江西省撫州市臨川二中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.2．為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.2403．設(shè)P是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，若，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.5C.8 D.104．若x，y滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.55．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或6．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線(xiàn)的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.12．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，則______14．已知數(shù)列an滿(mǎn)足，則__________15．從雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，則線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.16．過(guò)點(diǎn)，且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，且過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)的直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試探究在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點(diǎn)（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線(xiàn)與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說(shuō)明理由21．（12分）已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn).（1）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且，求；（2）若平分線(xiàn)段，求直線(xiàn)的方程.22．（10分）某初中學(xué)校響應(yīng)“雙減政策”，積極探索減負(fù)增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時(shí)間．現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時(shí)間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計(jì)這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行“雙減政策”情況訪(fǎng)談，再?gòu)脑L(fǎng)談的學(xué)生中選取名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)跟蹤，求被選作成績(jī)跟蹤的名學(xué)生中，第三組和第五組各有名的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線(xiàn)的傾斜角求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：D.2、C【解析】結(jié)合排列組合的知識(shí)，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí)，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)有種，所以共有種排法.故選：C3、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得：，結(jié)合雙曲線(xiàn)的方程可得答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)可得根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得：故選：C4、C【解析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C5、D【解析】根據(jù)曲線(xiàn)方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)表示在軸上方的圖象，畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形上直線(xiàn)的三個(gè)特殊位置，當(dāng)已知直線(xiàn)位于直線(xiàn)位置時(shí)，把已知直線(xiàn)的解析式代入橢圓方程中，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；當(dāng)已知直線(xiàn)位于直線(xiàn)及直線(xiàn)的位置時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的的值，寫(xiě)出滿(mǎn)足題意得的范圍，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線(xiàn)，得到，解得：；，畫(huà)出曲線(xiàn)的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線(xiàn)在直線(xiàn)的位置時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)，把直線(xiàn)代入橢圓方程得：，得到，即，化簡(jiǎn)得：，解得或(舍去)，則時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)在直線(xiàn)位置時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)在直線(xiàn)位置時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，滿(mǎn)足題意得的范圍是或故選：D6、C【解析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)A，，為奇函數(shù)；對(duì)B，，為奇函數(shù)；對(duì)C，，為偶函數(shù)；對(duì)D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.7、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項(xiàng)A.故選：A.8、D【解析】雙曲線(xiàn)離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線(xiàn)，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線(xiàn)方程.故選：D.9、B【解析】實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，通過(guò)討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，求出切線(xiàn)方程根據(jù)平行直線(xiàn)距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的一部分，作出橢圓和雙曲線(xiàn)的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離范圍的2倍，雙曲線(xiàn)，其中一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，小于兩平行線(xiàn)與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€(xiàn)與直線(xiàn)的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離;（3）兩平行直線(xiàn)間的距離公式：兩條平行直線(xiàn)與間的距離.10、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.11、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線(xiàn)的方程為，到直線(xiàn)的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A12、C【解析】結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：14、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡(jiǎn)，將已知化為，代入可以上下相消化簡(jiǎn)，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：201915、.【解析】根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)P已知雙曲線(xiàn)上求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，即，因?yàn)?，則，即的軌跡方程為.16、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線(xiàn)段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，由線(xiàn)段的中點(diǎn)為圓心，其長(zhǎng)一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線(xiàn)段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線(xiàn)段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線(xiàn)段為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)a，b即可得解.(2)設(shè)出直線(xiàn)的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長(zhǎng)及點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線(xiàn)l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線(xiàn)l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.18、（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)出直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).小問(wèn)1詳解】，，由題可得：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時(shí)，即存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個(gè)常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件.19、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用公式，即可求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，且平面，所以，又因?yàn)榈酌鏁r(shí)菱形，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以，且，所以平面,又因?yàn)槠矫妫?；【小?wèn)2詳解】由（1）可知，平面，連結(jié)，因?yàn)?，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，所以,，，，，，所以,，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.20、（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長(zhǎng)求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算判定，由M為線(xiàn)段AB中點(diǎn)即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問(wèn)1詳解】因橢圓的短軸長(zhǎng)是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.21、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線(xiàn)的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線(xiàn)的斜率存在，因?yàn)?、在拋物線(xiàn)上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線(xiàn)的斜率為，此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即.22、（1）；這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程