高一數(shù)學(xué)《簡單線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計(jì)（人教B版必修）一、課程標(biāo)準(zhǔn)解讀本節(jié)課是人教B版高中數(shù)學(xué)必修課程中不等式模塊的核心內(nèi)容，聚焦“簡單線性規(guī)劃”的概念、建模與求解。依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)課需達(dá)成以下要求：知識(shí)層面：學(xué)生需理解線性規(guī)劃的基本概念（目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、最優(yōu)解），掌握線性規(guī)劃問題的建模方法與圖解法，能運(yùn)用線性規(guī)劃解決簡單的優(yōu)化問題。能力層面：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型）、邏輯推理能力（可行域與最優(yōu)解的推導(dǎo)）、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（最優(yōu)解的計(jì)算）。核心素養(yǎng)層面：落實(shí)數(shù)學(xué)抽象（從實(shí)際問題中抽象出目標(biāo)函數(shù)與約束條件）、數(shù)學(xué)建模（構(gòu)建線性規(guī)劃模型）、邏輯推理（圖解法的原理分析）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（最優(yōu)解的求解）四大核心素養(yǎng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用價(jià)值。二、學(xué)情分析知識(shí)基礎(chǔ)：高一學(xué)生已掌握二元一次不等式（組）的解法、平面直角坐標(biāo)系的基本性質(zhì)，具備初步的函數(shù)與方程思想，但對“優(yōu)化問題”的數(shù)學(xué)表達(dá)和求解方法缺乏系統(tǒng)認(rèn)知，尚未形成完整的建模思維。認(rèn)知特點(diǎn)：學(xué)生好奇心強(qiáng)，善于通過直觀圖形理解抽象概念，但抽象思維和邏輯推理能力仍處于發(fā)展階段，對多約束條件下的變量關(guān)系分析存在困難，容易混淆“可行域”與“最優(yōu)解”的邏輯關(guān)聯(lián)。學(xué)習(xí)困難：①難以將實(shí)際問題中的文字描述轉(zhuǎn)化為規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)式（目標(biāo)函數(shù)與約束條件）；②對可行域的幾何意義理解不透徹，無法準(zhǔn)確繪制約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域；③運(yùn)用圖解法時(shí)，難以通過目標(biāo)函數(shù)的平移確定最優(yōu)解的位置。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能（1）識(shí)記線性規(guī)劃的核心概念（目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、最優(yōu)解），理解其幾何意義。（2）掌握線性規(guī)劃模型的建立步驟，能寫出目標(biāo)函數(shù)的一般形式z=ax+by（a,b為常數(shù)，x,y為決策變量）和約束條件的一般形式Aix+Biy+Ci≥0（或（3）熟練運(yùn)用圖解法求解二元線性規(guī)劃問題，能通過平面圖形確定可行域，并找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。2.過程與方法（1）通過實(shí)際案例分析，經(jīng)歷“實(shí)際問題→抽象概括→建立模型→求解驗(yàn)證”的完整過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。（2）通過圖解法的探究，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，提升邏輯推理與直觀想象能力。（3）在小組合作中，學(xué)會(huì)溝通協(xié)作，共同解決復(fù)雜的線性規(guī)劃問題，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在資源分配、生產(chǎn)調(diào)度等實(shí)際領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。（2）在解決問題的過程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和面對困難不放棄的探索精神。（3）體會(huì)團(tuán)隊(duì)合作的重要性，學(xué)會(huì)尊重他人觀點(diǎn)，提升溝通與表達(dá)能力。4.核心素養(yǎng)（1）數(shù)學(xué)抽象：從實(shí)際問題中抽象出決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，形成線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。（2）數(shù)學(xué)建模：將實(shí)際優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范的線性規(guī)劃模型，并通過求解模型解決實(shí)際問題。（3）邏輯推理：通過約束條件推導(dǎo)可行域的形狀，通過目標(biāo)函數(shù)的平移推導(dǎo)最優(yōu)解的位置，培養(yǎng)邏輯推理能力。（4）數(shù)學(xué)運(yùn)算：準(zhǔn)確計(jì)算可行域頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求解最優(yōu)值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)（1）線性規(guī)劃的核心概念（目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、最優(yōu)解）的理解。（2）線性規(guī)劃模型的建立（決策變量設(shè)定、目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建、約束條件轉(zhuǎn)化）。（3）圖解法求解二元線性規(guī)劃問題的步驟（畫可行域、平移目標(biāo)函數(shù)、找最優(yōu)解）。2.教學(xué)難點(diǎn)（1）實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型（如何將文字描述的約束條件準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)不等式）。（2）可行域的準(zhǔn)確繪制（尤其是多約束條件下平面區(qū)域的交集判斷）。（3）最優(yōu)解的確定（目標(biāo)函數(shù)平移方向與最優(yōu)解的對應(yīng)關(guān)系，含邊界最優(yōu)解與整數(shù)最優(yōu)解的初步認(rèn)知）。五、教學(xué)準(zhǔn)備類別具體內(nèi)容多媒體課件包含概念講解、公式推導(dǎo)動(dòng)畫、圖解法步驟演示圖表、實(shí)際案例數(shù)據(jù)、練習(xí)題庫。教具線性規(guī)劃可行域?qū)嵨锬Ｐ停ㄆ矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)的多邊形區(qū)域模型）、直尺、圓規(guī)。實(shí)驗(yàn)器材線性規(guī)劃模擬軟件（如GeoGebra），用于動(dòng)態(tài)演示可行域與目標(biāo)函數(shù)的平移過程。文本資料任務(wù)單（含案例分析、建模步驟、練習(xí)題）、評價(jià)表（含概念理解、建模能力、求解準(zhǔn)確性評分項(xiàng)）。學(xué)習(xí)用具坐標(biāo)紙、鉛筆、橡皮、計(jì)算器（用于頂點(diǎn)坐標(biāo)與目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算）。教學(xué)環(huán)境小組式座位排列（4人一組），黑板劃分“概念區(qū)”“公式區(qū)”“圖解區(qū)”“例題區(qū)”。六、教學(xué)過程（共45分鐘）（一）導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）1.情境創(chuàng)設(shè)某農(nóng)場擁有可種植面積約1000平方米（折合1.5畝）的土地，計(jì)劃種植小麥和玉米兩種作物。已知：小麥每畝（≈666.7平方米）產(chǎn)量500公斤，種植成本1000元；玉米每畝產(chǎn)量800公斤，種植成本1500元；農(nóng)場現(xiàn)有總種植預(yù)算2000元，且要求玉米種植面積不超過小麥種植面積的2倍。請問：如何分配土地種植面積，才能使作物總產(chǎn)量最大？2.認(rèn)知沖突引導(dǎo)學(xué)生思考：若只種小麥或只種玉米，總產(chǎn)量分別是多少？（計(jì)算：只種小麥：1.5×500=750公斤；只種玉米：1.5×800=1200公斤，但玉米種植成本1.5×1500=2250元>2000元，超出預(yù)算）。顯然單一種植無法滿足“預(yù)算約束”與“產(chǎn)量最大化”的雙重需求，引出“多約束下的優(yōu)化問題”。3.引出課題這類問題需要通過“線性規(guī)劃”這一數(shù)學(xué)工具解決。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)《簡單線性規(guī)劃》，掌握其建模與求解方法，解決此類實(shí)際優(yōu)化問題。（二）新授環(huán)節(jié)（25分鐘）任務(wù)一：梳理線性規(guī)劃核心概念（8分鐘）教師活動(dòng)：（1）結(jié)合導(dǎo)入案例，抽象出線性規(guī)劃的三大核心要素：決策變量：設(shè)x為小麥種植畝數(shù)，y為玉米種植畝數(shù)（x≥0，y≥0）；目標(biāo)函數(shù)：總產(chǎn)量最大化，即z=500x+800y（z為總產(chǎn)量，單位：公斤）；約束條件：x+y≤1.51000x+1500y≤2000（2）給出通用定義：線性規(guī)劃：在一組線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題；可行域：滿足所有約束條件的決策變量xy構(gòu)成的平面區(qū)域（如圖1）最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行域內(nèi)的點(diǎn)。（3）展示圖1：線性規(guī)劃可行域示意圖（平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，由約束直線x+y=1.5、1000x+1500y=2000、y=2x、x=0、y=0圍成的多邊形區(qū)域，標(biāo)注可行域D，頂點(diǎn)分別為O00、A1.50、B學(xué)生活動(dòng)：（1）結(jié)合案例理解決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件的定義；（2）觀察圖1，識(shí)別可行域的形狀與頂點(diǎn)；（3）小組討論：可行域?yàn)槭裁词欠忾]的多邊形？頂點(diǎn)在求解中有什么作用？即時(shí)評價(jià)：能準(zhǔn)確說出決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件的定義；能指出圖1中可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)。任務(wù)二：線性規(guī)劃模型的建立步驟（7分鐘）教師活動(dòng)：（1）總結(jié)建模“四步法”：①設(shè)：設(shè)定決策變量（明確變量含義與取值范圍）；②列：列出約束條件（將實(shí)際限制轉(zhuǎn)化為線性不等式/等式）；③定：確定目標(biāo)函數(shù)（明確最大化/最小化目標(biāo)，轉(zhuǎn)化為線性表達(dá)式）；④寫：寫出完整模型（目標(biāo)函數(shù)+約束條件）。（2）例題演示：以“工廠生產(chǎn)計(jì)劃”為例，完整演示建模過程：某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品每單位利潤100元，B產(chǎn)品每單位利潤200元；生產(chǎn)A需2小時(shí)機(jī)器時(shí)間、3小時(shí)人工時(shí)間，生產(chǎn)B需1小時(shí)機(jī)器時(shí)間、2小時(shí)人工時(shí)間；工廠每天機(jī)器時(shí)間上限8小時(shí)，人工時(shí)間上限12小時(shí)。建立最大化利潤的線性規(guī)劃模型。（3）推導(dǎo)模型：\begin{cases}\text{max}z=100x+200y\\2x+y\leq8\\3x+2y\leq12\\x\geq0,y\geq0\end{cases}（x為A產(chǎn)品產(chǎn)量，y為B產(chǎn)品產(chǎn)量）。學(xué)生活動(dòng)：（1）跟隨教師學(xué)習(xí)建模四步法；（2）獨(dú)立完成導(dǎo)入案例的完整建模（對照教師給出的約束條件修正）；（3）小組交流建模過程中遇到的問題（如單位統(tǒng)一、約束條件遺漏等）。即時(shí)評價(jià)：能按“四步法”完成簡單實(shí)際問題的建模；模型中決策變量定義清晰，約束條件無遺漏、無錯(cuò)誤。任務(wù)三：圖解法求解線性規(guī)劃問題（10分鐘）教師活動(dòng)：（1）講解圖解法“三步法”：①畫可行域：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出每個(gè)約束條件對應(yīng)的直線，確定每個(gè)約束條件對應(yīng)的區(qū)域，取交集得可行域；②平移目標(biāo)函數(shù)：將目標(biāo)函數(shù)z=ax+by變形為y=?abx+zb（b≠0），其中zb為直線在y軸上的截距，截距與z同號(hào)時(shí)，截距最大（小）對應(yīng)z③找最優(yōu)解：平移直線y=?abx，觀察其與可行域的最后一個(gè)交點(diǎn)，該交點(diǎn)即為最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得最（2）以“工廠生產(chǎn)計(jì)劃”模型為例，演示圖解過程：畫可行域：如圖2，約束直線2x+y=8（與x軸交于(4,0)，y軸交于(0,8)）、3x+2y=12（與x軸交于(4,0)，y軸交于(0,6)），可行域?yàn)樗倪呅蜲00、A40、B40（兩直線交點(diǎn)）、C06？修正：聯(lián)立2x+y=8與3x+2y=12，解得x=4，y=0？重新計(jì)算：聯(lián)立方程2x+y=8→y=8?2x，代入3x+2y=12得3x+28?2x=12→3x+16?4x=12→x=4，y=0，可行域?yàn)镺00、A40、C平移目標(biāo)函數(shù)：z=100x+200y變形為y=?12x+z200，斜找最優(yōu)解：平移直線y=?12x，當(dāng)直線過C06時(shí)，截距最大（3）強(qiáng)調(diào)：可行域?yàn)橥苟噙呅螘r(shí)，最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)上，因此可通過計(jì)算所有頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，對比得出最優(yōu)解。學(xué)生活動(dòng)：（1）跟隨教師學(xué)習(xí)圖解法步驟，在坐標(biāo)紙上繪制圖2；（2）獨(dú)立用圖解法求解導(dǎo)入案例的線性規(guī)劃問題，計(jì)算可行域頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值；（3）小組內(nèi)核對答案，討論“為什么最優(yōu)解在頂點(diǎn)上”。即時(shí)評價(jià)：能準(zhǔn)確繪制可行域；能通過平移目標(biāo)函數(shù)或計(jì)算頂點(diǎn)函數(shù)值找到最優(yōu)解；能說出圖解法的核心原理（數(shù)形結(jié)合）。（三）鞏固訓(xùn)練（10分鐘）1.基礎(chǔ)鞏固層（4分鐘）練習(xí)1：建立并求解下列線性規(guī)劃模型：某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A每單位利潤50元，B每單位利潤80元；生產(chǎn)A需2小時(shí)機(jī)器時(shí)間、3小時(shí)人工時(shí)間，生產(chǎn)B需1小時(shí)機(jī)器時(shí)間、2小時(shí)人工時(shí)間；每天機(jī)器時(shí)間8小時(shí)，人工時(shí)間10小時(shí)。求最大化利潤。（模型：\begin{cases}\text{max}z=50x+80y\\2x+y\leq8\\3x+2y\leq10\\x\geq0,y\geq0\end{cases}；最優(yōu)解：x=2，y=2，z_{\text{max}}=260元）2.綜合應(yīng)用層（4分鐘）練習(xí)2：某餐廳提供A、B兩種菜品，A每份利潤10元，B每份利潤15元；制作A需1小時(shí)廚師時(shí)間、1小時(shí)服務(wù)員時(shí)間，制作B需0.5小時(shí)廚師時(shí)間、1小時(shí)服務(wù)員時(shí)間；每天廚師時(shí)間6小時(shí)，服務(wù)員時(shí)間8小時(shí)，且A至少提供20份、B至少提供15份。求最大化利潤。（模型：\begin{cases}\text{max}z=10x+15y\\x+0.5y\leq6\\x+y\leq8\\x\geq20？修正：數(shù)據(jù)調(diào)整為“每天廚師時(shí)間60小時(shí)，服務(wù)員時(shí)間80小時(shí)”，模型：(\begin{cases}\text{max}z=10x+15y\\x+0.5y\leq60\\x+y\leq80\\x\geq20\\y\geq15\\x\geq0,y\geq0\end{cases}；最優(yōu)解：x=20，y=60，z_{\text{max}}=1100元）3.拓展挑戰(zhàn)層（2分鐘）練習(xí)3：設(shè)計(jì)一個(gè)“校園綠植種植規(guī)劃”線性規(guī)劃問題（包含2個(gè)決策變量、3個(gè)約束條件），并寫出模型（不求解）。（四）課堂小結(jié)（3分鐘）知識(shí)梳理：回顧線性規(guī)劃的核心概念（決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件、可行域、最優(yōu)解）、建模四步法、圖解法三步法。方法提煉：強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”“建模思想”在解決優(yōu)化問題中的作用，總結(jié)“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解→實(shí)際解”的邏輯鏈條。作業(yè)布置：必做：完成基礎(chǔ)鞏固層與綜合應(yīng)用層練習(xí)的詳細(xì)求解過程（含可行域繪制）；選做：完成拓展挑戰(zhàn)層練習(xí)，并用GeoGebra軟件模擬可行域與最優(yōu)解。七、作業(yè)設(shè)計(jì)1.基礎(chǔ)性作業(yè)（1520分鐘）（1）核心知識(shí)點(diǎn)：建模與圖解法。（2）作業(yè)內(nèi)容：求解下列問題：某商店銷售甲、乙兩種商品，甲每件進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)15元；乙每件進(jìn)價(jià)12元，售價(jià)18元；商店每天進(jìn)貨資金不超過300元，進(jìn)貨數(shù)量不超過30件。求每天的最大利潤。（3）要求：寫出完整建模過程，繪制可行域，標(biāo)注最優(yōu)解，計(jì)算最優(yōu)利潤。2.拓展性作業(yè)（30分鐘）（1）核心知識(shí)點(diǎn)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用。（2）作業(yè)內(nèi)容：調(diào)查所在社區(qū)的一個(gè)優(yōu)化問題（如共享單車停放點(diǎn)規(guī)劃、社區(qū)活動(dòng)場地分配等），收集相關(guān)數(shù)據(jù)（如場地面積、使用需求、約束條件等），建立線性規(guī)劃模型，并說明模型的實(shí)際意義。（3）要求：數(shù)據(jù)真實(shí)，模型規(guī)范，附200字左右的問題分析說明。3.探究性作業(yè)（自主安排時(shí)間）（1）核心知識(shí)點(diǎn)：線性規(guī)劃的求解方法拓展。（2）作業(yè)內(nèi)容：查閱資料，了解“單純形法”的基本原理，對比圖解法與單純形法的適用場景，撰寫一份500字左右的探究報(bào)告。（3）要求：邏輯清晰，體現(xiàn)自主探究過程，可附簡單的方法對比表。八、知識(shí)清單及拓展1.核心概念與公式（1）目標(biāo)函數(shù)：z=ax+by（a,b為常數(shù)，x,y為決策變量），分為最大化（\text{max}z）和最小化（\text{min}z）兩類。（2）約束條件：Aix+Biy+Ci≥0（或≤0、=0），x≥0，y≥0（非負(fù)約束，實(shí)（3）線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式：[\begin{cases}...xt{max（或min）}z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n\\...11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\...21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\...\\...m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\\...,x_2,...,x_n\geq0\end{cases}]（其中bi≥0，不等式約束可通過引入松弛變量/剩余變量轉(zhuǎn)化為等式約束（4）可行域：二元線性規(guī)劃的可行域?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)的凸多邊形（特殊情況下為線段、射線或空集）。（5）最優(yōu)解性質(zhì)：凸多邊形可行域的最優(yōu)解必在頂點(diǎn)上（若存在最優(yōu)解）。2.求解方法（1）圖解法：適用于二元線性規(guī)劃問題，核心是“畫域→平移→找交點(diǎn)”。（2）單純形法：適用于多元線性規(guī)劃問題，通過迭代計(jì)算可行域頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找到最優(yōu)解。（3）軟件求解：GeoGebra、Lingo、Excel規(guī)劃求解等工具，可快速求解復(fù)雜線性規(guī)劃問題。3.應(yīng)用領(lǐng)域資源分配（人力、物力、財(cái)力分配）、生產(chǎn)計(jì)劃（產(chǎn)品產(chǎn)量規(guī)劃）、運(yùn)輸調(diào)度（物資運(yùn)輸路線與數(shù)量規(guī)劃）、經(jīng)濟(jì)決策（投資組合優(yōu)化）、校園管理（場地規(guī)劃、課程安排）等。4.拓展延伸（1）整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量需取整數(shù)的線性規(guī)劃問題（如產(chǎn)品產(chǎn)量、人數(shù)等）。（2）非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)或約束條件為非線性的優(yōu)化問題。（3）對偶線性規(guī)劃：原線性規(guī)劃的對偶問題，可用于驗(yàn)證原問題解的最優(yōu)性，簡化復(fù)雜問題的求解。九、教學(xué)反思1.教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況大部分學(xué)生能掌握線性規(guī)劃的核心概念和建模四步法，能運(yùn)用圖解法求解簡單二元線性規(guī)劃問題，達(dá)成了知識(shí)與技能目標(biāo)。但在綜合應(yīng)用層練習(xí)中，部分學(xué)生仍存在“約束條件轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤”“可行域繪制不準(zhǔn)確”的問題，尤其是含“至少”“不超過”等關(guān)鍵詞的約束條件轉(zhuǎn)化，需在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)專項(xiàng)訓(xùn)練。核心素養(yǎng)方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與邏輯推理能力得到初