6.3.1平面向量基本定理（精練）

A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)

A夯實基礎

一、單選題

1.（2022?四川南充?統(tǒng)考一模）如圖,在AABC中，BD=4DC>則而=（）

|_

B.—AB+—AC

5555

1一5一5一1__

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

6666

【答案】A

—.—.—.—.4—-

【詳解】AD=AB+BD=AB+-BC

故選:A

2.（2022秋?上海普陀?高一曹楊二中?？计谀┰谒倪呅蜛BC。中，,若配=義南+〃磁九〃wR）,

則需一

且2+〃=3,

A.\

B.3c-TD.2

【答案】D

【詳解】

A

如圖，過C作CE//AD,又因為AB//CD.

所以四邊形AZX石是平行四邊形,

所以/=荏+病,

又因為m=義八月+〃八，*無〃€區(qū)），

所以〃=1,而=義布,

乂因為4+〃=3,所以4=2,

CD

所以荏=2而=反，所以布2.

故選:D.

3.（2022春?福建福州?高二福建省福州高級中學?？茧A段練習）如圖，在YA3co中，M為BC的中點,

AC=mAM+nBD^則m+"=()

4

A.1B.-cD.2

3i

【答案】C

【詳解】AM=AR+-BC=AB+-AD,而BD-AD-AB,

22

故AC=m

4

m-〃二1m=—

iiuumill35

而前=而+而「L/W.A。不共線，故｛/〃,=>=/〃+〃=一,

—+/!=113

2n=-

3

故選：C.

4.(2022秋?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學校考階段練習)在4人8C中，BD=2DC,E是AD上一點.若

CE=-CA+ACB,則2=()

2

1II1

A.-B.-C.-D.-

6243

【答案】A

【詳解】如圖所示，設荏=切而，

則CE=CA+AE=CA+mAD=CA+nt(Cb-CA)=CA+(gCH-C4)=(1-m)CA+/CB,

又「C療=，C4+/1圍，

2236

故選：A.

A

5.（2022春?安徽?高三校聯(lián)考階段練習）如圖，C。是以A3為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，E為

線段CO的中點，尸為線段座上靠近4的一個四等分點，設A岸“，AC=b，則而=（）

?IJ-17

D.—a+-b

84

【答案】C

【詳解】如圖，取A4的中點。，連接COAE,

因為C。是以48為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，

所以/CON=/DBA=y,AB//CD,所以CO//BD,所以四邊形COBD是平行四邊形，所以。。=08=：A8,

乂F為叱上靠近A的一個四等分點，

[[a]a

所以A戶=4口+8月=A月+-B￡=-4￡+24X=-（AC+Cg）+±4*

4444、>4

|一I-3一1__I一3-13-1-

=-AC+-CD+-AB=-AC+—AB+-AB=—a+-b.

164

故選:

___1______2___

6.（2022春?廣東高三校聯(lián)考階段練習）在平行四邊形A3CQ中，設死=￡,而=凡而=耳而，而=§麗,

則P0=（）

【答案】B

【詳解】因為衣=￡,而=九所以而=產(chǎn)-/,AD=^a+^b,

^VXPQ=AQ-AP=-AB--AD=-\-a--b---a+-b\=—a--b.

323U2J2U2J1212

故選:B

7.（2022春?福建泉州?高三泉州五中?？计谥校┮阎谥校珹H=3t47=4,^BAC=^,AD=2DB^

。在c。上，AP=1AC+AAD,則福.前的值為（）

117

A.----B.-C.4D.6

62

【答案】C

【詳解】??O，RC三點共線，...4+1=l,/i=L,?.阮=/一瓶，麗=1/福f,

2223

:.TP~BC=-AC2--ABAC--AB2=S-\-3=4

263

故選:C

8.3022?全國?高三專題練習）已知點A,B,C,P在同一平而內(nèi)，PQ=^PA,QR=^QB,RP=^RCt

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【答案】B

【詳解】由QR=g0萬可得：PR-PQ^PB-PQ）,

整理可得：PR=-PB+-PQ=--PA,

3339

由萍=2祕可得R戶=1（定一PR）,整理可得：PR=--PC,

332

II2-

所以一52仁=鼻尸后+石24,整理得：4再+6月月+9m=6，

乙D7

由奔馳定理可得：5收：S.PBC=（4+6+9）:4=19:4,

故選：B.

二、多選題

9.（2022秋?浙江?高二校聯(lián)考階段練習）已知菱形。ACB,4408=120°,動點P在折線AC,8C上運動（包

IJUUuuIILU

含端點），其中OP=xQ4+yOB，x，，eR，則"+）'的可能取值為（）

A.3B.2C.41D.j

【答案】BC

muIULUUr1

【詳解】當動點1在AC上時,OP=.Q+yO8，貝ijA=l,y￡[O,l],

所以x+ye[l,2],

IU.ULIUULUr1

當動點尸在8c上時，OP=.xOA+yOB>則y=1,XG[0,1],

所以八十），e[l,2],

綜上，尤+ye[1,2].

故選：BC,

10.（2022秋?江蘇無錫?高一江蘇省天一中學校考期中）對于給定的“8C,其外心為。，重心為G,垂心

為凡則下列結(jié)論正確的是（）

A.過點G的直線/交48、AC于E、F,若赤=2而，AF=juAC?則J+'=3

ABAC

B而與許TB?共線

uuiiuuuuutuuuiunun

C.OAOB=OAOC=OBOC

D.OH=OA+OB+OC

【答案】ABD

【詳解】解：對于A,設。C的中點為。，

則AC=2八萬=LA分+八6)=4廠)=-LAE+-L從廠,

333X//3A3〃

因為E,”，G二點共線，

則］+；=1，

323〃

所以;+^=3,故A正確.

A

H

D

對于B,（一:-----+———）BC

|A81cos8|A^|cosC

福BC-CBC

|Ai|cosB14clicosC

A*118cleos（乃一8）|AG|8「|COSC

IABIcosBIACIcosC

=-|SC|+|?C|=O,

A*AC

所以+^=------與--前垂直,

|甌cosBIAC|cosC

乂而

AB

則1----------b--------與而共線，故B正確:

IA81cos8|AC|cosC

對于C,7。月=方?反等價于C4?06-OC)=O，等價于3.己百=0,即O4_L3C,

對于一?般三角形而言，。是外心，Q4不一定與8c垂直，

比如直角三角形八8C中，若巴為直角頂點，則0為斜邊AC的中點，04與BC不垂直，故C錯誤;

對于D,因為(而+女)_L元：

AHBC=(OH-OA)-?C=0,(OB+0C)-BC=0；

兩式相減得(OH-OA-OB-OC)BC=Ox

同理(On-O/i-OQ-OC)?人C.=0：

OH-OA-OB-OC^0,則該向量同忖垂直于41、Ad,顯然不可能：

OH=OA+OB+OC故D正確；

故選：ABD

三、填空題

11.(2022春?安徽合肥?高二?？紝W業(yè)考試)在AABC中，點。在邊3c上，且麗=2覺，若而=4正+〃逝，

則2=—

【答案】2

【詳解】由的=2覺，得百方=18C；

則在“ABC中，AD=AB+BD加嚴2”-叫丁+產(chǎn)

八2

3

因A5=ZAd故，因此一=2.

I〃

故答案為：2.

12.（2022春?廣東肇慶?高三統(tǒng)考階段練習）在AABC中，點2￡分另!在8cAe上，且滿足反=2而，

反=2近，點尸在人。上，且滿足麗=2力.若/8=60°,EF=8設A8=x,BC=y,則3x+y的最

大值為.

【答案】18

【詳解】解：因為在AABC中，點D,E分別在3c，八C上，且滿足比=2肘5，比二2荏，

所以，RE是3cAe的三等分的點，分別靠近B,A點,

所以,==

SSr即礙輛

1

所以,FE=FD+DE=-AD+-BA=-(AB+BD]+-BA=-BA+-BC.

333、,339

所以9度=3A4+BC，

所以81庵、9明2+肥2+6麗?肥，81X3=9X2+/+3^

所以，81x3=9./+y2+3冷，=（34+>,）：-3肛>（3x+y）2-1=；，j=、（3x+，

所以3x+”18,當且僅當3x=y時等號成立.

所以,3x+y的最大值為大.

故答案為：18

四、解答題

13.（2022?高一課時練習）如圖所示，人。是△ABC的一條中線，點。滿足加=20萬，過點。的直線分別

與射線A”，射線AC交于"，N兩點.

（1）若加=之血+〃/，求心〃的值：

⑵設AM=〃iAB,AN=nAC>〃?>0,n>0,求的值；

mn

【答案】（1"=[〃=；：（2）3.

JJ

【詳解】（1）因而=2而，

2

所以配=§A力，

乂因。為BC的中點，

所以而=g（旃+沅），

所以A°=1A￡）=TA4+：AC,XAO—AAB+pAC?

333

所以4〃=:：

33

（2）因而=機而，AN=nACf〃?>0，〃>0，

所以A2=‘AM\AC=-^N,又因;40=1A9+,4二，

mn33

__1___1__

所以A0=—AM+—AN,

3m3〃

又因M,O,N三點共線，

所以「-+」-=l,即工+'=3.

3m3ntnn

一2______|一

14.（2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰贏A08中，NA04為直角，OC=-OA,OD-OB,

52

A。與8C相交于點M,OA=a,OB=b.

（1）試用仄I表示向量麗;

_rr23

⑵在線段AC上取一點E,在線段B。上取一點凡使得直線即過M，設近=23.齊求弓+一的

4P

值.

-----"3一

【答案】⑴0財=”+就

23

（2）彳+—=8o

（1）

???C\何、8二點共線，則麗7=不麗+（1-工）反=1麗+^（1一工）西，

又???。、M、A三點共線，則齒7=），而+（1-＞，）函=3），說+（1-y）麗，

1[3

工=二）'r=7

-----3—1—1-3-

「.OM=-OB+-OA=-a+-h.

8448

（2）

E、M、尸三點共線，則麗=〃?詼+（1-〃。南=4切兩+〃（1一〃?）礪

?1

Am=-

4室=8

,整理得:

"（一〃）=[%〃

B能力提升

15.（2022秋廣西玉林高一校聯(lián)考期中）如圖，在長方形A28中，E為邊。。的中點，F(xiàn)為邊8。上一

點，且布=§?設AB=GAO=8?

（1）試用基底W4，表示AE,EF；

__32T

（2）若G為長方形ABC。內(nèi)部一點，n.AG=^a+-b.求證：E,G,/三點共線.

ff[fT]T,T

【答案】（1）4石=〃+不。，歷=蓊-？；（2）證明見解析.

----]]-jr

【詳解】(1)由題可知：AE=AD+DE=AD+-DC=AD+-AB=b+-a,

222

———?1―.2—?I—~.2—■1-2一

EF=EC+CF=-AB+-CB=-AB一一AD=-a一一b

232323

一?2一一一1?

(2)AG=-a+-b,EG=AG-AE=-a--b,

4343

EF=-a--h=2EG,/.EF,EG共線，

23

且前，防有一公共點￡.

E,G,廠三點共線.

16.(2022秋?安徽合肥?高一合肥市第六中學校聯(lián)考期中)如圖，在中，點。在邊上，且|兇=2|0用.

過點。的直線分別交射線A8、射線4C于不同的兩點M,N,若八*=〃“U/，AC=nAN.

⑴求2，〃+〃的值:

(2)若向量1(2cos230,cos67。)，B=(cos68。,2cos22°),且5+;2(血+1)￡出恒成立，求實數(shù)1的最小整數(shù)

值.

【答案】⑴3

(2)2

⑴

因為|陽=2|沖，AB=mAM，AC=nAN^

所以A0=AA+BOM+=AB)=2AB+1AC=2"IAM+1〃AN

33、f3333

21

因為M.0.N共線，所以+2in+n=3

(2)

ab=2cos230cos680+2cos67°cos220

2cos230cos680+2sin230sin680=2(cos230cos680+sin23°sin68°)=2cos450=叵

顯然，＞0,所以

《丹氏股等價于宗卜⑼坪,

即小工"十評

因為工+1=:1[.2m〃1、，2K

—3d1>1H-v2,

mn33nm3

71.僅為="〃，即機=3-"=3也-3時,

取到最小值112萬一（拒+1）

皿〃3V3

干是(&+廠(a+M,

3-t

故，26-3人

故實數(shù)/的最小整數(shù)值是2.

C綜合素養(yǎng)

17.（2022秋?山東東營?高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)/（幻二百3皿但+火）（勿＞0,|0|＜￡）,，（二,0）是函數(shù)/。）圖

26

象上的一點，M,N是函數(shù)/"）圖象上一組相鄰的最高點和最低點，在X地上存在點。使得竹=麗+麗,

且四邊形PM7N的面積的最小值為2行.

⑴求函數(shù)八、）的解析式;

(2)若/(4)=亞，Ae(05)，求A；

it22

⑶已知=過點〃的直線交PM于點Q,交PN于點K,PQ=2PM,PK=pPN,問：+,是否

34〃

是定值？若是，求出定值，若不是，說明理由.

【答案】⑴/(x)=6sing-5

0

⑶是定值，7+—=3-

【詳解】（1）因為M,N是函數(shù)“X）圖象上一組相鄰的最高點和最低點，

故朋N的中點在x軸上，且為函數(shù)/（幻的一個零點，因為P7=PA/+W，

故四邊形PM7W為平行四邊形，

平行四邊形PM7N的面枳最小時，I叩I為一個周期長度，

平行四邊形PMTN的面枳S=\PT\M=2G,所以|/V|=7=2,

故一=2,解得。=兀.

（U

所以/（x）=x/3sin（7ti+^）,

土（7、“.（7冗）八兀冗2冗7兀5冗

j■"=73sin--+（p=0,—<（p<一,—<—+0<—,

⑺I62"236+3

所以7+9=九，8=-?,所以/（x）=