4/8《解三角形》單元測試(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(每小題5分，共50分)1．在△ABC中，a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，B＝45°，則角A等于()A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．30°2．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，則△ABC的面積為()A．9B．18C．9eq\r(3)D．18eq\r(3)4．在△ABC中，周長為7.5cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，下列結(jié)論：①a∶b∶c＝4∶5∶6②a∶b∶c＝2∶eq\r(5)∶eq\r(6)③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm④A∶B∶C＝4∶5∶6其中成立的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個5．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，若△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則tanC的值為()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)6．在△ABC中，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，則△ABC是()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

7．三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，則三角形的另一邊長為()A．52B．2eq\r(13)C．16D．48．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)9．已知兩座燈塔A和B與觀察站C的距離都等于10km，A在C的北偏東40°，B在C的南偏東20°，則燈塔A與B的距離為()A．10kmB．10eq\r(2)kmC．10eq\r(3)kmD．15km10．若△ABC的周長等于20，面積是10eq\r(3)，A＝60°，則BC邊的長是()A．5B．6C．7D．8二、填空題(每小題5分，共20分)11．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船行的速度為________海里/時．12．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，∠C＝eq\f(2π,3)，則a＝__________.13．等邊△ABC的邊長為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________.14．三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60°，另兩邊之比為8∶5，則這個三角形的面積為________．

三．解答題(共80分)15．(本小題滿分12分)在△ABC中，已知AB＝10eq\r(2)，A＝45°，在BC邊的長分別為20，eq\f(20,3)eq\r(3)，5的情況下，求相應(yīng)角C.16．(本小題滿分12分)已知在△ABC中，A＝45°，a＝2cm，c＝eq\r(6)cm，求角B、C及邊b.17.(本小題滿分14分)在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，求taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值．18．(本小題滿分14分)在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求sinA；(2)記BC的中點為D，求中線AD的長．19.(本小題滿分14分)如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABC的平分線交BC的平行線AD于D，求△ABD的面積．圖120．(本小題滿分14分)如圖2，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.問：點B在什么位置時，四邊形OACB面積最大？圖2

參考答案1.A2.C3．C解析：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，∴BA＝BC＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BA×BC×sinB＝eq\f(1,2)×6×6×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).4．C5．C解析：由面積公式可得BA＝1，由余弦定理可得AC＝eq\r(3)，∴A為直角．∴C＝30°，tanC＝eq\f(\r(3),3).6．C解析：∵sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)＝cos2eq\f(180°－B＋C,2)＝sin2eq\f(B＋C,2)＝eq\f(1－cosB＋C,2)，即sinBsinC＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cosBcosC＋eq\f(1,2)sinB·sinC，∴cos(B－C)＝1.∴B－C＝0，即B＝C.7．B解析：∵三角形兩邊a、b的夾角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，∴cosC＝－eq\f(3,5).由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25＋9＋2×5×3×eq\f(3,5)＝52，∴c＝eq\r(52)＝2eq\r(13).8．D解析：根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)解得sinB＝eq\f(\r(3),3)，又因為b＜a，則B＜A，故B為銳角，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3)，故D正確．9．C10.C11.eq\f(17\r(6),2)解析：利用正弦定理可得eq\f(68,sin45°)＝eq\f(MN,sin75°＋45°)，即MN＝34eq\r(6).∴速度為eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)海里/時．12．113．－eq\f(3,2)解析：∵在等邊△ABC中，A＝B＝C＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2).∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).14．40eq\r(3)解析：∵三角形的兩條邊之比為8∶5，∴可設(shè)這兩條邊為8k,5k.∴(8k)2＋(5k)2－142＝2×8k×5k×cos60°，即49k2＝196.∴k＝2.故三角形的另兩條邊長為16,10.∴三角形的面積為eq\f(1,2)×16×10×sin60°＝40eq\r(3).15．解：由正弦定理得sinC＝eq\f(ABsinA,BC)＝eq\f(10,BC).(1)當(dāng)BC＝20時，sinC＝eq\f(1,2)；∵BC>AB∴A>C∴C＝30°.(2)當(dāng)BC＝eq\f(20,3)eq\r(3)時，sinC＝eq\f(\r(3),2)；∵AB·sin45°<BC<AB.∴C有兩解．∴C＝60°或120°.(3)當(dāng)BC＝5時，sinC＝2>1；∴C不存在．16．解：由正弦定理得：sinC＝eq\f(c,a)sinA＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時，B＝180°－(A＋C)＝75°，b＝eq\f(a,sinA)·sinB＝eq\f(2,sin45°)×sin75°≈2.7(cm)；當(dāng)C＝120°時，B＝180°－(A＋C)＝15°，b＝eq\f(a,sinA)·sinB＝eq\f(2,sin45°)×sin15°≈0.7(cm)．∴b≈2.7cm，C＝60°，B＝75°，或b≈0.7cm，C＝120°，B＝15°.17．解：∵A＋C＝180°－B＝120°，從而eq\f(A＋C,2)＝60°，故taneq\f(A＋C,2)＝eq\r(3).由兩角和的正切公式得：taneq\f(A＋C,2)＝eq\f(tan\f(A,2)＋tan\f(C,2),1－tan\f(A,2)tan\f(C,2))＝eq\r(3)，∴taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＝eq\r(3)－eq\r(3)taneq\f(A,2)·taneq\f(C,2).∴taneq\f(A,2)＋taneq\f(C,2)＋eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)＝eq\r(3).18．解：(1)由cosC＝eq\f(2\r(5),5)，C是三角形內(nèi)角，得sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(5),5).∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2,5)eq\r(5)＋eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10)；(2)在△ACD中，由正弦定理，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，BC＝eq\f(AC,sinB)sinA＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))·eq\f(3\r(10),10)＝6.AC＝2eq\r(5)，CD＝eq\f(1,2)BC＝3,cosC＝eq\f(2\r(5),5).由余弦定理得：AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cosC)＝eq\r(20＋9－2×2\r(5)×3×\f(2\r(5),5))＝eq\r(5).19．解：在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(9＋4－9,12)＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3).∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∴sin∠ABC＝sinC＝eq\f(2\r(2),3).∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，∴sin∠BAD＝sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3).∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC.又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠D，∴∠ABD＝∠D，∴AD＝AB＝3.∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD＝eq\f(1,2)×3×3×eq\f(2\r(2),3)＝3eq\r(2).20．解：設(shè)∠AOB＝α.在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα.于是，四邊形OACB的面積為S＝S△AOB＋S△ABC＝eq\f(1,2)OA·OBsinα＋eq\f(\