一、從分物操作到符號(hào)抽象：余數(shù)的本質(zhì)意義初感知演講人從分物操作到符號(hào)抽象：余數(shù)的本質(zhì)意義初感知01從數(shù)學(xué)符號(hào)到生活場(chǎng)景：余數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義再延伸02從現(xiàn)象觀察到規(guī)律總結(jié)：余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系再探究03從零散認(rèn)知到系統(tǒng)建構(gòu)：余數(shù)意義的深度總結(jié)04目錄2025小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)除法余數(shù)意義深化理解課件作為深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，除法中的余數(shù)不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，更是兒童從“精確分物”到“現(xiàn)實(shí)分物”認(rèn)知跨越的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。三年級(jí)學(xué)生在二年級(jí)已初步接觸有余數(shù)的除法，但多數(shù)停留在“能寫(xiě)出算式”的表層，對(duì)“余數(shù)為何存在”“余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系本質(zhì)”“余數(shù)如何解釋生活現(xiàn)象”等核心問(wèn)題缺乏深度理解。本節(jié)課，我們將沿著“分物操作—符號(hào)抽象—關(guān)系探究—生活應(yīng)用”的認(rèn)知路徑，帶領(lǐng)學(xué)生真正“看見(jiàn)”余數(shù)的意義。01從分物操作到符號(hào)抽象：余數(shù)的本質(zhì)意義初感知1回顧舊知：無(wú)余數(shù)除法的“完美分物”二年級(jí)時(shí)，我們通過(guò)“分糖果”“分小棒”的活動(dòng)學(xué)習(xí)了除法。比如：12顆糖果，平均分給3個(gè)小朋友，每人4顆，剛好運(yùn)完，算式是12÷3=4（顆）。這種情況的關(guān)鍵是“剛好分完”，沒(méi)有剩余。但生活中更多時(shí)候，分物會(huì)遇到“分不完”的情況——這就是余數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)土壤。2創(chuàng)設(shè)情境：分物活動(dòng)中的“剩余現(xiàn)象”現(xiàn)在，我們用11根小棒擺正方形（每個(gè)正方形需要4根小棒）。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手?jǐn)[一擺：第1次擺：11根小棒，每4根擺1個(gè)正方形，能擺2個(gè)正方形，用掉8根小棒，剩下3根。記錄過(guò)程：擺2個(gè)正方形用了2×4=8根，剩下11-8=3根。這時(shí)，我們需要用算式表示這種“分完有剩余”的情況。數(shù)學(xué)上規(guī)定，用“余數(shù)”表示剩下的數(shù)量，算式寫(xiě)作：11÷4=2（個(gè)）……3（根），讀作“11除以4等于2余3”。這里的“3”就是余數(shù)，它的本質(zhì)是“平均分后，剩下的不夠再分一份的數(shù)量”。3符號(hào)抽象：余數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)規(guī)范01觀察算式11÷4=2……3，我們需要明確各部分的名稱和意義：05余數(shù)3：分完后剩下的數(shù)量（不夠再擺一個(gè)正方形的小棒數(shù)）。03除數(shù)4：每份的數(shù)量（每個(gè)正方形需要的小棒數(shù)）；02被除數(shù)11：要分的總數(shù)（小棒的總根數(shù)）；04商2：能分成的完整份數(shù)（能擺的正方形個(gè)數(shù)）；關(guān)鍵強(qiáng)調(diào)：余數(shù)必須和被除數(shù)的單位一致（如本例中余數(shù)3的單位是“根”），因?yàn)樗强倲?shù)中未被分完的部分。0602從現(xiàn)象觀察到規(guī)律總結(jié)：余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系再探究1操作探究：余數(shù)的“邊界”在哪里？為了探究余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，我們開(kāi)展“用小棒擺圖形”的系列活動(dòng)（小棒總數(shù)固定為13根，改變每份數(shù)量）：|每份數(shù)量（除數(shù)）|能擺的完整圖形數(shù)（商）|剩余小棒數(shù)（余數(shù)）||------------------|------------------------|---------------------||2根（擺三角形）|6個(gè)|1根||3根（擺正方形）|4個(gè)|1根||4根（擺五邊形）|3個(gè)|1根||5根（擺六邊形）|2個(gè)|3根||6根（擺七邊形）|2個(gè)|1根|請(qǐng)同學(xué)們觀察表格，思考：余數(shù)和除數(shù)之間有什么關(guān)系？（提示：比較余數(shù)和除數(shù)的大?。?歸納規(guī)律：余數(shù)必須小于除數(shù)通過(guò)多組數(shù)據(jù)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)：余數(shù)始終小于除數(shù)。例如：當(dāng)除數(shù)是2時(shí)，余數(shù)只能是1（1<2）；當(dāng)除數(shù)是5時(shí)，余數(shù)可能是1、2、3、4（均<5）；如果余數(shù)等于或大于除數(shù)，說(shuō)明還能再分一份。例如：若13根小棒每5根分一份，錯(cuò)誤地寫(xiě)成13÷5=2……5，這時(shí)余數(shù)5等于除數(shù)5，意味著剩下的5根還能再擺1個(gè)圖形，正確的商應(yīng)該是3，余數(shù)0（13÷5=3……-2？不，實(shí)際應(yīng)為13÷5=2……3，因?yàn)?×2=10，13-10=3，3<5）。反例驗(yàn)證：假設(shè)余數(shù)≥除數(shù)，如10÷3=2……4（余數(shù)4>除數(shù)3），這顯然不合理——剩下的4根還能再分1份（3根），所以正確的算式是10÷3=3……1（3×3=9，10-9=1，1<3）。因此，余數(shù)必須小于除數(shù)是除法的基本規(guī)則。3深層理解：余數(shù)是“分物的極限”從分物的本質(zhì)看，余數(shù)是“無(wú)法再形成完整一份”的最小剩余量。就像用杯子裝水，杯子容量是除數(shù)，總水量是被除數(shù)，倒?jié)M的杯數(shù)是商，剩下的不夠一杯的水量就是余數(shù)——剩下的水若夠一杯，就會(huì)被倒進(jìn)下一個(gè)杯子，所以余數(shù)必然小于杯子容量（除數(shù)）。03從數(shù)學(xué)符號(hào)到生活場(chǎng)景：余數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義再延伸1生活中的“余數(shù)問(wèn)題”：分物類問(wèn)題例1：25個(gè)蘋(píng)果，每6個(gè)裝1袋，能裝幾袋？還剩幾個(gè)？算式：25÷6=4（袋）……1（個(gè)）意義：裝4袋用了4×6=24個(gè)蘋(píng)果，剩下1個(gè)不夠再裝1袋，所以余數(shù)1表示剩余的蘋(píng)果數(shù)。例2：32名同學(xué)去劃船，每條船最多坐5人，至少需要幾條船？算式：32÷5=6（條）……2（人）意義：6條船坐滿30人，剩下2人還需要1條船，所以實(shí)際需要6+1=7條船。這里的余數(shù)2提示我們“需要多準(zhǔn)備1份”（進(jìn)一法）。例3：用20米布做衣服，每件衣服用3米布，最多能做幾件？算式：20÷3=6（件）……2（米）1生活中的“余數(shù)問(wèn)題”：分物類問(wèn)題意義：做6件用了18米布，剩下2米不夠做1件，所以最多做6件。這里的余數(shù)2提示我們“剩余部分不能再形成1份”（去尾法）。2周期現(xiàn)象中的“余數(shù)應(yīng)用”：時(shí)間與順序問(wèn)題關(guān)鍵提示：這里的余數(shù)表示“在完整周期后額外的天數(shù)”，余數(shù)是幾就往后數(shù)幾天（余數(shù)為0時(shí)對(duì)應(yīng)周期的最后一天）。分析：周期是7天（星期一到星期日），18÷7=2（周）……4（天）。生活中許多現(xiàn)象是周期性的，如一周7天、一年12個(gè)月，余數(shù)可以幫助我們快速定位周期中的位置。例4：今天是星期一，第18天是星期幾？意義：2周后還是星期一，余數(shù)4表示從星期一往后數(shù)4天（星期二、三、四、五），所以第18天是星期五。3數(shù)學(xué)內(nèi)部的“余數(shù)關(guān)聯(lián)”：除法驗(yàn)算與知識(shí)銜接01余數(shù)的存在讓除法算式有了更豐富的驗(yàn)算方式。例如：02對(duì)于算式17÷5=3……2，驗(yàn)算時(shí)可以用“商×除數(shù)+余數(shù)=被除數(shù)”（3×5+2=17），這驗(yàn)證了算式的正確性。03后續(xù)學(xué)習(xí)中，余數(shù)會(huì)幫助我們理解“帶余除法”的一般形式（被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，0≤余數(shù)<除數(shù)），這是數(shù)論中“同余”概念的基礎(chǔ)。04從零散認(rèn)知到系統(tǒng)建構(gòu)：余數(shù)意義的深度總結(jié)1余數(shù)的核心意義：分物后的“不完美剩余”余數(shù)是平均分物時(shí)，無(wú)法再形成完整一份的剩余量，它的存在反映了數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)分物的真實(shí)刻畫(huà)——生活中很少有“剛好分完”的情況，余數(shù)讓數(shù)學(xué)更貼近生活。2余數(shù)的關(guān)鍵規(guī)則：余數(shù)必須小于除數(shù)這一規(guī)則是除法運(yùn)算的“邊界”，確保了余數(shù)的唯一性和合理性。違反這一規(guī)則，意味著分物過(guò)程未完成，需要繼續(xù)分配。3余數(shù)的應(yīng)用價(jià)值：連接數(shù)學(xué)與生活的橋梁無(wú)論是分物時(shí)的“進(jìn)一”“去尾”，還是周期問(wèn)題中的“定位”，余數(shù)都在幫助我們用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題。它不僅是一個(gè)數(shù)字，更是一種“用數(shù)學(xué)眼光觀察生活”的思維工具。結(jié)語(yǔ)：同學(xué)們，今天我們沿著“分物—抽象—探究—應(yīng)用”的路徑，真正理解了余數(shù)