專題1.3不等式與復(fù)數(shù)（舉一反三復(fù)習(xí)講義）【全國(guó)通用】命題規(guī)律分析1、不等式不等式是每年高考的重要內(nèi)容，對(duì)不等式的考查一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等問(wèn)題。但不等式的相關(guān)知識(shí)往往可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，難度中檔，其中在解析幾何中利用基本不等式求解范圍或解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)利用不等式進(jìn)行求解，難度偏高。2、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一。從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，題型為單選題或填空題（多位于前2題），分值5分，試題難度較低，以基礎(chǔ)題為主，主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及其幾何意義。高考真題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)2023年2024年2025年不等式I卷：第1題，5分全國(guó)二卷：第4題，5分北京卷：第6題，4分天津卷：第15題，5分上海卷：第2題，4分上海卷：第8題，5分復(fù)數(shù)I卷：第2題，5分Ⅱ卷：第1題，5分新課標(biāo)I卷：第2題，5分新課標(biāo)Ⅱ卷：第1題，5分全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第1題，5分全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第1題，5分全國(guó)一卷：第1題，5分全國(guó)二卷：第2題，5分北京卷：第2題，4分天津卷：第10題，5分上海卷：第10題，5分2026年命題預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)在2026年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)中，不等式與復(fù)數(shù)的考情將繼續(xù)維持穩(wěn)定態(tài)勢(shì)。不等式依舊以單選題或填空題的形式考查，分值為5分，主要考查基本不等式求最值、不等式的求解，或與基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)（如：集合、常用邏輯用語(yǔ)等）相結(jié)合考查，難度不大。預(yù)測(cè)復(fù)數(shù)仍以選擇題的考查形式為主，分值為5分，主要考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、模長(zhǎng)以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。不等式與復(fù)數(shù)二者都是易得分的基礎(chǔ)模塊，二輪復(fù)習(xí)備考時(shí)要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，做到簡(jiǎn)單題不丟分。知識(shí)點(diǎn)1不等式的性質(zhì)1．不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)傳遞性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．比較大小的基本方法關(guān)系方法作差法與0比較作商法與1比較知識(shí)點(diǎn)2基本不等式1.基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．2．常見(jiàn)的求最值模型立；3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來(lái)求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.知識(shí)點(diǎn)3一元二次不等式1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過(guò)對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；②計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程沒(méi)有實(shí)根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫(xiě)出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對(duì)判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論．2．分式、高次、絕對(duì)值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對(duì)值不等式的一般步驟：對(duì)于絕對(duì)值不等式，可以分類討論然后去括號(hào)求解；還可以借助數(shù)軸來(lái)求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題及其解題策略1．復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b=0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).3．復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問(wèn)題的解決更加直觀.4．復(fù)數(shù)的方程的解題策略(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒(méi)有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【題型1不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用】【例1】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知a>b，且c>d，則下列不等式一定成立的是（

）A．a(chǎn)c>bd B．a(chǎn)c<bdC．a(chǎn)+c>b+d D．1【答案】C【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【解答過(guò)程】因?yàn)閍>b，且c>d，若a=1,b=?1,c=2,d=?3，則ac=2<bd=3，故A不正確；若a=2,b=?1,c=2,d=?3，則ac=4>bd=3，故B不正確；因?yàn)閍>b，且c>d，所以a+c>b+d，故C正確；若a=2,b=?1，則1a故選：C.【變式11】（2025·山西臨汾·二模）若3≤a≤5,?2≤b≤1，則2a?b的范圍是（

）A．8,9 B．4,8 C．5,8 D．5,12【答案】D【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】由3≤a≤5,?2≤b≤1可得6≤2a≤10,故5≤2a?b≤12，故選：D.【變式12】（2025·云南玉溪·二模）已知x>0，x2?2xy+z2=0A．y>z>x B．x>y>z C．y>x>z D．z>x>y【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，由原式可得y=x2+z22x，然后由作差法分別比較y與【解答過(guò)程】由x>0，且x2?2xy+z2=0則y?x=x又x2<yz，即x2即x?z2x2所以x?z<0，即0<x<z，所以x2所以y?x=z2?又y?z=x2+綜上所述，y>z>x.故選：A.【變式13】（2025·四川綿陽(yáng)·一模）若a>b,c<0，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．1a<1C．a(chǎn)?c<b?c D．a(chǎn)c<bc【答案】D【解題思路】根據(jù)題意及不等式的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】當(dāng)a>0>b且c<0，則1a>1由題設(shè)a>b,?c>0，則a?c>b?c，且?ac>?bc?ac<bc，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D.【題型2利用基本不等式求最值】【例2】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0，且a+2b=1，則ba+1A．92 B．4 C．3 【答案】B【解題思路】利用1的代換，結(jié)合基本不等式可求最小值.【解答過(guò)程】因?yàn)閍+2b=1，所以ba當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab，即a=b=1故選：B.【變式21】（2025·湖北黃岡·一模）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，則A．12 B．16 C．18 D．20【答案】B【解題思路】由題可得x+9yxy【解答過(guò)程】x+9yxy當(dāng)且僅當(dāng)9yx=x故選：B.【變式22】（2025·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知a>0，b>0，且ab=1，則12a+1A．4 B．8 C．1 D．2【答案】A【解題思路】根據(jù)ab=1，得12a【解答過(guò)程】由a>0，b>0，且ab=1，得12a當(dāng)且僅當(dāng)a+b2=8a+b=2，即a+b=4所以，當(dāng)a=2+3b=2?3，或a=2?故選：A.【變式23】（2025·浙江臺(tái)州·一模）已知a,b∈?1,+∞，且a+1b+1=2A．2 B．94 C．52【答案】D【解題思路】可利用配湊法與“1的妙用”，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】由題可知，a+2+1b+1=4則b+1+=1當(dāng)且僅當(dāng)(a+2)(b+1)=3時(shí)，即當(dāng)a=1,b=0時(shí)，等號(hào)成立.因此b+1+9故b+9故選：D.【題型3基本不等式中的恒成立問(wèn)題】【例3】（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y?12xy=0，且不等式x+y?a>0恒成立，則aA．a(chǎn)<2 B．a(chǎn)<8 C．a(chǎn)<6 D．a(chǎn)<4【答案】B【解題思路】對(duì)題目等式變形得1x【解答過(guò)程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足x+y?12xy=0則：x+y=2(x+y)1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁絰+y?a>0恒成立，所以a<8．故選：B．【變式31】（2425高一上·安徽池州·期中）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1A．?∞,116 B．?∞,【答案】A【解題思路】由已知條件得出x+1+y+2=8，將代數(shù)式4x+1+1y+2【解答過(guò)程】因?yàn)閤>0，y>0，且x+y=5，則x+1+y+2=8，則y+2x+1所以4≥1當(dāng)且僅當(dāng)4y+2即當(dāng)x=133，y=23時(shí)，所以因?yàn)?x+1+1y+2≥2m+1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故選：A.【變式32】（2025·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y【答案】?【解題思路】將x2x+1+y2【解答過(guò)程】因?yàn)閤+y=6，所以t==x+1+1所以t=3+=329+所以x2x+1+故實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞故答案為：(?∞,4].【變式33】（2526高一上·湖南·期末）已知x>0，y>0，且x+y=1，若4x+1+1y≥12【答案】?【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式求出4x+1+1y的最小值，即可得到【解答過(guò)程】因?yàn)閤>0，y>0，且x+y=1，則x+1+y=2，所以4≥1當(dāng)且僅當(dāng)4yx+1=x+1y時(shí)，即當(dāng)x=13，因?yàn)?x+1+1y≥所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?∞故答案為：?∞【題型4解常見(jiàn)的不等式】【例4】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次不等式2x2?x+a<0的解集為x?1<x<mm>?1A．?32 B．32 C．?【答案】A【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【解答過(guò)程】由題意可得m，?1為方程2x由韋達(dá)定理可得m?1=12m×?1=a2故選：A.【變式41】（2025·陜西西安·二模）已知集合A={x∣x?2<2},B=x∣x2A．x∣?1≤x≤0 B．x∣4≤x≤5C．x∣0≤x≤4 D．{x∣?1≤x≤0或4≤x≤5}【答案】D【解題思路】解不等式求得集合A,B，進(jìn)而利用補(bǔ)集，交集的意義求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳={x∣x?2<2}={x∣?2<x?2<2}={x∣0<x<4}，所以?R又B=x∣x2?4x?5≤0=故選：D.【變式42】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）不等式6x+1A．{x∣?1<x≤5} B．x∣x≤?1C．x∣?1≤x≤5 D．{x∣x>5}【答案】A【解題思路】利用分式不等式的解法求解.【解答過(guò)程】由6x+1≥1，得6x+1轉(zhuǎn)化為x?5x+1≤0x+1≠0所以不等式6x+1≥1的解集為故選：A.【變式43】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式x2+px+q<0的解集為(5,6)，則不等式x2A．?1,12∪30,+∞C．?∞,?30∪【答案】D【解題思路】根據(jù)給定不等式的解集，結(jié)合韋達(dá)定理求出p,q，再代入并將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解.【解答過(guò)程】由不等式x2+px+q<0的解集為(5,6)，得5,6是方程則p=?11,q=30，不等式x2+px?12x+q即(x+1)(x?12)>0x+30>0或(x+1)(x?12)<0x+30<0，解得?30<x<?1或所以所求不等式的解集為?30,?1∪故選：D.【題型5一元二次不等式恒成立、有解問(wèn)題】【例5】（2025·陜西咸陽(yáng)·二模）已知命題“?x∈R，使x2+x+a?2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．?∞,0 B．0,4 C．4,+∞【答案】D【解題思路】由題意可知命題“?x∈R，x2+x+a?2>0”為真命題，可得出Δ<0【解答過(guò)程】因?yàn)槊}“?x∈R，使x2則命題“?x∈R，x2+x+a?2>0”為真命題，則Δ=1?4故實(shí)數(shù)a的取值范圍是94故選：D.【變式51】（2025·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）若命題“?x∈R,x2+x+a≠0”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)aA．12,+∞ B．12,+∞【答案】C【解題思路】得到命題的否定后結(jié)合根的判別式計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】命題“?x∈R,x2+x+a≠0則“?x∈R,x則有Δ=1?4a≥0，解得a≤故選：C.【變式52】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）若“?x∈R,x2?mx+2>0”是真命題，則實(shí)數(shù)mA．?22,22 B．?22,22【答案】A【解題思路】由判別式Δ<0【解答過(guò)程】由題意可得：Δ=解得：?22所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?22故選：A.【變式53】（2025·重慶·一模）已知a∈R，則“x2+2x+a>0的解集為R”是“a>0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】由不等式x2+2x+a>0的解集為R可得【解答過(guò)程】因?yàn)椴坏仁絰2+2x+a>0的解集為R，所以4?4a<0，所以所以“x2+2x+a>0的解集為R”是“故選：A.【題型6復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】【例6】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z=1+i，z的共軛復(fù)數(shù)為z，則z?z=A．2 B．2 C．?2 D．【答案】B【解題思路】由共軛復(fù)數(shù)定義結(jié)合復(fù)數(shù)乘法可得答案.【解答過(guò)程】因z=1+i，則z=1?i故選：B.【變式61】（2025·浙江溫州·一模）已知z=?1+i，則zz+1=A．?1+i B．?i C．1?i【答案】D【解題思路】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閦=?1+i，則z故選：D.【變式62】（2025·廣西柳州·一模）若復(fù)數(shù)z滿足z1?i=1+3i，則A．10 B．5 C．3 D．2【答案】B【解題思路】通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出z.【解答過(guò)程】復(fù)數(shù)z滿足z1?得z=1+3z=故選：B.【變式63】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2z=2+i（其中i為虛數(shù)單位），則|z+4A．3 B．5 C．10 D．2【答案】C【解題思路】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式求解.【解答過(guò)程】由z+2z=2+i所以z+4i所以z+4i故選：C.【題型7復(fù)數(shù)的幾何意義】【例7】（2025·四川內(nèi)江·一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i2?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將2i2?i【解答過(guò)程】由2i故該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?2故選：B.【變式71】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=2+i，則復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解題思路】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得zi【解答過(guò)程】由題意得，z=2?i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,?2)，故該點(diǎn)在第三象限．故選：C.【變式72】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m∈R，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=2m+m?3i的點(diǎn)在直線x+y=0上，則z=（A．2+2i B．2?2i C．?2?2i【答案】B【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示，結(jié)合已知直線方程求出的m值，進(jìn)而得到復(fù)數(shù)z.【解答過(guò)程】復(fù)數(shù)z=2m+m?3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)樵擖c(diǎn)在直線x+y=0上，所以2m+m?3=0，解得m=1，則z=2?2i故選：B.【變式73】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z=32?i3，則其共軛復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求解出z，由此可知結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閦=32+i故選：A.【題型8與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題】【例8】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z滿足z?2i=1，則z的最大值為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點(diǎn)0,2為圓心，以1為半徑的圓即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y所以z?2所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Gx,y到0,2的距離為1故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點(diǎn)0,2為圓心，以1為半徑的圓，故當(dāng)點(diǎn)Gx,y運(yùn)動(dòng)到與y軸的交點(diǎn)，且向上的位置時(shí)，此時(shí)z=故選：C.【變式81】（2025·湖北黃岡·一模）已知z∈C，且z?1=1，i為虛數(shù)單位，則A．5+1 B．5?1 C．2 【答案】A【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，利用點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值去求z?2i【解答過(guò)程】z?1=1表示以C1,0為圓心，則圓心C到點(diǎn)M0,2的距離d=則z?2i的最大值為d+r=故選：A.【變式82】（2025·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1?i=1，則z+iA．2+1 B．5 C．22+1【答案】D【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)加減的幾何意義可確定最大值.【解答過(guò)程】∵z?1?i=1，∴復(fù)數(shù)z該點(diǎn)軌跡為以1,1為圓心，半徑為1的圓，z+i表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到0,?1的距離，所以最大值為1+故選：D.【變式83】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z?i|=2，那么A．1 B．2 C．2 D．5【答案】B【解題思路】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)z滿足的限制條件，進(jìn)而求得|z?1|的最大值.【解答過(guò)程】設(shè)復(fù)數(shù)i、?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(0,1),B(0,?1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R由|z+i|+|z?i|=2可知：復(fù)數(shù)而AB=2，所以點(diǎn)Z(a,b)在線段AB上，故a=0,b∈則|z?1|=|bi當(dāng)b=±1時(shí)，|z?1|的最大值為2.故選：B.考點(diǎn)一不等式一、單選題1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）不等式x?4x?1≥2的解集是（A．{x∣?2≤x≤1} B．{x∣x≤?2}C．{x∣?2≤x<1} D．{x∣x>1}【答案】C【解題思路】移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.【解答過(guò)程】x?4x?1≥2即為x+2x?1≤0即故解集為{x∣?2≤x<1}.故選：C.2．（2025·北京·高考真題）已知a>0,b>0，則（

）A．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)+b>ab D．【答案】C【解題思路】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A,當(dāng)a=b時(shí)，a2對(duì)于BD，取a=12,b=1a對(duì)于C，由基本不等式可得a+b≥2ab故選：C.3．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合M=?2,?1,0,1,2，N=xx2?x?6≥0A．?2,?1,0,1 B．0,1,2 C．?2 D．2【答案】C【解題思路】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【解答過(guò)程】方法一：因?yàn)镹=xx2所以M∩N=?2．故選：C．方法二：因?yàn)镸=?2,?1,0,1,2，將?2,?1,0,1,2代入不等式x2?x?6≥0，只有?2使不等式成立，所以M∩N=故選：C．二、填空題4．（2025·上?！じ呖颊骖}）不等式x?1x?3<0的解集為【答案】1,3【解題思路】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式x?1x?3【解答過(guò)程】原不等式轉(zhuǎn)化為x?1x?3<0，解得則其解集為1,3.故答案為：1,3.5．（2025·上?！じ呖颊骖}）設(shè)a,b>0,a+1b=1，則b+1a【答案】4【解題思路】靈活利用“1”將b+1【解答過(guò)程】易知b+1當(dāng)且僅當(dāng)ab=1，即a=1故答案為：4.6．（2025·天津·高考真題）若a,b∈R，對(duì)?x∈[?2,2]，均有(2a+b)x2+bx?a?1≤0恒成立，則2a+b的最小值為【答案】?4【解題思路】先設(shè)t=2a+b，根據(jù)不等式的形式，為了消a可以取x=?12，得到t≥?4，驗(yàn)證t=?4時(shí)，【解答過(guò)程】設(shè)t=2a+b，原題轉(zhuǎn)化為求t的最小值，原不等式可化為對(duì)任意的?2≤x≤2，tx不妨代入x=?12，得14當(dāng)t=?4時(shí)，原不等式可化為?4x即?2x+觀察可知，當(dāng)a=0時(shí)，?2x+12≤0對(duì)?2≤x≤2此時(shí)，a=0,b=?4，說(shuō)明t=?4時(shí)，a,b均可取到，滿足題意，故t=2a+b的最小值為?4.故答案為：?4.7．（2024·上海·高考真題）已知x∈R,則不等式x2?2x?3<0的解集為【答案】x|?1<x<3【解題思路】求出方程x2【解答過(guò)程】方程x2?2x?3=0的解為x=?1或故不等式x2?2x?3<0的解集為故答案為：x|?1<x<3.8．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax+1+ax在【答案】5【解題思路】原問(wèn)題等價(jià)于f′x=axlna+【解答過(guò)程】由函數(shù)的解析式可得f′x=則1+axln1+a≥?a故1+aa0=1≥?lna故lna+1≥?lna0<a<1結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是5?1故答案為：5?1考點(diǎn)二復(fù)數(shù)一、單選題1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知z=1+i，則1z?1=A．?i B．i C．?1 【答案】A【解題思路】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閦=1+i，所以1故選：A.2．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z+2=2i，則|z|=（A．2 B．22 C．4 【答案】B【解題思路】先求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式