試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁西交大少年班第二次階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考試時間：100min

滿分100分1．若二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，，則.2．在中，、、分別是、、的對邊，且.則.3．在中，已知，，，為邊的中點，且與的平分線交于點.則的長為.4．已知10個兩兩互不相等的正整數(shù)滿足條件，，，，，.則的最小可能值為.5．如圖，已知直線與拋物線交于、兩點，點在直線上方的拋物線上運動.當?shù)拿娣e最大時，點的坐標為.

6．已知函數(shù).則的整數(shù)部分為.7．已知關(guān)于的方程有兩個實根.則的取值范圍是.8．已知直角三角形的兩條直角邊、及斜邊均為整數(shù)，且其內(nèi)切圓的半徑.則這樣的直角三角形有個.9．如圖，在中，已知是斜邊的中點，于點，于點.若、、的長都是有理數(shù)，則線段、、、中，長不一定是有理數(shù)的為.

10．設(shè)實數(shù)，，，，滿足，且任意兩數(shù)之和共10個數(shù)中最小的三個數(shù)是，最大的兩個數(shù)是.則.11．設(shè)由不超過1000的兩個正整數(shù)組成的數(shù)對滿足.求出所有這樣的數(shù)對的個數(shù).12．已知實數(shù)、、、滿足，.求的最大值和最小值.13．如圖，已知、分別與切于點、，過點的割線與交于、兩點，作與弦交于點，的延長線與交于點.證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】直接將二次函數(shù)與x軸的交點轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根，并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值可得結(jié)果.【詳解】由二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，，所以是方程，即的兩個根，所以，，且，即，所以，故答案為：.2．【分析】先化簡所求式子的形式，結(jié)合對應(yīng)的余弦定理結(jié)論，替換式子中的部分項，進而得到式子的結(jié)果.【詳解】，由，得，即.將代入分子，得分子與分母相等，故.故答案為：.3．【分析】由勾股定理可得為直角三角形，以為圓心，設(shè)為直徑作圓交直線于，連接，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可求的長.【詳解】因為，，，所以，所以為直角三角形，以為圓心，為直徑作圓交直線于，連接，，，∵，平分，∴，∵，∴，∴，所以點與點重合，因為為直徑，∴.故答案為：4．20【分析】根據(jù)條件可得，要使最小，需使取最小的不同正整數(shù)，且保證所有衍生出的數(shù)也互不相等，根據(jù)最小的正整數(shù)組合開始分別考慮，，，，……，逐一檢驗，直至發(fā)現(xiàn)時，的符合要求的組合即可.【詳解】因，則，（*），又，則，而，故，又，代入（*），可得.依題意，是兩兩互不相等的正整數(shù)，要使最小，需使取最小的不同正整數(shù)，且保證所有衍生出的數(shù)也互不相等.先嘗試最小的正整數(shù)組合（此時），如下表：組合檢驗①3124此時，與重復(fù)；②3214此時，與重復(fù).再嘗試組合（此時），如下表：組合檢驗①3125此時，與重復(fù)；②3215此時，與重復(fù)再嘗試組合（此時），如下表：組合檢驗①2134此時，與重復(fù)；②2314此時，與重復(fù).再嘗試組合（此時），如下表：組合檢驗①4126此時，，與重復(fù)；②4216此時，與重復(fù)；③2135此時，與重復(fù)；④2315此時，與重復(fù).再嘗試組合（此時），如下表：組合檢驗①2136此時，與重復(fù)；②2316此時，，，，，，符合題意.由上表可見，當依次為時，符合所有條件，且的值最小.故答案為：20.5．【分析】因為三角形的一邊的長度為定值，要使的面積最大，必有點到直線的距離最大，此時點既在拋物線上又在與直線平行的直線上，即直線與平行且與拋物線相切，所以設(shè)出直線的方程并用判別式等于0可得點的坐標.【詳解】由直線與拋物線交于、兩點，聯(lián)立方程，消去y，得，解得，當時，；當時，.所以，得.點在直線上方的拋物線上運動.當?shù)拿娣e最大時，點到直線的距離最大，此時點既在拋物線上又在與直線平行的直線上，即直線與平行且與拋物線相切，如圖：

設(shè)此條直線為，與拋物線聯(lián)立消去y得，，即，令，得，此時方程的根為，再代入得，，此時點為.故答案為：6．【分析】先證，進而得，利用等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以的整數(shù)部分為：，故答案為：.7．【分析】令，畫出其圖象，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】令，當時，，當，，當，，即，

方程有兩個實根，可轉(zhuǎn)換成的圖象和有兩個交點，由的圖象可知，，故答案為：8．3【分析】由，結(jié)合，得到，進而可求解.【詳解】因為直角三角形內(nèi)切圓的半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)可得：，又，所以，化簡可得：，因為、均為整數(shù)，所以或或，解得，則或，則或，則所以滿足條件的直角三角形有3個，故答案為：39．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可判斷為有理數(shù)，再利用相關(guān)垂直條件，證明三角形相似，可得、為有理數(shù)，進而由不能判斷其是否為有理數(shù).【詳解】因、、的長都是有理數(shù)，且是斜邊的中點，則都是有理數(shù)，于是，是有理數(shù)；因，，，易得，，則都是有理數(shù)，而不一定是有理數(shù).故答案為：.10．####【分析】由題意，用表示，并求出從而求得的值.【詳解】因為，且任意兩數(shù)之和共10個數(shù)中最小的三個數(shù)是，所以，所以.因為最大的兩個數(shù)是，所以，所以.因為，所以，所以.所以.故答案為：.11．【分析】由數(shù)對滿足，可得，由均是不超過1000的正整數(shù)可求得其取值范圍，從而求得滿足條件的數(shù)對的個數(shù).【詳解】由數(shù)對滿足，可得.當時，滿足條件的的個數(shù)為.記.因為，所以.當時，，所以或.記滿足條件的數(shù)對的個數(shù)為S，則.所以滿足條件的數(shù)對有個.12．最大值為，最小值為.【分析】設(shè)變量將用表示，結(jié)合已知條件推導(dǎo)的表達式，利用實數(shù)平方和的非負性建立不等式，求解不等式得到的取值范圍，進而得解.【詳解】設(shè)，則.由，得，代入、，得，故.因，展開得，又，代入得，