的具體案例，如電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃、水資源調配網(wǎng)絡設計等，將研究成果應用于實際案例中，驗證算法和模型的實際應用價值。通過與實際情況的對比分析，進一步優(yōu)化算法和模型，使其更符合實際需求，為解決實際問題提供切實可行的方案。例如，與電力公司合作，獲取實際的電力傳輸網(wǎng)絡數(shù)據(jù)，運用研究成果進行線路規(guī)劃優(yōu)化，并對比優(yōu)化前后的成本和效率。1.4.2創(chuàng)新點算法設計創(chuàng)新：針對帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的特點，提出一種全新的基于動態(tài)規(guī)劃和貪心策略相結合的算法。該算法在傳統(tǒng)算法的基礎上，充分考慮二次參數(shù)的動態(tài)變化和多階段網(wǎng)絡的特性，通過動態(tài)規(guī)劃來逐步求解子問題，利用貪心策略在每一步選擇當前最優(yōu)解，從而高效地找到全局最優(yōu)路徑。與傳統(tǒng)算法相比，新算法能夠更準確地處理二次參數(shù)的影響，在計算效率和求解精度上都有顯著提升。例如，在處理大規(guī)模網(wǎng)絡時，傳統(tǒng)算法可能需要耗費大量時間進行全局搜索，而新算法通過動態(tài)規(guī)劃和貪心策略，可以快速縮小搜索范圍，減少計算量，提高計算速度。模型構建創(chuàng)新：構建一種考慮多因素影響的帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡模型。該模型不僅考慮了網(wǎng)絡中邊的二次參數(shù)賦權，還將網(wǎng)絡的拓撲結構、節(jié)點的屬性以及其他相關因素納入其中，更全面地反映了實際網(wǎng)絡的復雜性。通過引入一些新的參數(shù)和變量，建立了更準確的數(shù)學關系，使得模型能夠更好地適應不同的實際應用場景。例如，在電力傳輸網(wǎng)絡模型中，除了考慮線路建設成本和運行成本的二次關系外，還考慮了不同地區(qū)的電力需求、線路的可靠性等因素，使模型更具實用性。二、相關理論基礎2.1圖論基本概念在圖論中，圖（Graph）是一種由頂點（Vertex）和邊（Edge）組成的數(shù)學結構，通常用G=(V,E)來表示，其中V是頂點的集合，E是邊的集合。例如，在一個城市交通網(wǎng)絡中，城市可以看作是頂點，連接城市之間的道路則是邊。頂點也被稱為節(jié)點，它是圖的基本組成元素，用于代表各種實體。邊則表示頂點之間的某種聯(lián)系或關系，其可以是無向的，也可以是有向的。有向圖（DirectedGraph）是一種特殊的圖，其中邊具有方向性。若用(u,v)表示有向圖中的一條邊，則表示從頂點u指向頂點v的一條有向邊，即從u可以到達v，但反之不一定成立。例如在通信網(wǎng)絡中，信息的傳輸方向是有向的，從發(fā)送節(jié)點到接收節(jié)點，這種關系就可以用有向圖來表示。有向圖的邊集合E中的元素是有序對。賦權圖（WeightedGraph）是在圖的基礎上，為每條邊賦予一個權重（Weight）。權重可以表示邊的某種屬性，如在交通網(wǎng)絡中，邊的權重可以表示兩個城市之間的距離、通行時間或運輸成本等。對于賦權圖G=(V,E,W)，其中W是邊權的集合，每條邊e\inE都對應一個權值w(e)\inW。如果邊權是固定不變的常數(shù)，這樣的賦權圖就是靜態(tài)賦權圖；而當邊權隨時間、事件等因素動態(tài)變化時，就形成了動態(tài)賦權圖。在實際應用中，動態(tài)賦權圖更能反映復雜多變的現(xiàn)實網(wǎng)絡情況。路徑（Path）是圖中由一系列邊連接起來的頂點序列。在無向圖中，路徑P=(v_1,e_1,v_2,e_2,\cdots,v_n)，其中v_i\inV，e_i\inE，且e_i連接v_i和v_{i+1}；在有向圖中，路徑的邊順序與頂點順序需保持一致。路徑的長度通常定義為路徑上所有邊的權值之和。例如在一個物流配送網(wǎng)絡中，從倉庫到客戶的一條運輸路線就可以看作是一條路徑，路徑長度則可以表示運輸成本或運輸時間。最短路（ShortestPath）是指在圖中從一個指定頂點（源點）到另一個指定頂點（終點），或者從源點到所有其他頂點中，路徑長度最短的路徑。求解最短路的問題在許多領域都有重要應用。比如在地理信息系統(tǒng)中，為用戶規(guī)劃從當前位置到目的地的最短駕車路線；在通信網(wǎng)絡中，確定信號傳輸?shù)淖顑?yōu)路徑，以減少延遲。最短路的求解算法是圖論研究的重要內(nèi)容之一，不同類型的圖和應用場景需要不同的算法來高效地找到最短路。2.2最短路問題經(jīng)典算法2.2.1Dijkstra算法Dijkstra算法由荷蘭計算機科學家EdsgerW.Dijkstra于1956年提出，是解決單源最短路徑問題的經(jīng)典算法，旨在找到從圖中一個固定頂點（源點）到其他所有頂點的最短路徑。其基本思想基于貪心策略，以源點為中心，逐步向外擴展已確定最短路徑的節(jié)點集合。具體步驟如下：首先進行初始化，創(chuàng)建距離字典distances，用于存儲從源點到每個頂點的當前最短距離估計，將源點到自身的距離設為0，其他頂點到源點的距離設為正無窮大；同時創(chuàng)建父節(jié)點字典parents，用于記錄最短路徑上每個頂點的前一個頂點。接著構建優(yōu)先隊列，將所有頂點及其距離值放入優(yōu)先隊列中，使用最小堆作為優(yōu)先隊列，距離作為優(yōu)先級。然后進入主循環(huán)，重復以下步驟直到優(yōu)先隊列為空：從優(yōu)先隊列中彈出一個頂點current_vertex，其到源點的距離current_distance是已知的最小值；對于當前頂點的每個相鄰頂點neighbor，計算從源點經(jīng)過current_vertex到達neighbor的距離new_distance，若new_distance小于distances[neighbor]，則更新distances[neighbor]和parents[neighbor]，并將(new_distance,neighbor)插入優(yōu)先隊列。當優(yōu)先隊列為空時，所有頂點的最短路徑都已計算完成，從源點到每個頂點的最短路徑長度保存在distances字典中，最短路徑上的父節(jié)點關系保存在parents字典中。Dijkstra算法的時間復雜度為O((V+E)\logV)，其中V是頂點數(shù)量，E是邊數(shù)量；空間復雜度為O(V)，主要用于存儲距離和父節(jié)點的字典。該算法要求圖中所有邊的權值非負，這是因為其貪心策略依賴于每次選擇當前距離源點最近的頂點，如果存在負權邊，可能會導致已確定的最短路徑在后續(xù)被更短的路徑替代。例如在一個交通網(wǎng)絡中，若將道路的長度作為邊權，由于長度不可能為負，此時Dijkstra算法就可以很好地應用，確定從一個城市到其他所有城市的最短路線。在通信網(wǎng)絡中，信號傳輸?shù)难舆t通常也是非負的，Dijkstra算法能夠有效地找到信號從發(fā)送端到各個接收端的最短傳輸路徑。以一個簡單的有向賦權圖為例，假設有圖G=(V,E,W)，其中V=\{A,B,C,D\}，E=\{(A,B,4),(A,C,2),(B,D,1),(C,B,3),(C,D,5)\}，源點為A。初始化時，distances[A]=0，distances[B]=distances[C]=distances[D]=\infty。從優(yōu)先隊列中彈出A，更新其相鄰頂點B和C的距離，distances[B]=4，distances[C]=2。接著彈出C，更新B和D的距離，distances[B]=3$（因為$2+3\lt4$），distances[D]=7。再彈出B，更新D的距離，`distances[D]=4（因為3+1\lt7）。最終得到從A到B、C、D的最短路徑長度分別為3、2、4。2.2.2Floyd算法Floyd算法是一種用于求解有向圖中任意兩點之間最短路徑的經(jīng)典算法，它基于動態(tài)規(guī)劃的思想，通過一個三層循環(huán)，逐步計算所有節(jié)點對之間的最短路徑。其原理是假設存在一個圖G=(V,E)，對于圖中的每一個頂點k，檢查是否存在一條通過頂點k的路徑，使得從頂點i到頂點j的路徑長度比當前已知的最短路徑更短。如果存在這樣的路徑，即Dis(i,k)+Dis(k,j)\ltDis(i,j)，那么就更新Dis(i,j)的值為Dis(i,k)+Dis(k,j)。這里的Dis(i,j)表示從頂點i到頂點j的當前最短路徑距離。在實現(xiàn)方式上，F(xiàn)loyd算法首先需要初始化一個距離矩陣D和一個路徑矩陣R。距離矩陣D用于記錄每兩個頂點之間的初始距離，若兩個頂點之間有直接邊相連，則距離為該邊的權值，否則為無窮大；路徑矩陣R用于記錄每兩個頂點之間的最短路徑上的中轉點，初始時，若i到j有直接邊，則R(i,j)=j，否則R(i,j)=-1（表示無中轉點）。然后通過三層循環(huán)來更新距離矩陣和路徑矩陣。外層循環(huán)遍歷中轉點k，中間層循環(huán)遍歷起始點i，內(nèi)層循環(huán)遍歷終點j。在循環(huán)過程中，若發(fā)現(xiàn)經(jīng)過中轉點k的路徑更短，則更新距離矩陣D和路徑矩陣R。例如，當檢查到D(i,k)+D(k,j)\ltD(i,j)時，更新D(i,j)=D(i,k)+D(k,j)，同時更新R(i,j)=R(i,k)。Floyd算法的時間復雜度為O(V^3)，其中V為頂點數(shù)，這是因為它有三層嵌套循環(huán)，每層循環(huán)都要遍歷所有頂點?？臻g復雜度為O(V^2)，主要用于存儲距離矩陣和路徑矩陣。該算法的適用范圍較廣，不僅可以處理無向圖，也能處理有向圖，并且能夠處理邊權為負的情況，但前提是圖中不能存在負權回路。在城市交通規(guī)劃中，要確定任意兩個地點之間的最短行車路線，F(xiàn)loyd算法就可以發(fā)揮重要作用。在物流配送網(wǎng)絡中，若需要計算任意兩個配送點之間的最短運輸路徑，F(xiàn)loyd算法也能提供有效的解決方案。假設有一個包含四個頂點V=\{1,2,3,4\}的有向圖，其鄰接矩陣（即初始距離矩陣D）如下：\begin{bmatrix}0&3&\infty&5\\2&0&\infty&4\\\infty&1&0&\infty\\\infty&\infty&2&0\end{bmatrix}路徑矩陣R初始化為：\begin{bmatrix}-1&2&-1&4\\1&-1&-1&4\\-1&2&-1&-1\\-1&-1&3&-1\end{bmatrix}當以頂點1作為中轉點進行更新時，對于i=2，j=3，發(fā)現(xiàn)D(2,1)+D(1,3)=\infty，不滿足更新條件；對于i=2，j=4，D(2,1)+D(1,4)=2+5=7\gt4，也不滿足更新條件。當以頂點2作為中轉點進行更新時，對于i=1，j=3，D(1,2)+D(2,3)=3+\infty=\infty，不更新；對于i=1，j=4，D(1,2)+D(2,4)=3+4=7\gt5，不更新；對于i=3，j=4，D(3,2)+D(2,4)=1+4=5，此時D(3,4)=\infty，滿足更新條件，更新D(3,4)=5，R(3,4)=R(3,2)=2。經(jīng)過完整的三層循環(huán)更新后，最終得到的距離矩陣D為：\begin{bmatrix}0&3&4&5\\2&0&3&4\\3&1&0&5\\5&3&2&0\end{bmatrix}路徑矩陣R為：\begin{bmatrix}-1&2&2&4\\1&-1&2&4\\2&2&-1&2\\3&3&3&-1\end{bmatrix}通過路徑矩陣R，可以回溯出任意兩點之間的最短路徑。例如，要找到從頂點3到頂點4的最短路徑，從R(3,4)=2可知，先經(jīng)過頂點2，再看R(2,4)=4，所以最短路徑為3\rightarrow2\rightarrow4。2.2.3Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一種用于計算從單一源點到圖中所有其他節(jié)點最短路徑的圖搜索算法，由美國數(shù)學家RichardBellman和LesterFordJr.提出。該算法的基本思想基于動態(tài)規(guī)劃原理，通過反復“松弛”圖中的邊，逐步減小到達每個頂點的估計距離，直到這些估計不再改變。在一個含有n個頂點的圖中，任意兩點之間的最短路徑最多包含n-1條邊，因為最短路徑是一個不包含回路的簡單路徑，如果包含正權回路，去掉回路可得到更短路徑；若包含負權回路，則不存在最短路徑。其實現(xiàn)步驟如下：首先，初始化距離數(shù)組dis，將源點到自身的距離設為0，其他頂點到源點的距離設為正無窮大。然后，進行n-1輪松弛操作，每輪對輸入的所有邊進行松弛。在松弛過程中，對于每條邊(u,v)，如果從源點經(jīng)過u到達v的距離dis[u]+w(u,v)小于當前dis[v]的值，則更新dis[v]=dis[u]+w(u,v)，其中w(u,v)是邊(u,v)的權重。經(jīng)過n-1輪松弛后，如果仍然存在可以松弛的邊，即存在邊(u,v)使得dis[v]>dis[u]+w(u,v)，則說明圖中存在負權回路。Bellman-Ford算法的時間復雜度為O(VE)，其中V是頂點數(shù)，E是邊數(shù)。這使得它在大規(guī)模稠密圖中的性能較低，但在邊數(shù)量相對較少的情況下表現(xiàn)良好。該算法的突出特性是能夠處理包含負權邊的圖，這使得它在某些應用中比Dijkstra算法更為適用，如經(jīng)濟學中的貨幣兌換場景，不同貨幣之間的兌換匯率可能存在負向的手續(xù)費，可利用Bellman-Ford算法來尋找最優(yōu)的兌換路徑。在網(wǎng)絡路由策略中，考慮到網(wǎng)絡延遲可能存在負向優(yōu)化的情況，也可運用該算法進行路徑規(guī)劃。假設存在一個有向圖，頂點集合V=\{A,B,C,D\}，邊集合E=\{(A,B,-1),(A,C,4),(B,C,3),(B,D,2),(C,D,5)\}，源點為A。初始化dis[A]=0，dis[B]=dis[C]=dis[D]=\infty。第一輪松弛，對于邊(A,B,-1)，dis[B]=0+(-1)=-1；對于邊(A,C,4)，dis[C]=0+4=4；對于邊(B,C,3)，dis[C]=min(4,-1+3)=2；對于邊(B,D,2)，dis[D]=-1+2=1；對于邊(C,D,5)，dis[D]=min(1,2+5)=1。第二輪松弛，繼續(xù)對各邊進行松弛操作，發(fā)現(xiàn)距離數(shù)組dis不再更新，說明已找到從源點A到其他頂點的最短路徑。若在n-1輪松弛后，仍存在邊可松弛，則表明圖中存在負權回路。2.3帶參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡相關概念2.3.1多階段網(wǎng)絡定義與特征多階段網(wǎng)絡是一種特殊的有向圖結構，其在實際應用中具有重要的意義。多階段網(wǎng)絡可以被定義為一個有向圖G=(V,E)，其中頂點集合V可以被劃分為k個互不相交的子集V_1,V_2,\cdots,V_k，且滿足對于任意一條邊(u,v)\inE，若u\inV_i，則v\inV_{i+1}，i=1,2,\cdots,k-1。這些子集V_i被稱為網(wǎng)絡的階段，每個階段包含若干個頂點。多階段網(wǎng)絡的頂點具有階段性的特征，不同階段的頂點在網(wǎng)絡中的作用和地位有所不同。例如在一個產(chǎn)品生產(chǎn)的供應鏈網(wǎng)絡中，第一階段的頂點可能代表原材料供應商，第二階段的頂點代表零部件生產(chǎn)商，第三階段的頂點代表產(chǎn)品組裝廠，第四階段的頂點代表產(chǎn)品銷售商。每個階段的頂點通過邊與相鄰階段的頂點相連，形成了一個有序的生產(chǎn)和流通流程。多階段網(wǎng)絡的邊具有方向性，且連接的是相鄰階段的頂點。這種邊的連接方式?jīng)Q定了信息、物質或能量在網(wǎng)絡中的流動方向是單向的，從一個階段流向相鄰的下一個階段。在上述供應鏈網(wǎng)絡中，原材料從供應商流向零部件生產(chǎn)商，零部件從生產(chǎn)商流向組裝廠，產(chǎn)品從組裝廠流向銷售商，這種單向的流動是由邊的方向性所決定的。階段的劃分通常依據(jù)實際問題的邏輯或時間順序來進行。在生產(chǎn)制造過程中，可能按照原材料采購、零部件加工、產(chǎn)品組裝、質量檢測、包裝運輸?shù)拳h(huán)節(jié)來劃分階段。在項目管理中，可能根據(jù)項目的啟動、規(guī)劃、執(zhí)行、監(jiān)控、收尾等階段來構建多階段網(wǎng)絡。通過合理的階段劃分，可以更好地分析和解決實際問題，例如在項目管理中，可以通過分析多階段網(wǎng)絡來優(yōu)化項目進度、合理分配資源、降低成本等。2.3.2帶參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡帶參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡是在多階段網(wǎng)絡的基礎上，為每條邊賦予一個與參數(shù)相關的權值函數(shù)。設多階段網(wǎng)絡為G=(V,E)，對于任意一條邊(u,v)\inE，其權值w(u,v)是一個關于參數(shù)t的函數(shù)，記為w(u,v,t)。這個參數(shù)t可以代表時間、成本、流量等實際因素。在交通網(wǎng)絡中，邊的權值可以表示為通行時間，而通行時間可能受到交通流量、天氣狀況等因素的影響，這些因素可以作為參數(shù)t來影響權值函數(shù)。權值函數(shù)的表示形式可以多種多樣，常見的有線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。若邊的權值與參數(shù)t成線性關系，則權值函數(shù)可以表示為w(u,v,t)=a\cdott+b，其中a和b為常數(shù)。在電力傳輸網(wǎng)絡中，若考慮線路損耗與傳輸時間的關系，假設線路損耗與傳輸時間成線性關系，此時權值函數(shù)就可以采用這種形式。若權值與參數(shù)t的關系較為復雜，可能需要使用二次函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+b\cdott+c來表示，其中a、b、c為常數(shù)。在考慮設備維護成本與使用年限的關系時，由于隨著使用年限的增加，維護成本可能呈現(xiàn)非線性增長，此時二次函數(shù)可能更能準確地描述權值與參數(shù)的關系。參數(shù)對權值的影響是帶參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的關鍵特性。當參數(shù)t發(fā)生變化時，邊的權值也會相應地改變，從而影響整個網(wǎng)絡的最短路徑。在交通網(wǎng)絡中，隨著時間t的變化，交通流量會發(fā)生改變，導致道路的通行時間（權值）發(fā)生變化。在高峰時段，交通流量大，道路通行時間長，權值增大；在低谷時段，交通流量小，道路通行時間短，權值減小。這種權值的變化會使得從一個地點到另一個地點的最短路徑可能在不同的時間段發(fā)生改變。在通信網(wǎng)絡中，隨著網(wǎng)絡負載（參數(shù)t）的變化，信號傳輸?shù)难舆t（權值）也會發(fā)生變化，進而影響信號傳輸?shù)淖顑?yōu)路徑。2.3.3臨界點概念在帶參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中，臨界點是指參數(shù)t的某些特定取值，在這些取值處，網(wǎng)絡的最短路徑結構或權值特性會發(fā)生顯著變化。臨界點的存在使得網(wǎng)絡的行為變得更加復雜和多樣化。具體來說，當參數(shù)t在一定范圍內(nèi)變化時，網(wǎng)絡的最短路徑可能保持不變。但當t達到某個臨界點時，原本的最短路徑可能不再是最短路徑，會出現(xiàn)新的最短路徑。在交通網(wǎng)絡中，當交通流量（參數(shù)t）逐漸增加時，某條道路的通行時間（權值）也會逐漸增加。在流量較小時，從出發(fā)地到目的地的最短路徑可能是某條主干道。但當流量增加到某個臨界點時，主干道出現(xiàn)擁堵，通行時間大幅增加，此時可能會出現(xiàn)一條經(jīng)過一些小路的新路徑，成為新的最短路徑。臨界點的作用在于它標志著網(wǎng)絡狀態(tài)的轉變。通過確定臨界點，可以更好地理解網(wǎng)絡在不同參數(shù)條件下的行為，為決策提供重要依據(jù)。在交通規(guī)劃中，了解交通流量的臨界點，可以提前采取交通管制措施，優(yōu)化交通信號設置，以避免道路擁堵，保障交通的順暢。在電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃中，確定與線路損耗、成本等相關參數(shù)的臨界點，可以合理選擇電力傳輸線路，提高電力傳輸效率，降低成本。臨界點的分析也有助于對網(wǎng)絡進行優(yōu)化和管理，提高網(wǎng)絡的性能和可靠性。三、帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡分析3.1網(wǎng)絡拓撲結構分析帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡是一種具有特定結構和性質的復雜網(wǎng)絡模型。從拓撲結構上看，它首先具備多階段網(wǎng)絡的典型特征，即頂點集合V可被清晰地劃分為k個互不相交的子集V_1,V_2,\cdots,V_k，這使得網(wǎng)絡呈現(xiàn)出明顯的階段性。在電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃中，可將發(fā)電站視為第一階段的頂點集合V_1，變電站看作第二階段的頂點集合V_2，配電所作為第三階段的頂點集合V_3，最終用戶則為第四階段的頂點集合V_4。各個階段之間通過邊相互連接，且邊的連接具有方向性，若存在邊(u,v)\inE，當u\inV_i時，必然有v\inV_{i+1}，i=1,2,\cdots,k-1。這種邊的連接方式?jīng)Q定了信息、能量或物質在網(wǎng)絡中的流動方向是有序的，從一個階段傳遞到相鄰的下一個階段，如同電力從發(fā)電站經(jīng)變電站、配電所最終輸送到用戶。在這種多階段網(wǎng)絡的基礎上，帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡為每條邊賦予了與參數(shù)相關的權值函數(shù)。設多階段網(wǎng)絡為G=(V,E)，對于任意一條邊(u,v)\inE，其權值w(u,v)是一個關于參數(shù)t的二次函數(shù)，可表示為w(u,v,t)=a\cdott^2+b\cdott+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a\neq0。在電力傳輸網(wǎng)絡中，線路建設成本和運行成本與線路的使用年限、負載等因素相關，這些因素可作為參數(shù)t。假設線路建設成本主要與線路長度有關，為固定值c，而運行成本與使用年限的平方成正比（a\cdott^2），與負載成線性關系（b\cdott），此時邊的權值函數(shù)就可以用上述二次函數(shù)來描述。從頂點的連接方式來看，同一階段內(nèi)的頂點之間通常不存在直接連接的邊，它們主要通過與相鄰階段的頂點相連來實現(xiàn)網(wǎng)絡中的信息傳遞或物質流動。不同階段頂點之間的連接邊的權值會隨著參數(shù)t的變化而變化。當參數(shù)t發(fā)生改變時，權值函數(shù)w(u,v,t)的值也會相應改變，進而影響整個網(wǎng)絡的最短路徑。在交通網(wǎng)絡中，若將道路通行時間作為邊權，交通流量作為參數(shù)t，隨著交通流量（參數(shù)t）的變化，道路的通行時間（權值）會發(fā)生改變，導致從一個地點到另一個地點的最短路徑可能在不同的流量條件下發(fā)生變化。階段的劃分對于帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的分析和求解具有重要意義。階段劃分通常依據(jù)實際問題的邏輯或時間順序來進行。在生產(chǎn)制造過程中，按照原材料采購、零部件加工、產(chǎn)品組裝、質量檢測、包裝運輸?shù)拳h(huán)節(jié)劃分階段，每個階段的任務和目標明確，且與其他階段相互關聯(lián)。在項目管理中，根據(jù)項目的啟動、規(guī)劃、執(zhí)行、監(jiān)控、收尾等階段構建多階段網(wǎng)絡，有助于合理安排資源、控制項目進度和成本。通過合理的階段劃分，可以將復雜的問題分解為多個相對簡單的子問題，便于分析和解決。在求解帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題時，可以針對每個階段的特點和權值函數(shù)的特性，采用相應的算法和策略，逐步確定從源點到終點的最優(yōu)路徑。3.2二次參數(shù)作用機制在帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中，二次參數(shù)通過對邊權值的影響，深刻地改變著網(wǎng)絡的拓撲性質和最短路徑的選擇。邊權值作為網(wǎng)絡中連接頂點的關鍵屬性，其大小直接決定了路徑的長度和優(yōu)劣。對于帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中的任意一條邊(u,v)\inE，其權值w(u,v)是一個關于參數(shù)t的二次函數(shù)，即w(u,v,t)=a\cdott^2+b\cdott+c，其中a、b、c為常數(shù)，且a\neq0。這種二次函數(shù)形式的權值函數(shù)，使得邊權隨參數(shù)t的變化呈現(xiàn)出復雜的非線性特征。當a\gt0時，二次函數(shù)的圖像是一個開口向上的拋物線。這意味著隨著參數(shù)t的增大，邊權值w(u,v,t)會先減小后增大。在電力傳輸網(wǎng)絡中，若將線路的使用年限作為參數(shù)t，假設a反映了線路老化導致的維護成本增加的速率，b與日常維護費用和負載相關，c為線路建設的初始固定成本。在使用年限較短時，由于線路老化程度低，維護成本增加較慢，此時隨著t的增加，邊權值可能會因為日常維護成本和負載的某種關系而先減小。但當使用年限超過一定值后，線路老化加劇，維護成本快速上升，導致邊權值迅速增大。在這種情況下，對于網(wǎng)絡的最短路徑選擇，在參數(shù)t較小時，可能會傾向于選擇經(jīng)過這條邊的路徑，因為此時邊權相對較?。欢攖增大到一定程度后，由于邊權迅速增大，最短路徑可能會避開這條邊，轉而選擇其他邊權相對較小的路徑。當a\lt0時，二次函數(shù)的圖像是一個開口向下的拋物線，邊權值w(u,v,t)會先增大后減小。在通信網(wǎng)絡中，若將網(wǎng)絡負載作為參數(shù)t，a表示負載對信號傳輸延遲的某種負面影響系數(shù)，b和c與信號傳輸?shù)幕A延遲和其他因素有關。在網(wǎng)絡負載較小時，隨著負載的增加，信號傳輸延遲可能會因為一些因素（如信號復用效率等）而先增大。但當負載超過一定值后，可能由于網(wǎng)絡采取了有效的擁塞控制措施或其他優(yōu)化機制，使得信號傳輸延遲反而減小。對于最短路徑的確定，在參數(shù)t較小時，由于邊權相對較大，最短路徑可能會避開這條邊；而當t增大到一定程度后，邊權減小，這條邊可能會成為最短路徑的一部分。參數(shù)t的變化不僅會影響單條邊的權值，還會對整個網(wǎng)絡的最短路徑產(chǎn)生連鎖反應。在一個多階段網(wǎng)絡中，當某條關鍵邊的權值由于參數(shù)t的變化而改變時，可能會導致該階段以及后續(xù)階段的路徑選擇發(fā)生改變。在物流配送網(wǎng)絡中，若某條運輸路線（邊）的運輸成本（權值）因為油價（參數(shù)t）的變化而改變，可能會使得從發(fā)貨地到目的地的整個配送路徑發(fā)生改變。原本的最短路徑可能因為這條邊權值的增大而不再是最短路徑，配送車輛可能會選擇其他路線，這可能會涉及到經(jīng)過不同的中轉節(jié)點（頂點），從而改變整個配送網(wǎng)絡的流量分配和路徑結構。臨界點在二次參數(shù)作用機制中扮演著重要角色。臨界點是參數(shù)t的特殊取值，在這些取值處，網(wǎng)絡的最短路徑結構或權值特性會發(fā)生顯著變化。當參數(shù)t逐漸接近臨界點時，邊權值的變化趨勢可能會發(fā)生轉折，導致原本的最短路徑不再是最優(yōu)。在交通網(wǎng)絡中，隨著交通流量（參數(shù)t）的增加，某條道路（邊）的通行時間（權值）不斷增大。當交通流量達到某個臨界點時，這條道路的通行時間可能會急劇增加，使得原本依賴這條道路的最短路徑變?yōu)榉亲顑?yōu)路徑，從而引發(fā)最短路徑的切換。通過確定臨界點，可以更好地把握網(wǎng)絡在不同參數(shù)條件下的行為，為網(wǎng)絡的優(yōu)化和管理提供關鍵依據(jù)。在電力傳輸網(wǎng)絡規(guī)劃中，確定與線路損耗、成本等相關參數(shù)的臨界點，可以合理安排線路的維護和升級計劃，提高電力傳輸效率，降低成本。3.3數(shù)學模型構建3.3.1模型假設為了構建帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路問題的數(shù)學模型，首先明確以下假設條件：網(wǎng)絡連通性：假設帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡G=(V,E)是強連通的，即對于任意兩個頂點u,v\inV，都存在從u到v以及從v到u的路徑。這一假設確保了在網(wǎng)絡中能夠找到從源點到終點的路徑，是求解最短路問題的基礎。在電力傳輸網(wǎng)絡中，如果存在某些發(fā)電站與變電站之間沒有輸電線路連接（即網(wǎng)絡不連通），那么就無法將電力從這些發(fā)電站傳輸?shù)较鄳淖冸娬荆簿蜔o法進行后續(xù)的最短路分析。在實際應用中，通過合理的網(wǎng)絡規(guī)劃和建設，可以保證網(wǎng)絡的連通性。參數(shù)取值范圍：參數(shù)t的取值范圍為[t_{min},t_{max}]，其中t_{min}和t_{max}為確定的實數(shù)。這一范圍的確定通常依據(jù)實際問題的背景和條件。在交通網(wǎng)絡中，若將交通流量作為參數(shù)t，則t的取值范圍會受到道路容量、時間等因素的限制。t_{min}可能是道路上的最小流量（如深夜時段的車流量），t_{max}可能是道路的最大承載流量。明確參數(shù)的取值范圍有助于準確分析網(wǎng)絡在不同參數(shù)條件下的行為。邊權函數(shù)連續(xù)性：對于任意邊(u,v)\inE，其權值函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+b\cdott+c在參數(shù)t的取值范圍內(nèi)是連續(xù)且可導的。這一假設使得在分析權值隨參數(shù)變化的情況時，可以運用微積分等數(shù)學工具進行深入研究。當t在[t_{min},t_{max}]內(nèi)連續(xù)變化時，權值函數(shù)w(u,v,t)也會連續(xù)變化，不會出現(xiàn)突變的情況。在通信網(wǎng)絡中，若將信號傳輸延遲作為邊權，網(wǎng)絡負載作為參數(shù)t，由于網(wǎng)絡負載的變化是連續(xù)的，所以信號傳輸延遲（邊權）關于網(wǎng)絡負載（參數(shù)t）的函數(shù)也是連續(xù)的。權值函數(shù)的可導性則有助于確定權值變化的趨勢和臨界點。多階段有序性：網(wǎng)絡的階段劃分是明確且有序的，即頂點集合V被劃分為k個互不相交的子集V_1,V_2,\cdots,V_k，且對于任意一條邊(u,v)\inE，若u\inV_i，則v\inV_{i+1}，i=1,2,\cdots,k-1。這種有序性保證了網(wǎng)絡中信息、物質或能量的流動方向是單向的，從一個階段流向相鄰的下一個階段。在生產(chǎn)制造過程中，按照原材料采購、零部件加工、產(chǎn)品組裝、質量檢測、包裝運輸?shù)拳h(huán)節(jié)劃分階段，各個階段依次進行，符合多階段有序性的假設。3.3.2變量定義為了準確地描述和求解帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路問題，需要對模型中的變量進行明確的定義：頂點相關變量：設V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}為網(wǎng)絡的頂點集合，其中n為頂點總數(shù)。每個頂點v_i代表網(wǎng)絡中的一個節(jié)點，在電力傳輸網(wǎng)絡中，頂點可以是發(fā)電站、變電站、配電所或用戶等。對于頂點v_i，定義其所屬階段變量stage(v_i)，若v_i\inV_j，則stage(v_i)=j，j=1,2,\cdots,k。通過stage(v_i)可以明確頂點在網(wǎng)絡中的階段位置，便于分析不同階段頂點之間的關系。邊相關變量：設E=\{(u,v)|u,v\inV\}為網(wǎng)絡的邊集合，其中(u,v)表示從頂點u到頂點v的有向邊。在通信網(wǎng)絡中，邊可以表示信號傳輸?shù)逆溌贰τ谶?u,v)\inE，其權值是關于參數(shù)t的二次函數(shù)w(u,v,t)=a_{uv}\cdott^2+b_{uv}\cdott+c_{uv}，其中a_{uv}、b_{uv}、c_{uv}為常數(shù)，且a_{uv}\neq0。在物流配送網(wǎng)絡中，若將運輸成本作為邊權，將運輸距離、運輸時間等作為參數(shù)t的組成部分，a_{uv}可能表示與運輸距離平方相關的成本系數(shù)，b_{uv}表示與運輸時間相關的成本系數(shù)，c_{uv}表示固定的運輸成本。路徑相關變量：設P=(v_{i_1},v_{i_2},\cdots,v_{i_m})為從源點v_{i_1}到終點v_{i_m}的一條路徑，其中v_{i_j}\inV，j=1,2,\cdots,m，且(v_{i_j},v_{i_{j+1}})\inE，j=1,2,\cdots,m-1。在交通網(wǎng)絡中，路徑P可以表示從出發(fā)地到目的地的一條行車路線。定義決策變量x_{uv}，若路徑P經(jīng)過邊(u,v)，則x_{uv}=1；否則x_{uv}=0。通過x_{uv}可以確定路徑的具體構成，便于建立數(shù)學模型來求解最短路。參數(shù)變量：參數(shù)t表示影響邊權值的因素，其取值范圍為[t_{min},t_{max}]。在不同的實際應用場景中，t具有不同的含義。在電力傳輸網(wǎng)絡中，t可以表示線路的使用年限；在交通網(wǎng)絡中，t可以表示交通流量。3.3.3模型建立基于上述模型假設和變量定義，構建帶二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路問題的數(shù)學模型，該模型主要包括目標函數(shù)和約束條件：目標函數(shù)：目標是找到從源點v_s到終點v_t的最短路徑，路徑的長度為路徑上所有邊的權值之和。因此，目標函數(shù)可以表示為：\min\sum_{(u,v)\inE}w(u,v,t)x_{uv}這表示在所有可能的路徑中，選擇使得路徑上各邊權值總和最小的路徑。在物流配送網(wǎng)絡中，目標函數(shù)就是要找到從發(fā)貨地到收貨地的運輸路徑，使得總運輸成本（即邊權值總和）最小。約束條件：源點和終點約束：從源點v_s出發(fā)的邊只有一條，到達終點v_t的邊也只有一條。這是為了確保路徑的起點和終點是明確且唯一的。\sum_{v\inV}x_{sv}=1,\quad\sum_{u\inV}x_{ut}=1在實際應用中，如在通信網(wǎng)絡中，信號從特定的發(fā)送源點出發(fā)，最終到達特定的接收終點，符合這一約束條件。中間點約束：對于除源點和終點之外的其他頂點，進入該頂點的邊數(shù)等于離開該頂點的邊數(shù)。這保證了路徑在中間頂點的連續(xù)性和合理性。\sum_{u\inV}x_{uv}=\sum_{w\inV}x_{vw},\quad\forallv\inV\setminus\{v_s,v_t\}在電力傳輸網(wǎng)絡中，電流在變電站等中間節(jié)點的流入和流出量需要保持平衡，以確保電力傳輸?shù)姆€(wěn)定，與該約束條件相符。階段約束：若邊(u,v)\inE，則stage(v)=stage(u)+1。這體現(xiàn)了多階段網(wǎng)絡的有序性，保證路徑按照階段順序依次經(jīng)過不同階段的頂點。決策變量取值約束：決策變量x_{uv}只能取0或1，這是因為x_{uv}表示路徑是否經(jīng)過邊(u,v)，只有經(jīng)過（x_{uv}=1）和不經(jīng)過（x_{uv}=0）兩種情況。x_{uv}\in\{0,1\},\quad\forall(u,v)\inE在實際的路徑規(guī)劃中，一條邊要么被包含在路徑中，要么不被包含，符合這一取值約束。四、帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路算法4.1特殊二次參數(shù)賦權網(wǎng)絡定義與特征帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡是一種具有獨特結構和性質的網(wǎng)絡模型，在實際應用中有著重要的意義。其定義基于多階段網(wǎng)絡，同時在邊權的賦予上具有特殊的二次參數(shù)形式。帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡可以定義為一個有向圖G=(V,E)，其中頂點集合V被劃分為k個互不相交的子集V_1,V_2,\cdots,V_k，對于任意一條邊(u,v)\inE，若u\inV_i，則v\inV_{i+1}，i=1,2,\cdots,k-1，滿足多階段網(wǎng)絡的基本結構特征。在此基礎上，對于邊(u,v)，其權值w(u,v)是關于參數(shù)t的特殊二次函數(shù)，形式為w(u,v,t)=a\cdott^2+c，其中a和c為常數(shù)，且a\neq0。這種特殊的二次函數(shù)形式相較于一般的二次函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+b\cdott+c，缺少了一次項b\cdott，使得權值的變化規(guī)律相對更為簡潔，但依然能夠體現(xiàn)二次參數(shù)賦權的特性。從權值函數(shù)特點來看，當a\gt0時，權值函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+c的圖像是一個開口向上的拋物線，且對稱軸為t=0。這意味著隨著參數(shù)t的絕對值增大，邊權值w(u,v,t)會逐漸增大。在電力傳輸網(wǎng)絡中，若將線路的使用年限作為參數(shù)t，假設線路的損耗主要與使用年限的平方成正比，且存在一個固定的基礎損耗c，此時邊權值就可以用這種特殊二次函數(shù)來表示。當使用年限t增加時，線路損耗（邊權值）會快速增加。當a\lt0時，權值函數(shù)的圖像是一個開口向下的拋物線，對稱軸同樣為t=0，隨著參數(shù)t的絕對值增大，邊權值w(u,v,t)會逐漸減小。在通信網(wǎng)絡中，若將網(wǎng)絡負載的某種負向影響參數(shù)作為t，假設這種影響與參數(shù)t的平方成反比，且存在一個固定的信號傳輸基礎延遲c，則邊權值（信號傳輸延遲）會隨著t的增大而減小。特殊二次參數(shù)賦權網(wǎng)絡的邊權僅與參數(shù)t的平方和常數(shù)項有關，這使得網(wǎng)絡的分析和計算相對簡化。由于缺少一次項的影響，邊權的變化更加純粹地依賴于參數(shù)t的平方，在某些情況下更容易把握網(wǎng)絡的行為規(guī)律。在求解最短路問題時，可以利用這種簡潔的權值函數(shù)形式，設計更高效的算法。因為邊權的變化趨勢相對單一，在確定最短路徑時，可以更快速地排除一些不符合條件的路徑，縮小搜索范圍，從而提高算法的效率。4.2臨界點求解算法4.2.1算法原理在帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中，臨界點是指參數(shù)t的某些取值，在這些取值處，網(wǎng)絡的最短路徑結構或權值特性會發(fā)生顯著變化。對于邊權函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+c，當a\gt0時，邊權隨著|t|的增大而增大；當a\lt0時，邊權隨著|t|的增大而減小。求解臨界點的原理基于對網(wǎng)絡中所有可能路徑的分析。對于從源點到終點的每一條路徑P=(v_{i_1},v_{i_2},\cdots,v_{i_m})，其路徑長度L(P,t)是路徑上所有邊權值之和，即L(P,t)=\sum_{j=1}^{m-1}w(v_{i_j},v_{i_{j+1}},t)。由于邊權函數(shù)是關于參數(shù)t的二次函數(shù)，所以路徑長度L(P,t)也是關于t的二次函數(shù)。設L(P,t)=A\cdott^2+B\cdott+C，其中A=\sum_{j=1}^{m-1}a_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}}，B=0（因為邊權函數(shù)中無一次項），C=\sum_{j=1}^{m-1}c_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}}。對L(P,t)求導，可得L^\prime(P,t)=2A\cdott。令L^\prime(P,t)=0，解得t=0。這表明在t=0處，路徑長度函數(shù)L(P,t)的導數(shù)為0。當A\gt0時，L(P,t)在t=0處取得最小值；當A\lt0時，L(P,t)在t=0處取得最大值。而臨界點的出現(xiàn)，往往是因為不同路徑的長度函數(shù)在某些t值處發(fā)生了大小關系的改變。假設存在兩條路徑P_1和P_2，其路徑長度函數(shù)分別為L(P_1,t)=A_1\cdott^2+C_1和L(P_2,t)=A_2\cdott^2+C_2。當t變化時，若存在t_0使得L(P_1,t_0)=L(P_2,t_0)，則t_0就是一個臨界點。通過求解方程A_1\cdott^2+C_1=A_2\cdott^2+C_2，可得t=\pm\sqrt{\frac{C_2-C_1}{A_1-A_2}}（當A_1\neqA_2時）。這就是求臨界點的數(shù)學依據(jù)，通過比較不同路徑長度函數(shù)的大小關系，找到使路徑長度相等的t值，這些t值即為臨界點。4.2.2算法步驟帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的求臨界點算法具體步驟如下：初始化：輸入帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡G=(V,E)，包括頂點集合V、邊集合E以及邊權函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+c。確定源點v_s和終點v_t。初始化一個空的臨界點集合C。生成所有可能路徑：使用深度優(yōu)先搜索（DFS）或廣度優(yōu)先搜索（BFS）算法，從源點v_s開始，遍歷網(wǎng)絡，生成從源點到終點的所有可能路徑P_1,P_2,\cdots,P_k。在生成路徑時，要確保路徑按照多階段網(wǎng)絡的規(guī)則，依次經(jīng)過不同階段的頂點。在一個四階段的帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中，從源點（第一階段頂點）出發(fā)，經(jīng)過第二階段頂點、第三階段頂點，最終到達終點（第四階段頂點），路徑的生成要符合這種階段順序。計算路徑長度函數(shù)：對于每一條路徑P_i，根據(jù)邊權函數(shù)計算其路徑長度函數(shù)L(P_i,t)。設路徑P_i=(v_{i_1},v_{i_2},\cdots,v_{i_m})，則L(P_i,t)=\sum_{j=1}^{m-1}w(v_{i_j},v_{i_{j+1}},t)=\sum_{j=1}^{m-1}(a_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}}\cdott^2+c_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}})=A_i\cdott^2+C_i，其中A_i=\sum_{j=1}^{m-1}a_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}}，C_i=\sum_{j=1}^{m-1}c_{v_{i_j}v_{i_{j+1}}}。比較路徑長度函數(shù)求臨界點：對任意兩條路徑P_i和P_j（i\neqj），比較它們的路徑長度函數(shù)L(P_i,t)和L(P_j,t)。求解方程L(P_i,t)=L(P_j,t)，即A_i\cdott^2+C_i=A_j\cdott^2+C_j。當A_i\neqA_j時，解得t=\pm\sqrt{\frac{C_j-C_i}{A_i-A_j}}。將求解得到的t值加入臨界點集合C，同時要注意去除重復的t值。在比較路徑長度函數(shù)時，要全面考慮所有可能的路徑對，確保不遺漏任何一個臨界點。輸出臨界點：遍歷臨界點集合C，輸出所有的臨界點。在輸出臨界點時，可以按照從小到大的順序進行排序，以便于后續(xù)分析和使用。4.2.3實例分析以一個簡單的帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡為例，該網(wǎng)絡有三個階段，頂點集合V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}，其中v_1為源點，v_6為終點，v_1屬于第一階段，v_2、v_3屬于第二階段，v_4、v_5屬于第三階段，v_6屬于第四階段。邊集合E=\{(v_1,v_2,w_1(t)),(v_1,v_3,w_2(t)),(v_2,v_4,w_3(t)),(v_2,v_5,w_4(t)),(v_3,v_4,w_5(t)),(v_3,v_5,w_6(t)),(v_4,v_6,w_7(t)),(v_5,v_6,w_8(t))\}，邊權函數(shù)分別為：w_1(t)=2t^2+3，w_2(t)=3t^2+2，w_3(t)=t^2+4，w_4(t)=2t^2+5，w_5(t)=3t^2+1，w_6(t)=t^2+6，w_7(t)=2t^2+3，w_8(t)=3t^2+2。生成所有可能路徑：使用DFS算法，從源點v_1出發(fā)，生成從v_1到v_6的所有可能路徑，得到兩條路徑：P_1=(v_1,v_2,v_4,v_6)。P_2=(v_1,v_3,v_5,v_6)。計算路徑長度函數(shù)：對于路徑P_1：L(P_1,t)=w_1(t)+w_3(t)+w_7(t)=(2t^2+3)+(t^2+4)+(2t^2+3)=5t^2+10。對于路徑P_2：L(P_2,t)=w_2(t)+w_6(t)+w_8(t)=(3t^2+2)+(t^2+6)+(3t^2+2)=7t^2+10。比較路徑長度函數(shù)求臨界點：求解方程L(P_1,t)=L(P_2,t)，即5t^2+10=7t^2+10。移項可得2t^2=0，解得t=0。將t=0加入臨界點集合C。輸出臨界點：臨界點集合C=\{0\}，輸出臨界點為t=0。通過這個實例可以看出，在t=0這個臨界點處，兩條路徑的長度相等。當t\neq0時，根據(jù)邊權函數(shù)的性質，路徑長度會發(fā)生變化，從而導致最短路徑的選擇可能發(fā)生改變。在實際應用中，通過確定臨界點，可以更好地分析網(wǎng)絡在不同參數(shù)條件下的行為，為決策提供依據(jù)。4.3最短路算法4.3.1算法思想本文提出的帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路算法，主要基于Dijkstra算法思想和隱枚舉方法。Dijkstra算法是解決單源最短路徑問題的經(jīng)典算法，其核心思想是從源點出發(fā)，通過不斷選擇距離源點最近且未確定最短路徑的節(jié)點，并利用該節(jié)點更新其他節(jié)點的距離，逐步找到從源點到各個頂點的最短路徑。在帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡中，由于邊權是關于參數(shù)t的特殊二次函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+c，使得問題的復雜性增加。隱枚舉方法則是在求解過程中，通過一些規(guī)則和條件，對所有可能的路徑進行篩選和判斷，避免不必要的計算，從而提高算法效率。在帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路問題中，利用邊權函數(shù)的特性和網(wǎng)絡的結構特點，制定了一系列隱枚舉規(guī)則。根據(jù)邊權函數(shù)中a的正負以及t的取值范圍，分析不同路徑的權值變化趨勢，提前排除一些不可能成為最短路徑的路徑。若a\gt0，隨著|t|的增大，邊權增大，在t較大時，一些包含邊權函數(shù)中a較大的邊的路徑可能被提前排除。算法首先初始化距離數(shù)組和前驅節(jié)點數(shù)組，將源點到自身的距離設為0，其他節(jié)點到源點的距離設為正無窮大。然后，在每一步迭代中，從所有未確定最短路徑的節(jié)點中選擇距離源點最近的節(jié)點，將其標記為已確定最短路徑的節(jié)點。接著，利用該節(jié)點更新其相鄰節(jié)點的距離。在更新距離時，根據(jù)邊權函數(shù)計算經(jīng)過該節(jié)點到達相鄰節(jié)點的路徑長度，并與當前記錄的相鄰節(jié)點到源點的距離進行比較，若更短，則更新距離和前驅節(jié)點。在更新過程中，運用隱枚舉規(guī)則，快速判斷某些路徑是否需要進一步計算，減少不必要的計算量。重復上述步驟，直到所有節(jié)點的最短路徑都被確定。通過這種方式，結合Dijkstra算法的貪心策略和隱枚舉方法的篩選機制，能夠高效地求解帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡的最短路問題。4.3.2算法步驟帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路算法的具體步驟如下：初始化：輸入帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡G=(V,E)，包括頂點集合V、邊集合E以及邊權函數(shù)w(u,v,t)=a\cdott^2+c。確定源點v_s和終點v_t。創(chuàng)建距離數(shù)組dist，初始時將dist[v_s]=0，對于其他頂點v\inV\setminus\{v_s\}，將dist[v]設為正無窮大。創(chuàng)建前驅節(jié)點數(shù)組pre，初始時將所有元素設為-1，表示無前驅節(jié)點。創(chuàng)建一個集合visited，用于存儲已確定最短路徑的頂點，初始時visited為空。選擇最小距離節(jié)點：在未訪問的頂點集合V\setminusvisited中，選擇距離源點v_s距離最小的頂點u，即u=argmin_{v\inV\setminusvisited}dist[v]。將頂點u加入到visited集合中。更新相鄰節(jié)點距離：對于頂點u的所有相鄰頂點v（即(u,v)\inE），計算從源點v_s經(jīng)過頂點u到達頂點v的距離new_dist。根據(jù)邊權函數(shù)w(u,v,t)計算`new_dist=dist[u]+w(u,v,t)$。如果new_dist小于當前記錄的dist[v]，則更新dist[v]=new_dist，并將pre[v]=u。判斷是否結束：如果visited集合包含了所有頂點，或者終點v_t已被訪問（即v_t\invisited），則算法結束。否則，返回步驟2，繼續(xù)選擇下一個最小距離節(jié)點進行處理。輸出結果：從終點v_t開始，通過前驅節(jié)點數(shù)組pre回溯，得到從源點v_s到終點v_t的最短路徑。輸出最短路徑和最短路徑長度dist[v_t]。在步驟3更新相鄰節(jié)點距離時，可結合隱枚舉規(guī)則進行優(yōu)化。若根據(jù)隱枚舉規(guī)則判斷出某條路徑不可能成為最短路徑，則跳過對該路徑的距離計算和更新操作，從而提高算法效率。在判斷某條邊(u,v)是否可能使路徑更短時，可根據(jù)邊權函數(shù)中a的正負以及當前t的取值范圍進行分析。若a\gt0且t較大，而該邊的a值相對較大，同時其他路徑的邊權相對較小時，可初步判斷該路徑不太可能成為最短路徑，進而跳過對其后續(xù)的距離計算和更新操作。4.3.3實例驗證為了驗證帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡最短路算法的正確性和有效性，以一個簡單的網(wǎng)絡為例進行計算。假設有一個帶特殊二次參數(shù)賦權多階段網(wǎng)絡，其拓撲結構如下：該網(wǎng)絡有三個階段，頂點集合V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}，其中v_1為源點，v_6為終點。v_1屬于第一階段，v_2、v_3屬于第二階段，v_4、v_5屬于第三階段，v_6屬于第四階段。邊集合E=\{(v_1,v_2,w_1(t)),(v_1,v_3,w_2(t)),(v_2,v_4,w_3(t)),(v_2,v_5,w_4(t)),(v_3,v_4,w_5(t)),(v_3,v_5,w_6(t)),(v_4,v_6,w_7(t)),(v_5,v_6,w_8(t))\}，邊權函數(shù)分別為：w_1(t)=2t^2+3，w_2(t)=3t^2+2，w_3(t)=t^2+4，w_4(t)=2t^2+5，w_5(t)=3t^2+1，w_6(t)=t^2+6，w_7(t)=2t^2+3，w_8(t)=3t^2+2。初始化：源點v_1，終點v_6。dist[v_1]=0，`dist[v_2]=dist[v_3]=dist[v_4]=dist[v_5]=dist[v_6]=\infty$。pre[v_1]=pre[v_2]=pre[v_3]=pre[v_4]=pre[v_5]=pre[v_6]=-1。visited=\{\}。第一次迭代：在未訪問頂點中，v_1距離源點最近（因為dist[v_1]=0），將v_1加入visited集合，即visited=\{v_1\}。更新v_1的相鄰頂點v_2和v_3的距離：對于(v_1,v_2)，new_dist=dist[v_1]+w_1(t)=0+(2t^2+3)=2t^2+3，因為2t^2+3\lt\infty$，所以dist[v_2]=2t^2+3，pre[v_2]=v_1`。對于(v_1,v_3)，new_dist=dist[v_1]+w_2(t)=0+(3t^2+2)=3t^2+2，因為3t^2+2\lt\infty$，所以dist[v_3]=3t^2+2，pre[v_3]=v_1`。第二次迭代：比較未訪問頂點v_2和v_3的距離，當t\geq0時，2t^2+3\lt3t^2+2（可通過移項3t^2-2t^2\gt3-2，即t^2\gt1，當t\geq1時嚴格成立，當0\leqt\lt1時可具體比較數(shù)值大?。x擇v_2。將v_2加入visited集合，即visited=\{v_1,v_2\}。更新v_2的相鄰頂點v_4和v_5的距離：對于(v_2,v_4)，new_dist=dist[v_2]+w_3(t)=(2t^2+3)+(t^2+4)=3t^2+7，若3t^2+7\ltdist[v_4]$（初始為$\infty$），則dist[v_4]=3t^2+7，pre[v_4]=v_2`。對于(v_2,v_5)，new_dist=dist[v_2]+w_4(t)=(2t^2+3)+(2t^2+5)=4t^2+8，若4t^2+8\ltdist[v_5]$（初始為$\infty$），則dist[v_5]=4t^2+8，pre[v_5]=v_2`。第三次迭代：比較未訪問頂點v_3、v_4和v_5的距離，當t\geq0時，對3t^2+2、3t^2+7和4t^2+8進行比較。3t^2+2\lt3t^2+7，且當t\geq0時，3t^2+2\lt4t^2+8（移項可得4t^2-3t^2\gt8-2，即t^2\gt6，當t\geq\sqrt{6}時嚴格成立，當0\leqt\lt\sqrt{6}時可具體比較數(shù)值大小），選擇v_3。將v_3加入visited集合，即visited=\{v_1,v_2,v_3\}。更新v_3的相鄰頂點v_4和v_5的距離：對于(v_3,v_4)，new_dist=dist[v_3]+w_5(t)=(3t^2+2)+(3t^2+1)=6t^2+3，若6t^2+3\ltdist[v_4]$（當前為$3t^2+7$），移項比較$6t^2-3t^2\lt3-7$，即$3t^2\lt-4$，不成立，所以dist[v_4]$不變。對于(v_3,v_5)，new_dist=dist[v_3]+w_6(t)=(3t^2+2)+(t^2+6)=4t^2+8，與當前dist[v_5]=4t^2+8$相等，所以dist[v_5]$不變。第四次迭代：比較未訪問頂點v_4和v_5的距離，當t\geq0時，3t^2+7\lt4t^2+8（移項可得4t^2-3t^2\gt8-7，即t^2\gt1，當t\geq1時嚴格成立，當0\leqt\lt1時可具體比較數(shù)值大小），選擇v_4。將v_4加入visited集合，即visited=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}。更新v_4的相鄰頂點v_6的距離：對于(v_4,v_6)，new_dist=dist[v_4]+w_7(t)=(3t^2+7)+(2t^2+3)=5t^2+10，若5t^2+10\ltdist[v_6]$（初始為$\infty$），則dist[v_6]=5t^2+10，pre[v_6]=v_4`。第五次迭代：此時未訪問頂點只有v_5，將v_5加入visited集合，即visited=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}。更新v_5的相鄰頂點v_6的距離：對于(v_5,v_6)，new_dist=dist[v_5]+w_8