2026屆天津市紅橋區(qū)高二上數(shù)學期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.2．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點間的距離不超過；③若是曲線上任意一點，則的最小值是其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A. B.C. D.3．如圖是一個程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.54．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.5．雙曲線的光學性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知三個觀測點，在的正北方向，相距，在的正東方向，相距.在某次爆炸點定位測試中，兩個觀測點同時聽到爆炸聲，觀測點晚聽到，已知聲速為，則爆炸點與觀測點的距離是（）A. B.C. D.8．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.111．若平面的一個法向量為，點，，，，到平面的距離為（）A.1 B.2C.3 D.412．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是個幾何體的展開圖，圖①是由個邊長為的正三角形組成；圖②是由四個邊長為的正三角形和一個邊長為的正方形組成；圖③是由個邊長為的正三角形組成；圖④是由個邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號）.14．命題“若，則二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）”的條件：_________，結(jié)論:_____________，它是_________命題（填“真”或“假”）.15．圓錐曲線有良好的光學性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發(fā)，經(jīng)過點F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.16．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）圓與軸的交點分別為，且與直線，都相切（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點滿足？若存在，求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知正項數(shù)列的首項為，且滿足，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和19．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，每臺機器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修，都產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？20．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將關(guān)注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.（1）若，，相交于一點，求的值；（2）若，，不能圍成一個三角形，求的值：（3）若，，能圍成一個直角三角形，求的值.22．（10分）各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因為“存在，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個充分不必要條件是.故選：B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.2、C【解析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯誤；因為到直線的距離為，所以，當最小時，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因為曲線的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.3、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復計算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】初始值：，當時，，進入循環(huán)；當時，，進入循環(huán)；當時，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B4、B【解析】根據(jù)二項式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B5、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C6、D【解析】根據(jù)長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.7、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，然后結(jié)合余弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)爆炸點為，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點位于的垂直平分線上，又在的正東方向且觀測點晚聽到，則點位于的左側(cè)，，,，設(shè)，則，解得，則爆炸點與觀測點的距離為，故選：D.8、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應(yīng)滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：A9、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D10、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項為，然后根據(jù)條件可解出，進而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項為由，可得：又，則有：則故選：A11、B【解析】求出，點A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果【詳解】解：，，，，∴為平面的一條斜線，且∴點到平面的距離：故選：B.12、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數(shù)為，由，當時，，方程無解；當時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四面體，該正四面體可放入一個正方體中，且正方體的棱長為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長為的正八面體，該正八面體可由兩個共底面，且棱長均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.14、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因為，二元一次不等式所表示的區(qū)域如下圖所示：所以在的條件下，二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界），此命題是真命題.故答案為：；二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）；真15、【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：16、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或【解析】（1）由題意，設(shè)圓心，由圓與兩直線相切，可得圓心到兩直線的距離都等于圓的半徑，進而可求，然后求出半徑即可得答案；（2）假設(shè)圓上存在點滿足，利用向量數(shù)量積的坐標運算化簡，再聯(lián)立圓的方程即可求解.【小問1詳解】解：因為圓與軸的交點分別為，，所以圓心在弦的垂直平分線上，設(shè)圓心，又圓與直線，都相切，所以，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】解：假設(shè)圓上存在點滿足，則，即①，又，即②，聯(lián)立①②可得或，所以存在點或滿足.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由遞推關(guān)系式化簡及等比數(shù)列的的定義證明即可；（2）根據(jù)裂項相消法求解即可得解.【小問1詳解】證明：由得，而且，則，即數(shù)列為首項，公比為的等比數(shù)列【小問2詳解】由上可知，所以，19、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大20、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有