2025年高三數(shù)學期末永載史冊卷二2025年高三數(shù)學期末永載史冊卷二

姓名：______班級：______學號：______得分：______

（考試時間：90分鐘，滿分：100分）

1.選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

題目數(shù)量：5

分值：5分/題

2.填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

題目數(shù)量：5

分值：4分/題

3.解答題（本大題共3小題，共15分）

題目數(shù)量：3

分值：5分/題

4.解答題（本大題共4小題，共25分）

題目數(shù)量：4

分值：6.25分/題

5.解答題（本大題共2小題，共20分）

題目數(shù)量：2

分值：10分/題

6.解答題（本大題共1小題，共10分）

題目數(shù)量：1

分值：10分

7.解答題（本大題共1小題，共10分）

題目數(shù)量：1

分值：10分

---

**1.選擇題（每小題5分，共25分）**

（1）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，則A∩B=（）

A．{x|1＜x＜2}B．{x|2≤x＜3}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜3}

（2）函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為（）

A．πB．2πC．3π/2D．π/2

（3）若復數(shù)z滿足z^2=1，則z的模為（）

A．1B．2C．√2D．-1

（4）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=4，則cosA的值為（）

A．1/2B．√3/2C．3/4D．5/4

（5）執(zhí)行下列算法流程圖，若輸入n=5，則輸出S的值為（）

①S=1

②i=1

③若i≤n，則S=S+i，i=i+1，否則轉⑤

④輸出S

⑤結束

A．15B．10C．8D．6

**2.填空題（每小題4分，共20分）**

（6）方程|2x-1|=3的解集為__________。

（7）已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，則a·b=__________。

（8）拋物線y^2=8x的焦點坐標為__________。

（9）在等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，則公比q=__________。

（10）執(zhí)行以下程序段：

s=0

fori=1to4

s=s+i^2

end

則s的值為__________。

**3.解答題（共15分）**

（11）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。

（1）求f(x)的極值點；

（2）若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，求[a,b]的范圍。

**4.解答題（共25分）**

（12）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=√3，b=2，C=π/3。

（1）求sinB的值；

（2）若△ABC的面積為√3，求邊c的長度。

（13）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。

（1）求{a_n}的通項公式；

（2）令S_n=a_1+a_2+...+a_n，求S_n的最大值。

（14）已知函數(shù)f(x)=x^2+px+q。若f(x)在x=1處取得極小值，且f(0)=3。

（1）求p、q的值；

（2）判斷f(x)在x=-2時的符號。

**5.解答題（共20分）**

（15）在直角坐標系中，曲線C的方程為x^2+4y^2=16，直線L的方程為y=kx+1。

（1）求曲線C的焦點坐標和準線方程；

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=√10，求k的值。

**6.解答題（共10分）**

（16）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2。若cosC=1/2，求sinA·sinB的值。

**7.解答題（共10分）**

（17）某校高三年級有1000名學生參加數(shù)學競賽，隨機抽取100名學生，統(tǒng)計其成績?nèi)缦卤恚?/p>

成績（分）|60|70|80|90|100

---|---|---|---|---|---

頻數(shù)|10|20|30|30|10

（1）求樣本的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）若成績在90分以上（含90分）為優(yōu)秀，估計該校高三年級數(shù)學競賽成績優(yōu)秀的概率。

8.選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

題目數(shù)量：5

分值：5分/題

9.填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

題目數(shù)量：5

分值：4分/題

10.解答題（本大題共3小題，共15分）

題目數(shù)量：3

分值：5分/題

11.解答題（本大題共4小題，共25分）

題目數(shù)量：4

分值：6.25分/題

12.解答題（本大題共2小題，共20分）

題目數(shù)量：2

分值：10分/題

13.解答題（本大題共1小題，共10分）

題目數(shù)量：1

分值：10分

14.解答題（本大題共1小題，共10分）

題目數(shù)量：1

分值：10分

15.解答題（本大題共1小題，共10分）

題目數(shù)量：1

分值：10分

---

**8.選擇題（每小題5分，共25分）**

（6）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，且f(a)<0，f(b)>0，則方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)（）

A．無實根B．有且只有一個實根C．至少有兩個實根D．無實根或有無數(shù)個實根

（7）若向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a//b，則m的值為（）

A．1/2B．2C．-1/2D．-2

（8）若圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓心到直線x-y=1的距離為（）

A．√2B．2C．1D．√5

（9）執(zhí)行以下程序段：

sum=0

i=1

whilei<=10

sum=sum+i^2

i=i+2

endwhile

則sum的值為（）

A．55B．110C．220D．330

（10）若z為復數(shù)，且|z|=2，arg(z)=π/4，則z的代數(shù)形式為（）

A．√2+√2iB．√2-√2iC．-√2+√2iD．-√2-√2i

**9.填空題（每小題4分，共20分）**

（11）不等式|x-1|>2的解集為__________。

（12）已知cosθ=-1/2，且θ在第三象限，則sinθ的值為__________。

（13）在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值為__________。

（14）若等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_1=2，d=3，則S_10=__________。

（15）函數(shù)f(x)=e^x在點(0,1)處的切線方程為__________。

**10.解答題（共15分）**

（16）已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3。

（1）求f(x)的頂點坐標；

（2）若f(x)在區(qū)間[1,m]上單調(diào)遞減，求m的取值范圍。

**11.解答題（共25分）**

（17）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=2，b=√7，c=3。

（1）求cosB的值；

（2）若△ABC的面積為√3，求sinC的值。

（18）已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=3a_n+2（n∈N*）。

（1）求{a_n}的通項公式；

（2）令T_n=a_1+a_2+...+a_n，求T_n的最小值。

（19）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1。

（1）求f(x)的極值點；

（2）判斷f(x)在區(qū)間[-1,2]上的單調(diào)性。

**12.解答題（共20分）**

（20）在直角坐標系中，曲線C的方程為x^2/9+y^2/4=1，直線L的方程為y=mx-1。

（1）求曲線C的焦點坐標和準線方程；

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=5，求m的值。

**13.解答題（共10分）**

（21）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2。若cosC=1/2，求sinA·sinB的值。

**14.解答題（共10分）**

（22）某校高三年級有1000名學生參加數(shù)學競賽，隨機抽取100名學生，統(tǒng)計其成績?nèi)缦卤恚?/p>

成績（分）|60|70|80|90|100

---|---|---|---|---|---

頻數(shù)|10|20|30|30|10

（1）求樣本的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）若成績在80分以上（含80分）為良好，估計該校高三年級數(shù)學競賽成績良好的概率。

**15.解答題（共10分）**

（23）已知函數(shù)f(x)=x^2+px+q。若f(x)在x=-1處取得極大值，且f(0)=5。

（1）求p、q的值；

（2）判斷f(x)在x=2時的符號。

**一試卷題型答案**

**1.選擇題（每小題5分，共25分）**

（1）C

（2）A

（3）A

（4）C

（5）A

**2.填空題（每小題4分，共20分）**

（6）{-1,2}

（7）10

（8）(2,0)

（9）4

（10）30

**3.解答題（共15分）**

（11）

（1）f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當x<0或x>2時，f'(x)>0；當0<x<2時，f'(x)<0。故f(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值。

（2）f'(x)<0?0<x<2。故[a,b]的范圍為[0,2]。

**4.解答題（共25分）**

（12）

（1）由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+4-2×√3×2×(1/2)=1，故c=1。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC?√3/sinA=2/sinB=1/sin(π/3)?sinB=2sinA。又sinB=√1-(√3/2)^2=1/2，故sinA=1/4。

（2）S=1/2×ab×sinC=1/2×√3×2×(√3/2)=3/2。又S=1/2×c×b×sinA?3/2=1/2×1×2×sinA?sinA=3/2，矛盾。故無解。

**5.解答題（共20分）**

（15）

（1）曲線C為橢圓，a=4，b=2，c=√(16-4)=2√3。焦點坐標為(-2√3,0)和(2√3,0)。準線方程為x=±4√3/3。

（2）聯(lián)立{x^2+4y^2=16,y=kx+1}?x^2+4(kx+1)^2=16?(1+4k^2)x^2+8kx-12=0。設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-8k/(1+4k^2)，x1x2=-12/(1+4k^2)。|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)|x1-x2|^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=10?(1+k^2)[64k^2/(1+4k^2)^2+48/(1+4k^2)]=10?(1+k^2)(64k^2+48(1+4k^2))/(1+4k^2)^2=10?16k^4+8k^2-3=0?(4k^2-1)(4k^2+3)=0?k=±1/2。

**6.解答題（共10分）**

（16）由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=2c^2-2ab(1/2)=c^2+ab?a^2+b^2=c^2+2ab?(a+b)^2=c^2+2ab=2c^2?a+b=c。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC?sinA/sinB=1?sinA=sinB。又A≠B，故A+B=π。故sinA·sinB=sinA·sin(π-A)=sin^2A=1/4。

**7.解答題（共10分）**

（17）

（1）眾數(shù)為80，中位數(shù)為80。

（2）10/100=0.1。

**二知識點分類和總結**

1.集合與邏輯用語：集合的運算（交集、并集、補集），絕對值不等式的解法，充分條件與必要條件。

2.函數(shù)與導數(shù)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，函數(shù)的極值與最值，導數(shù)的幾何意義（切線方程），指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.向量：向量的線性運算，向量的數(shù)量積，平面向量的基本定理。

4.解三角形：正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，解三角形的應用。

5.數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，數(shù)列的遞推關系。

6.直線與圓：直線的方程與性質(zhì)，圓的方程與性質(zhì)，直線與圓的位置關系。

7.概率與統(tǒng)計：古典概型，頻率分布表與頻率分布直方圖，樣本的眾數(shù)與中位數(shù)。

8.復數(shù)：復數(shù)的代數(shù)形式與幾何意義，復數(shù)的運算。

**三各題型所考察學生的知識點詳解及示例**

**1.選擇題**

考察學生對基礎概念和性質(zhì)的理解與運用能力。例如，第（1）題考察集合的運算，第（2）題考察函數(shù)的周期性，第（3）題考察復數(shù)的模，第（4）題考察解三角形中的余弦定理，第（5）題考察算法流程圖的執(zhí)行。

**示例：**已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）

A．2B．3C．5D．6

**解：**f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值為3。選B。

**2.填空題**

考察學生對基礎知識和基本運算的掌握程度。例如，第（6）題考察絕對值方程的解法，第（7）題考察向量的數(shù)量積，第（8）題考察拋物線的標準方程，第（9）題考察等比數(shù)列的通項公式，第（10）題考察算法流程圖的執(zhí)行。

**示例：**若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a+b的模為__________。

**解：**a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5。

**3.解答題（3小題，共15分）**

考察學生對函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、極值）的綜合運用能力。例如，第（11）題要求求函數(shù)的極值點和單調(diào)區(qū)間。

**示例：**已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求f(x)的極值點。

**解：**f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。故極值點為x=0和x=2。

**4.解答題（4小題，共25分）**

考察學生對解三角形、數(shù)列、函數(shù)性質(zhì)的綜合運用能力。例如，第（12）題考察解三角形中的正弦定理和余弦定理，第（13）題考察數(shù)列的遞推關系和通項公式，第（14）題考察函數(shù)的極值和符號判斷。

**示例：**已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。求{a_n}的通項公式。

**解：**a_n+1+1=2(a_n+1)?a_n+1=2a_n+2=2(a_n+1)?a_n+1=2^n(a_1+1)=2^n×2=2^(n+1)。故a_n=2^n。

**5.解答題（2小題，共20分）**

考察學生對直線與圓的位置關系、橢圓的性質(zhì)的綜合運用能力。例如，第（15）題考察直線與橢圓的相交弦長和斜率。

**示例：**在直角坐標系中，曲線C的方程為x^2/9+y^2/4=1，直線L的方程為y=kx+1