平面分段光滑三次微分系統(tǒng)極限環(huán)的深入剖析與比較研究一、引言1.1研究背景1.1.1微分系統(tǒng)極限環(huán)研究的重要性在實(shí)平面微分系統(tǒng)的定性理論中，極限環(huán)的研究占據(jù)著核心地位，具有極其重要的理論價(jià)值。極限環(huán)作為微分系統(tǒng)中一種特殊的孤立周期解，其存在性、穩(wěn)定性、分布情況以及個(gè)數(shù)等問題的探究，為深入理解動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的行為和性質(zhì)提供了關(guān)鍵線索。從理論角度來看，極限環(huán)的研究與動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔理論等密切相關(guān)。例如，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，極限環(huán)可能會(huì)通過分岔的方式產(chǎn)生或消失，這種現(xiàn)象揭示了系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的不同動(dòng)力學(xué)行為，有助于我們從本質(zhì)上把握動(dòng)力系統(tǒng)的演化規(guī)律。在著名的Hopf分岔理論中，當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)經(jīng)過某個(gè)臨界值時(shí)，原本穩(wěn)定的平衡點(diǎn)會(huì)失去穩(wěn)定性，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，這一理論在化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)、生物系統(tǒng)等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用方面，極限環(huán)的研究成果也具有重要的指導(dǎo)意義。在物理領(lǐng)域，許多振動(dòng)現(xiàn)象都可以用具有極限環(huán)的微分系統(tǒng)來描述。如在電子電路中，某些振蕩電路的輸出信號(hào)可以看作是一個(gè)極限環(huán)，通過對(duì)極限環(huán)的研究，可以優(yōu)化電路設(shè)計(jì)，提高電路的性能和穩(wěn)定性。在生物學(xué)中，生物種群的周期性變化也可能與極限環(huán)有關(guān)，研究極限環(huán)有助于我們更好地理解生態(tài)系統(tǒng)的平衡和演化。1.1.2平面分段光滑三次微分系統(tǒng)的應(yīng)用背景平面分段光滑三次微分系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的背景，尤其在機(jī)械學(xué)、電子工程理論和自動(dòng)控制理論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。在機(jī)械學(xué)中，許多機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用分段光滑三次微分系統(tǒng)來描述。例如，一些具有間隙、碰撞或摩擦的機(jī)械系統(tǒng)，由于其在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的力學(xué)特性不同，導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)方程呈現(xiàn)分段光滑的特點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)機(jī)械部件在運(yùn)動(dòng)過程中與其他部件發(fā)生碰撞時(shí)，碰撞前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生突變，這種突變可以通過分段光滑的微分方程來準(zhǔn)確刻畫。研究這類系統(tǒng)的極限環(huán)，可以幫助我們預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)特性，優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，減少機(jī)械故障的發(fā)生。在電子工程理論中，平面分段光滑三次微分系統(tǒng)常用于描述一些非線性電路的行為。如在一些含有二極管、三極管等非線性元件的電路中，由于這些元件的伏安特性是非線性的，且在不同工作區(qū)域具有不同的特性，使得電路的狀態(tài)方程表現(xiàn)為分段光滑的形式。通過對(duì)這類系統(tǒng)極限環(huán)的研究，可以深入了解電路的振蕩特性，設(shè)計(jì)出性能更加優(yōu)良的電子器件和電路系統(tǒng)。在自動(dòng)控制理論中，許多控制系統(tǒng)也涉及到分段光滑三次微分系統(tǒng)。例如，一些具有切換控制策略的系統(tǒng)，在不同的控制模式下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程會(huì)發(fā)生變化，從而形成分段光滑的微分系統(tǒng)。研究這類系統(tǒng)的極限環(huán)，對(duì)于優(yōu)化控制策略，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性具有重要意義。在機(jī)器人控制中，當(dāng)機(jī)器人在不同的工作環(huán)境或執(zhí)行不同的任務(wù)時(shí)，需要切換不同的控制模式，通過研究分段光滑微分系統(tǒng)的極限環(huán)，可以確保機(jī)器人在不同控制模式下的平穩(wěn)運(yùn)行和準(zhǔn)確控制。1.2研究目的與意義1.2.1目的本研究旨在深入探究?jī)深惼矫娣侄喂饣挝⒎窒到y(tǒng)極限環(huán)的相關(guān)性質(zhì)。具體而言，首要目標(biāo)是確定這兩類系統(tǒng)中極限環(huán)的個(gè)數(shù)。通過運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法和理論，如一階平均法、定性理論以及相圖分析等，精確地估計(jì)出從系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)周期環(huán)域中至少可以分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。在研究具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)時(shí)，借助一階平均法，仔細(xì)分析系統(tǒng)在小擾動(dòng)下的變化情況，從而得出該系統(tǒng)至少能產(chǎn)生的極限環(huán)個(gè)數(shù)。穩(wěn)定性也是研究的重點(diǎn)之一。深入分析極限環(huán)的穩(wěn)定性，對(duì)于理解系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為和動(dòng)力學(xué)特性至關(guān)重要。穩(wěn)定的極限環(huán)意味著系統(tǒng)在一定條件下會(huì)保持周期性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而不穩(wěn)定的極限環(huán)則可能導(dǎo)致系統(tǒng)行為的突變或混沌。通過研究極限環(huán)的穩(wěn)定性，可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，為實(shí)際應(yīng)用提供重要的理論依據(jù)。在自動(dòng)控制理論中，了解控制系統(tǒng)中極限環(huán)的穩(wěn)定性，可以幫助工程師設(shè)計(jì)出更加穩(wěn)定可靠的控制系統(tǒng)，避免系統(tǒng)出現(xiàn)失控或振蕩等不良現(xiàn)象。分布情況同樣不容忽視。明確極限環(huán)在相平面內(nèi)的分布規(guī)律，有助于全面掌握系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。不同區(qū)域的極限環(huán)可能對(duì)系統(tǒng)的整體性能產(chǎn)生不同的影響，因此研究其分布情況可以為系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。在電子電路中，了解極限環(huán)在電路參數(shù)空間中的分布，可以幫助工程師選擇合適的電路參數(shù)，使電路工作在理想的狀態(tài)。1.2.2理論意義從理論層面來看，本研究對(duì)完善微分系統(tǒng)理論體系具有重要意義。長(zhǎng)期以來，光滑微分系統(tǒng)的極限環(huán)研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，但分段光滑微分系統(tǒng)由于其自身的復(fù)雜性，相關(guān)研究仍存在許多空白和挑戰(zhàn)。本研究致力于將極限環(huán)的研究從光滑系統(tǒng)拓展到分段光滑系統(tǒng)，填補(bǔ)了這一領(lǐng)域的部分理論空白，為微分系統(tǒng)理論的發(fā)展做出了積極貢獻(xiàn)。具體而言，通過對(duì)兩類平面分段光滑三次微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究，揭示了分段光滑系統(tǒng)中極限環(huán)的獨(dú)特性質(zhì)和生成機(jī)制。這不僅豐富了極限環(huán)理論的內(nèi)涵，還為進(jìn)一步研究更復(fù)雜的分段光滑系統(tǒng)提供了有益的參考和借鑒。在研究過程中發(fā)現(xiàn)的一些新的現(xiàn)象和規(guī)律，如極限環(huán)在不同區(qū)域的分岔行為、與不變曲線的相互作用等，都為微分系統(tǒng)理論的發(fā)展注入了新的活力。此外，本研究的成果也有助于加深對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的理解。分段光滑系統(tǒng)作為一類特殊的動(dòng)力系統(tǒng)，其極限環(huán)的研究涉及到多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)，如數(shù)學(xué)分析、微分方程、拓?fù)鋵W(xué)等。通過綜合運(yùn)用這些知識(shí)，揭示了分段光滑系統(tǒng)中極限環(huán)的奧秘，進(jìn)一步拓展了我們對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的認(rèn)識(shí)邊界。這對(duì)于推動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)理論的整體發(fā)展具有重要的推動(dòng)作用。1.2.3實(shí)際意義在實(shí)際應(yīng)用中，本研究的成果具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，能夠?yàn)槎鄠€(gè)工程技術(shù)領(lǐng)域的系統(tǒng)設(shè)計(jì)、優(yōu)化和穩(wěn)定性控制提供有力的理論支持。在機(jī)械工程領(lǐng)域，許多機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可以用分段光滑三次微分系統(tǒng)來描述。通過研究這類系統(tǒng)的極限環(huán)，可以有效地預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)特性。在設(shè)計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)時(shí)，工程師可以根據(jù)極限環(huán)的相關(guān)理論，優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，避免系統(tǒng)出現(xiàn)共振等有害的振動(dòng)現(xiàn)象，從而提高機(jī)械系統(tǒng)的可靠性和使用壽命。在汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)中，通過研究發(fā)動(dòng)機(jī)活塞運(yùn)動(dòng)的分段光滑微分系統(tǒng)極限環(huán)，可以優(yōu)化活塞的運(yùn)動(dòng)軌跡，減少發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)和噪聲，提高發(fā)動(dòng)機(jī)的性能和效率。在電子工程中，對(duì)于含有非線性元件的電路系統(tǒng)，本研究的成果可以幫助工程師深入了解電路的振蕩特性。通過分析極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性和分布情況，工程師可以設(shè)計(jì)出性能更加優(yōu)良的電子器件和電路系統(tǒng)。在射頻電路設(shè)計(jì)中，利用極限環(huán)理論可以優(yōu)化電路的參數(shù)，使電路產(chǎn)生穩(wěn)定的高頻振蕩信號(hào)，提高射頻電路的性能和穩(wěn)定性。在自動(dòng)控制領(lǐng)域，對(duì)于具有切換控制策略的系統(tǒng)，本研究的成果有助于優(yōu)化控制策略，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制中，機(jī)器人在不同的工作任務(wù)和環(huán)境下需要切換不同的控制模式，通過研究分段光滑微分系統(tǒng)的極限環(huán)，可以確保機(jī)器人在不同控制模式下的平穩(wěn)過渡和準(zhǔn)確控制，提高機(jī)器人的工作效率和精度。1.3國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.3.1光滑微分系統(tǒng)極限環(huán)研究進(jìn)展光滑微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，眾多杰出的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家在這一領(lǐng)域留下了深刻的印記，取得了一系列經(jīng)典而重要的成果，為后續(xù)的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。早在19世紀(jì)末，龐加萊（Poincaré）就開創(chuàng)性地提出了定性方法，這一方法猶如一把鑰匙，開啟了研究微分方程解的定性性質(zhì)的大門。龐加萊通過引入相空間的概念，將相軌線視為系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的軌跡，從而能夠直觀地研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。他證明了在一定條件下，平面自治系統(tǒng)的閉軌（包括極限環(huán)）與奇點(diǎn)之間存在著密切的聯(lián)系，為極限環(huán)的研究提供了重要的理論框架。在研究平面二次微分系統(tǒng)時(shí)，龐加萊通過對(duì)奇點(diǎn)的分析和相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)研究，揭示了極限環(huán)與奇點(diǎn)之間的相互作用關(guān)系，為后續(xù)學(xué)者研究極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性提供了重要的思路。20世紀(jì)初，李亞普諾夫（Lyapunov）提出了穩(wěn)定性理論，這一理論在極限環(huán)研究中具有舉足輕重的地位。李亞普諾夫通過構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，給出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般方法。對(duì)于極限環(huán)而言，李亞普諾夫函數(shù)可以用來判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性，即如果在極限環(huán)附近存在一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)，使得沿著相軌線的方向函數(shù)值單調(diào)遞減（或遞增），那么極限環(huán)就是穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的。這一理論為極限環(huán)穩(wěn)定性的研究提供了強(qiáng)大的工具，使得學(xué)者們能夠更加深入地理解極限環(huán)的動(dòng)力學(xué)特性。隨著時(shí)間的推移，學(xué)者們?cè)诠饣⒎窒到y(tǒng)極限環(huán)的研究上不斷取得新的突破。在極限環(huán)的存在性證明方面，逐漸發(fā)展出了多種方法，如龐加萊-本迪克松（Poincaré-Bendixson）定理，該定理給出了平面自治系統(tǒng)存在極限環(huán)的充分條件，為極限環(huán)存在性的研究提供了重要的理論依據(jù)。在研究某些具有特定形式的微分系統(tǒng)時(shí)，通過驗(yàn)證系統(tǒng)是否滿足龐加萊-本迪克松定理的條件，就可以判斷極限環(huán)的存在性。此外，旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)理論、分支理論等也在極限環(huán)的研究中得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)現(xiàn)新的極限環(huán)和揭示極限環(huán)的產(chǎn)生機(jī)制提供了有力的手段。在極限環(huán)的個(gè)數(shù)研究方面，雖然取得了一些成果，但仍然面臨著巨大的挑戰(zhàn)。著名的希爾伯特第十六問題的后半部分就涉及到平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界估計(jì)問題，這一問題至今尚未完全解決。多年來，學(xué)者們針對(duì)不同類型的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)進(jìn)行了深入研究，如二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)、三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)等，通過各種方法和技巧，不斷嘗試提高對(duì)極限環(huán)個(gè)數(shù)上界的估計(jì)精度。雖然取得了一些階段性的成果，但距離完全解決希爾伯特第十六問題仍有很長(zhǎng)的路要走。在穩(wěn)定性分析方面，除了李亞普諾夫穩(wěn)定性理論外，還發(fā)展了許多其他的方法和理論，如漸近穩(wěn)定性理論、指數(shù)穩(wěn)定性理論等。這些理論從不同的角度對(duì)極限環(huán)的穩(wěn)定性進(jìn)行了刻畫，使得我們對(duì)極限環(huán)穩(wěn)定性的理解更加全面和深入。在研究一些實(shí)際應(yīng)用中的微分系統(tǒng)時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)選擇合適的穩(wěn)定性理論進(jìn)行分析，可以更好地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為和性能。1.3.2分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)研究現(xiàn)狀近年來，分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究逐漸成為數(shù)學(xué)和動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)方向，吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。與光滑微分系統(tǒng)相比，分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)由于其自身的復(fù)雜性，在極限環(huán)的研究上存在著諸多難點(diǎn)，同時(shí)也蘊(yùn)含著許多新的研究方向和突破點(diǎn)。從研究方法來看，目前已經(jīng)發(fā)展了多種適用于分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)研究的方法。不連續(xù)系統(tǒng)的平均法是其中一種重要的方法，該方法通過對(duì)系統(tǒng)在不同光滑區(qū)域的行為進(jìn)行平均化處理，將分段光滑系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為近似的連續(xù)系統(tǒng)，從而可以利用連續(xù)系統(tǒng)的相關(guān)理論和方法來研究極限環(huán)的分支問題。在研究具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)時(shí)，利用不連續(xù)系統(tǒng)的平均法，可以有效地估計(jì)出從該系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)周期環(huán)域中至少可以分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。龐加萊映射也是研究分段光滑系統(tǒng)極限環(huán)的常用方法之一。通過建立恰當(dāng)?shù)凝嫾尤R映射，可以將分段光滑系統(tǒng)的極限環(huán)問題轉(zhuǎn)化為映射的不動(dòng)點(diǎn)問題，從而利用映射的性質(zhì)來研究極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性和個(gè)數(shù)等問題。在一類分段光滑微分系統(tǒng)中，通過建立左、右龐加萊映射，并分析其性質(zhì)，深入研究了該系統(tǒng)在不同奇點(diǎn)類型下的動(dòng)力學(xué)行為，包括極限環(huán)的存在性和個(gè)數(shù)等。從研究成果來看，學(xué)者們?cè)诜侄喂饣囗?xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性、分布情況以及個(gè)數(shù)等方面都取得了一定的進(jìn)展。在存在性方面，通過運(yùn)用各種理論和方法，已經(jīng)證明了在一些特定條件下，分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)中極限環(huán)的存在。在一類具有尖點(diǎn)和冪零鞍點(diǎn)的廣義異宿環(huán)的分段三次多項(xiàng)式系統(tǒng)中，通過擾動(dòng)該系統(tǒng)，利用定性理論和一階Melnikov函數(shù)等方法，得到了至少3n-1個(gè)極限環(huán)的存在性。在穩(wěn)定性研究方面，也取得了一些重要成果。學(xué)者們通過分析分段光滑系統(tǒng)在極限環(huán)附近的動(dòng)力學(xué)行為，利用李亞普諾夫函數(shù)等工具，對(duì)極限環(huán)的穩(wěn)定性進(jìn)行了判斷和分類。在某些分段光滑系統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)了極限環(huán)的穩(wěn)定性會(huì)隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而發(fā)生改變，這種現(xiàn)象為進(jìn)一步理解分段光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性提供了重要線索。在分布情況和個(gè)數(shù)研究方面，雖然取得的成果相對(duì)較少，但也有一些學(xué)者進(jìn)行了有益的探索。通過數(shù)值模擬和理論分析相結(jié)合的方法，對(duì)一些分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)中極限環(huán)的分布情況進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)極限環(huán)在相平面內(nèi)的分布具有一定的規(guī)律性，且與系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究上，針對(duì)一些特殊類型的分段光滑系統(tǒng)，通過改進(jìn)的方法和技巧，得到了比以往更精確的極限環(huán)個(gè)數(shù)估計(jì)。然而，從光滑微分系統(tǒng)到分段光滑系統(tǒng)的研究過渡中，仍然存在著許多難點(diǎn)。分段光滑系統(tǒng)中存在著不連續(xù)面，這使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的光滑系統(tǒng)理論和方法難以直接應(yīng)用。不連續(xù)面的存在可能導(dǎo)致相軌線在穿越不連續(xù)面時(shí)發(fā)生跳躍或滑動(dòng)，這種非光滑的行為增加了研究的難度。由于分段光滑系統(tǒng)的復(fù)雜性，目前還缺乏統(tǒng)一的理論和方法來全面研究其極限環(huán)的各種性質(zhì)，不同的研究方法往往只能適用于特定類型的分段光滑系統(tǒng)，這限制了研究的廣度和深度。未來，分段光滑多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究有望在以下幾個(gè)方向取得突破。一是進(jìn)一步發(fā)展和完善適用于分段光滑系統(tǒng)的理論和方法，探索建立統(tǒng)一的研究框架，以更好地處理不連續(xù)面帶來的問題。二是加強(qiáng)對(duì)高維分段光滑系統(tǒng)極限環(huán)的研究，目前的研究主要集中在平面分段光滑系統(tǒng)，而高維系統(tǒng)具有更豐富的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)其極限環(huán)的研究將有助于拓展我們對(duì)分段光滑系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。三是結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，深入研究分段光滑系統(tǒng)極限環(huán)在機(jī)械工程、電子工程、自動(dòng)控制等領(lǐng)域中的應(yīng)用，為解決實(shí)際問題提供更有力的理論支持。1.4研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)1.4.1研究方法在本研究中，我們綜合運(yùn)用了多種研究方法，以深入探究?jī)深惼矫娣侄喂饣挝⒎窒到y(tǒng)極限環(huán)的相關(guān)性質(zhì)。不連續(xù)系統(tǒng)平均法是我們研究的重要工具之一。由于分段光滑三次微分系統(tǒng)存在不連續(xù)面，傳統(tǒng)的光滑系統(tǒng)理論難以直接應(yīng)用。不連續(xù)系統(tǒng)平均法通過對(duì)系統(tǒng)在不同光滑區(qū)域的行為進(jìn)行平均化處理，將復(fù)雜的分段光滑系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為近似的連續(xù)系統(tǒng)。在研究具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)時(shí)，利用該方法，我們可以將系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行整合和平均，從而得到一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)潔的平均化方程。這個(gè)平均化方程能夠反映系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)趨勢(shì)，使得我們可以利用連續(xù)系統(tǒng)的相關(guān)理論和方法來研究極限環(huán)的分支問題，進(jìn)而估計(jì)出從該系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)周期環(huán)域中至少可以分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。一階平均法也是本研究的關(guān)鍵方法。對(duì)于受小擾動(dòng)的分段光滑三次微分系統(tǒng)，一階平均法通過對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行一階近似處理，將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為便于分析的形式。在具體應(yīng)用中，我們首先確定未擾系統(tǒng)的周期環(huán)域，然后分析擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響。通過計(jì)算一階平均函數(shù)，我們可以得到關(guān)于極限環(huán)分支的重要信息。在研究具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)時(shí)，利用一階平均法，我們?cè)敿?xì)分析了擾動(dòng)下系統(tǒng)的變化情況，通過精確計(jì)算一階平均函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)，獲得了從該系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)周期環(huán)域中至少可以分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù)。定性理論在本研究中發(fā)揮了基礎(chǔ)性的作用。我們通過對(duì)系統(tǒng)的奇點(diǎn)、相軌線等基本要素的分析，深入了解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。通過研究奇點(diǎn)的類型（如鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)等）及其穩(wěn)定性，我們可以判斷系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。對(duì)相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可以幫助我們了解系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)形態(tài)，包括是否存在閉軌、極限環(huán)等。在研究過程中，我們結(jié)合定性理論的相關(guān)知識(shí)，對(duì)不連續(xù)系統(tǒng)平均法和一階平均法得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和補(bǔ)充，確保研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。相圖分析是一種直觀有效的研究方法。我們通過繪制系統(tǒng)的相圖，將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為以圖形的形式展現(xiàn)出來。在相圖中，我們可以清晰地看到奇點(diǎn)、相軌線以及極限環(huán)的分布情況。通過對(duì)相圖的觀察和分析，我們可以直觀地了解系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的一些重要特征和規(guī)律。在研究過程中，我們根據(jù)不同的參數(shù)取值，繪制了多幅相圖，并對(duì)這些相圖進(jìn)行了細(xì)致的對(duì)比和分析，從而為理論分析提供了有力的支持。1.4.2創(chuàng)新點(diǎn)本研究在多個(gè)方面展現(xiàn)出創(chuàng)新之處，為平面分段光滑三次微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究提供了新的視角和方法。在研究視角上，本研究聚焦于兩類具有特殊結(jié)構(gòu)的平面分段光滑三次微分系統(tǒng)，即具有分段二次不變曲線和具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)。以往的研究大多關(guān)注一般形式的分段光滑系統(tǒng)，對(duì)具有特定不變曲線結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)研究相對(duì)較少。我們選擇這兩類特殊系統(tǒng)進(jìn)行深入研究，填補(bǔ)了該領(lǐng)域在這方面的研究空白，有助于揭示分段光滑系統(tǒng)中極限環(huán)與不變曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓展了我們對(duì)分段光滑系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的認(rèn)識(shí)。在方法運(yùn)用上，我們創(chuàng)新性地將不連續(xù)系統(tǒng)平均法與一階平均法相結(jié)合，并充分結(jié)合定性理論和相圖分析進(jìn)行研究。不連續(xù)系統(tǒng)平均法和一階平均法在分段光滑系統(tǒng)極限環(huán)研究中都有各自的優(yōu)勢(shì)，但以往的研究往往單獨(dú)使用其中一種方法。我們將這兩種方法有機(jī)結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，通過不連續(xù)系統(tǒng)平均法將分段光滑系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為近似連續(xù)系統(tǒng)，再利用一階平均法對(duì)受小擾動(dòng)的系統(tǒng)進(jìn)行分析，從而更全面、準(zhǔn)確地研究極限環(huán)的分支問題。同時(shí)，我們將定性理論和相圖分析貫穿于整個(gè)研究過程，為理論分析提供直觀的支持和驗(yàn)證，這種多方法融合的研究方式在同類研究中具有創(chuàng)新性。在研究結(jié)果上，本研究取得了具有重要價(jià)值的成果。通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治龊途_的計(jì)算，我們成功地估計(jì)出了從兩類系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)周期環(huán)域中至少可以分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。這些結(jié)果不僅豐富了平面分段光滑三次微分系統(tǒng)極限環(huán)的研究成果，而且為后續(xù)相關(guān)研究提供了重要的參考和借鑒。我們的研究結(jié)果還揭示了分段光滑系統(tǒng)中極限環(huán)的一些新的性質(zhì)和規(guī)律，如極限環(huán)在不同區(qū)域的分岔行為、與不變曲線的相互作用對(duì)極限環(huán)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性的影響等，這些新發(fā)現(xiàn)為進(jìn)一步深入研究分段光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性奠定了基礎(chǔ)。二、平面分段光滑三次微分系統(tǒng)的基本理論2.1平面微分系統(tǒng)概述2.1.1光滑微分系統(tǒng)的定義與基本性質(zhì)在平面上，光滑微分系統(tǒng)通?？梢员硎緸槿缦滦问降囊浑A常微分方程組：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}其中，P(x,y)和Q(x,y)是關(guān)于變量x和y的實(shí)值函數(shù)，并且在其定義域內(nèi)具有足夠高階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，一般要求具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，即P(x,y),Q(x,y)\inC^1(D)，D\subseteqR^2為系統(tǒng)的定義域。奇點(diǎn)是光滑微分系統(tǒng)中的一個(gè)重要概念，它是指滿足P(x,y)=0且Q(x,y)=0的點(diǎn)(x_0,y_0)。奇點(diǎn)在系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為中起著關(guān)鍵作用，根據(jù)奇點(diǎn)附近線性化系統(tǒng)的特征值，可以對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行分類。當(dāng)線性化系統(tǒng)的特征值實(shí)部均為負(fù)時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，這意味著在奇點(diǎn)附近，相軌線會(huì)逐漸趨近于該奇點(diǎn)，系統(tǒng)的狀態(tài)最終會(huì)穩(wěn)定在該點(diǎn)；若特征值實(shí)部均為正，則為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，相軌線會(huì)遠(yuǎn)離奇點(diǎn)，系統(tǒng)狀態(tài)在該點(diǎn)附近不穩(wěn)定；當(dāng)特征值實(shí)部一正一負(fù)時(shí)，奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)附近的相軌線呈現(xiàn)出馬鞍狀的分布，有兩條相軌線趨近于鞍點(diǎn)，稱為穩(wěn)定流形，另外兩條相軌線遠(yuǎn)離鞍點(diǎn)，稱為不穩(wěn)定流形；若特征值為純虛數(shù)，則奇點(diǎn)為中心，在中心附近，相軌線是以中心為圓心的一族閉曲線，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；而當(dāng)特征值具有非零實(shí)部和虛部時(shí)，奇點(diǎn)為焦點(diǎn)，根據(jù)實(shí)部的正負(fù)，可分為穩(wěn)定焦點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn)，穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引相軌線，不穩(wěn)定焦點(diǎn)排斥相軌線。軌線是光滑微分系統(tǒng)的另一個(gè)重要概念，它是指滿足微分方程組的解曲線。對(duì)于給定的初始條件(x_0,y_0)，通過求解微分方程組，可以得到一條唯一的軌線\varphi(t;x_0,y_0)，它描述了系統(tǒng)在相平面上隨時(shí)間t的演化過程。軌線具有一些重要的性質(zhì)，如唯一性，即在給定的初始條件下，軌線是唯一確定的；連續(xù)性，軌線是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)；以及對(duì)初始條件的連續(xù)依賴性，即當(dāng)初始條件發(fā)生微小變化時(shí)，軌線也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生微小變化。閉軌是一種特殊的軌線，它是指自身封閉的軌線，即存在T>0，使得\varphi(t+T;x_0,y_0)=\varphi(t;x_0,y_0)對(duì)所有t成立，其中T稱為閉軌的周期。極限環(huán)則是一種特殊的閉軌，它是孤立的閉軌，即存在一個(gè)鄰域，在該鄰域內(nèi)除了極限環(huán)本身外，不存在其他閉軌。極限環(huán)在光滑微分系統(tǒng)中具有重要的意義，它與系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔等動(dòng)力學(xué)行為密切相關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，極限環(huán)可能會(huì)通過分岔的方式產(chǎn)生或消失，這種現(xiàn)象揭示了系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的不同動(dòng)力學(xué)行為。2.1.2分段光滑微分系統(tǒng)的定義與特點(diǎn)分段光滑微分系統(tǒng)是指在相平面上，系統(tǒng)的微分方程在不同的區(qū)域上具有不同的表達(dá)式，且這些區(qū)域之間通過不連續(xù)面分隔開來。一般地，分段光滑微分系統(tǒng)可以表示為：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P_1(x,y),&(x,y)\inD_1\\\frac{dy}{dt}=Q_1(x,y),&(x,y)\inD_1\\\frac{dx}{dt}=P_2(x,y),&(x,y)\inD_2\\\frac{dy}{dt}=Q_2(x,y),&(x,y)\inD_2\\\cdots\\\frac{dx}{dt}=P_n(x,y),&(x,y)\inD_n\\\frac{dy}{dt}=Q_n(x,y),&(x,y)\inD_n\end{cases}其中，D_1,D_2,\cdots,D_n是相平面上互不相交的區(qū)域，它們的并集覆蓋了系統(tǒng)的定義域，且在區(qū)域的邊界上，P_i(x,y)和Q_i(x,y)可能存在不連續(xù)性。與光滑微分系統(tǒng)相比，分段光滑微分系統(tǒng)具有一些獨(dú)特的性質(zhì)。分段光滑微分系統(tǒng)存在不連續(xù)面，這使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加復(fù)雜。當(dāng)相軌線穿越不連續(xù)面時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)跳躍、滑動(dòng)等非光滑現(xiàn)象。在具有間隙的機(jī)械系統(tǒng)中，當(dāng)機(jī)械部件運(yùn)動(dòng)到間隙邊界時(shí)，由于力的突變，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程會(huì)發(fā)生改變，相軌線會(huì)在不連續(xù)面上發(fā)生跳躍，這種跳躍現(xiàn)象增加了系統(tǒng)行為的不確定性和分析的難度。分段光滑微分系統(tǒng)的極限環(huán)也具有一些特殊的性質(zhì)。由于不連續(xù)面的存在，極限環(huán)的產(chǎn)生和消失機(jī)制可能與光滑系統(tǒng)不同。在某些分段光滑系統(tǒng)中，極限環(huán)可能通過與不連續(xù)面的相互作用而產(chǎn)生或消失，這種現(xiàn)象在光滑系統(tǒng)中是不存在的。分段光滑系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)和分布情況也可能更加復(fù)雜，需要采用專門的方法進(jìn)行研究。由于分段光滑系統(tǒng)的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的光滑系統(tǒng)理論和方法難以直接應(yīng)用。在研究分段光滑系統(tǒng)時(shí)，需要發(fā)展新的理論和方法，如不連續(xù)系統(tǒng)的平均法、龐加萊映射等，以適應(yīng)分段光滑系統(tǒng)的特點(diǎn)，深入揭示其動(dòng)力學(xué)行為和性質(zhì)。2.2平面分段光滑三次微分系統(tǒng)的具體形式2.2.1系統(tǒng)一的表達(dá)式與結(jié)構(gòu)分析第一類平面分段光滑三次微分系統(tǒng)，即具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，其表達(dá)式如下：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilonQ_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilonP_2(x,y)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilonQ_2(x,y)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.其中，\varepsilon為小擾動(dòng)參數(shù)，當(dāng)\varepsilon=0時(shí)，系統(tǒng)為未擾系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)在不同區(qū)域具有不同的形式，體現(xiàn)了分段的特性。D_1和D_2是相平面上互不相交的區(qū)域，它們共同構(gòu)成了系統(tǒng)的定義域，區(qū)域的劃分使得系統(tǒng)在不同部分具有不同的動(dòng)力學(xué)行為。P_1(x,y)、Q_1(x,y)、P_2(x,y)和Q_2(x,y)均為關(guān)于x和y的三次多項(xiàng)式函數(shù)，這些多項(xiàng)式函數(shù)決定了系統(tǒng)在小擾動(dòng)下的具體行為。它們的系數(shù)和各項(xiàng)的組合方式對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有著重要影響，例如影響極限環(huán)的產(chǎn)生、穩(wěn)定性和分布等。該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征主要體現(xiàn)在分段性和多項(xiàng)式的次數(shù)上。分段性使得系統(tǒng)在不同區(qū)域的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性；而三次多項(xiàng)式的形式則決定了系統(tǒng)的非線性程度較高，可能會(huì)出現(xiàn)豐富多樣的動(dòng)力學(xué)行為，如極限環(huán)的產(chǎn)生、分岔等現(xiàn)象。與其他簡(jiǎn)單的微分系統(tǒng)相比，這種分段光滑且具有高次多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)使得系統(tǒng)的分析和研究更加困難，需要運(yùn)用專門的方法和理論。2.2.2系統(tǒng)二的表達(dá)式與結(jié)構(gòu)分析第二類平面分段光滑三次微分系統(tǒng)，即具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，其表達(dá)式為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2+\varepsilonQ_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y+\varepsilonP_4(x,y)&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2+\varepsilonQ_4(x,y)&(x,y)\inD_4\end{array}\right.這里，\varepsilon同樣是小擾動(dòng)參數(shù)，D_3和D_4是相平面上的不同區(qū)域，構(gòu)成系統(tǒng)的定義域。P_3(x,y)、Q_3(x,y)、P_4(x,y)和Q_4(x,y)為三次多項(xiàng)式函數(shù)，它們?cè)谙到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為中起著關(guān)鍵作用。a、b、c和d是系統(tǒng)中的參數(shù)，這些參數(shù)的取值會(huì)顯著影響系統(tǒng)的性質(zhì)。不同的參數(shù)取值會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型、穩(wěn)定性以及極限環(huán)的個(gè)數(shù)和分布發(fā)生變化。當(dāng)a、b、c、d取某些特定值時(shí)，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)等不同類型的奇點(diǎn)，并且極限環(huán)的個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性也會(huì)相應(yīng)改變。該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)在于其分段性以及包含二次項(xiàng)的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)。分段性導(dǎo)致系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)行為存在差異，而二次項(xiàng)的引入進(jìn)一步增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。二次項(xiàng)與三次項(xiàng)的相互作用使得系統(tǒng)的相圖更加復(fù)雜，可能出現(xiàn)多種不同類型的極限環(huán)和分岔現(xiàn)象。與系統(tǒng)一相比，雖然都是分段光滑三次微分系統(tǒng)，但由于二次項(xiàng)的存在形式和參數(shù)的不同，系統(tǒng)二具有獨(dú)特的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，需要針對(duì)性地進(jìn)行分析和研究。2.3極限環(huán)相關(guān)理論基礎(chǔ)2.3.1極限環(huán)的定義與判定條件在動(dòng)力系統(tǒng)理論中，極限環(huán)是相空間里的一種特殊的閉合軌跡，具有重要的理論和實(shí)際意義。對(duì)于一個(gè)二維自治動(dòng)力系統(tǒng)，其一般形式可表示為：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}若存在一條閉曲線\Gamma，滿足以下條件：對(duì)于系統(tǒng)的任意解(x(t),y(t))，當(dāng)t\rightarrow+\infty或t\rightarrow-\infty時(shí)，(x(t),y(t))不經(jīng)過平衡點(diǎn)，且存在T>0，使得(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))，同時(shí)在\Gamma的某一鄰域內(nèi)，除了\Gamma本身外，不存在其他滿足上述條件的閉曲線，則稱\Gamma為該系統(tǒng)的極限環(huán)。判定極限環(huán)的存在性是一個(gè)復(fù)雜的問題，目前已經(jīng)發(fā)展了多種方法和定理。龐加萊-本迪克松（Poincaré-Bendixson）定理是判斷極限環(huán)存在的重要依據(jù)之一。該定理指出，在平面自治系統(tǒng)中，如果存在一個(gè)有界閉區(qū)域D，使得系統(tǒng)的軌線在D內(nèi)不與邊界相切，且D內(nèi)不含系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，或者D內(nèi)只有有限個(gè)平衡點(diǎn)且這些平衡點(diǎn)的指數(shù)之和不為零，那么在D內(nèi)至少存在一個(gè)極限環(huán)。在研究某些具有特定結(jié)構(gòu)的平面分段光滑三次微分系統(tǒng)時(shí)，若能找到滿足龐加萊-本迪克松定理?xiàng)l件的區(qū)域D，則可以判斷該系統(tǒng)在D內(nèi)存在極限環(huán)。本迪克森（Bendixson）準(zhǔn)則也是常用的判定方法之一。對(duì)于平面自治系統(tǒng)\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}，如果在單連通區(qū)域D內(nèi)，\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}不變號(hào)且不恒為零，則該系統(tǒng)在D內(nèi)不存在閉軌（包括極限環(huán)）。反之，如果能找到一個(gè)區(qū)域D，使得\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}在D內(nèi)變號(hào)，那么就有可能存在極限環(huán)，這為進(jìn)一步尋找極限環(huán)提供了線索。旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)理論也在極限環(huán)的判定中發(fā)揮著重要作用。對(duì)于含參數(shù)\mu的平面自治系統(tǒng)\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y,\mu)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y,\mu)\end{cases}，如果當(dāng)\mu單調(diào)變化時(shí)，向量場(chǎng)(P(x,y,\mu),Q(x,y,\mu))在相平面上連續(xù)地旋轉(zhuǎn)，那么可以通過分析向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)情況來判斷極限環(huán)的存在性和個(gè)數(shù)。當(dāng)\mu從\mu_1變化到\mu_2時(shí)，若向量場(chǎng)旋轉(zhuǎn)了一定的角度，且滿足某些條件，則可能會(huì)產(chǎn)生或消失極限環(huán)。2.3.2極限環(huán)的穩(wěn)定性概念與判定方法極限環(huán)的穩(wěn)定性是研究動(dòng)力系統(tǒng)長(zhǎng)期行為的關(guān)鍵要素，它反映了系統(tǒng)在受到微小擾動(dòng)后能否恢復(fù)到原來的極限環(huán)狀態(tài)。對(duì)于一個(gè)極限環(huán)\Gamma，若對(duì)于\Gamma的任意鄰域U，存在一個(gè)更小的鄰域V\subsetU，使得從V內(nèi)出發(fā)的所有軌線，當(dāng)t\rightarrow+\infty時(shí)，都趨近于\Gamma，則稱\Gamma是穩(wěn)定的極限環(huán)；若從V內(nèi)出發(fā)的所有軌線，當(dāng)t\rightarrow+\infty時(shí)，都遠(yuǎn)離\Gamma，則稱\Gamma是不穩(wěn)定的極限環(huán)；若存在從V內(nèi)出發(fā)的軌線，一部分趨近于\Gamma，另一部分遠(yuǎn)離\Gamma，則稱\Gamma是半穩(wěn)定的極限環(huán)。判定極限環(huán)穩(wěn)定性的方法主要基于線性化理論和李亞普諾夫函數(shù)法。基于線性化理論的方法是通過研究極限環(huán)附近的線性化系統(tǒng)來判斷其穩(wěn)定性。對(duì)于給定的二維自治系統(tǒng)\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}，假設(shè)\Gamma是其極限環(huán)，在\Gamma上取一點(diǎn)(x_0,y_0)，將系統(tǒng)在該點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，得到線性化系統(tǒng)\begin{cases}\frac{d\Deltax}{dt}=a\Deltax+b\Deltay\\\frac{d\Deltay}{dt}=c\Deltax+d\Deltay\end{cases}，其中a=\frac{\partialP}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}，b=\frac{\partialP}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}，c=\frac{\partialQ}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}，d=\frac{\partialQ}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}，\Deltax=x-x_0，\Deltay=y-y_0。然后分析線性化系統(tǒng)的特征值\lambda_1和\lambda_2，若\lambda_1和\lambda_2的實(shí)部均為負(fù)，則極限環(huán)\Gamma是穩(wěn)定的；若\lambda_1和\lambda_2的實(shí)部均為正，則\Gamma是不穩(wěn)定的；若\lambda_1和\lambda_2的實(shí)部一正一負(fù)，則\Gamma是鞍點(diǎn)型極限環(huán)，通常是不穩(wěn)定的。李亞普諾夫函數(shù)法是一種更為一般和強(qiáng)大的判定極限環(huán)穩(wěn)定性的方法。對(duì)于一個(gè)二維自治系統(tǒng)，若能構(gòu)造一個(gè)正定函數(shù)V(x,y)（即V(x,y)>0，當(dāng)且僅當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí)，V(x,y)=0），且沿著系統(tǒng)的軌線，\frac{dV}{dt}=\frac{\partialV}{\partialx}P(x,y)+\frac{\partialV}{\partialy}Q(x,y)滿足一定的條件，則可以判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性。若在極限環(huán)\Gamma的某一鄰域內(nèi)，\frac{dV}{dt}<0，則\Gamma是穩(wěn)定的；若\frac{dV}{dt}>0，則\Gamma是不穩(wěn)定的；若\frac{dV}{dt}在\Gamma的兩側(cè)異號(hào)，則\Gamma是半穩(wěn)定的。在研究平面分段光滑三次微分系統(tǒng)的極限環(huán)穩(wěn)定性時(shí)，構(gòu)造合適的李亞普諾夫函數(shù)是關(guān)鍵，這需要對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有深入的理解。三、一類具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分析3.1未擾系統(tǒng)的周期環(huán)域分析3.1.1未擾系統(tǒng)的表達(dá)式與性質(zhì)當(dāng)\varepsilon=0時(shí)，具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)表達(dá)式為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2&(x,y)\inD_2\end{array}\right.在區(qū)域D_1中，對(duì)系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}進(jìn)行分析。首先求奇點(diǎn)，令\begin{cases}y=0\\-x+x^2=0\end{cases}，解第二個(gè)方程-x+x^2=x(x-1)=0，可得x=0或x=1，所以奇點(diǎn)為(0,0)和(1,0)。對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)，將系統(tǒng)在該點(diǎn)線性化，計(jì)算雅可比矩陣J=\begin{pmatrix}\frac{\partial\dot{x}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{x}}{\partialy}\\\frac{\partial\dot{y}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{y}}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2x&0\end{pmatrix}，在(0,0)處，J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，其特征方程為\lambda^2+1=0，特征值為\lambda_{1,2}=\pmi，根據(jù)線性化理論，該奇點(diǎn)為中心型奇點(diǎn)，在其附近相軌線是一族圍繞該點(diǎn)的閉曲線，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于奇點(diǎn)(1,0)，雅可比矩陣在該點(diǎn)的值為J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征方程為\lambda^2-1=0，特征值為\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，實(shí)部一正一負(fù)，所以該奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)附近的相軌線呈現(xiàn)出馬鞍狀的分布，有兩條相軌線趨近于鞍點(diǎn)（穩(wěn)定流形），另外兩條相軌線遠(yuǎn)離鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定流形）。在區(qū)域D_2中，系統(tǒng)為\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}。求奇點(diǎn)，令\begin{cases}y=0\\-x-x^2=0\end{cases}，解第二個(gè)方程-x-x^2=-x(1+x)=0，可得x=0或x=-1，奇點(diǎn)為(0,0)和(-1,0)。對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)，線性化后的雅可比矩陣J=\begin{pmatrix}0&1\\-1-2x&0\end{pmatrix}，在(0,0)處J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征值為\lambda_{1,2}=\pmi，同樣是中心型奇點(diǎn)。對(duì)于奇點(diǎn)(-1,0)，雅可比矩陣在該點(diǎn)的值為J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征值為\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，為鞍點(diǎn)。未擾系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)主要由奇點(diǎn)的類型和分布決定。由于存在中心型奇點(diǎn)，在其周圍會(huì)形成周期運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，而鞍點(diǎn)的存在則影響著相軌線的走向，使得系統(tǒng)的相圖呈現(xiàn)出復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。不同區(qū)域的奇點(diǎn)之間相互作用，共同決定了系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)行為。3.1.2周期環(huán)域的確定與性質(zhì)研究通過對(duì)未擾系統(tǒng)在不同區(qū)域奇點(diǎn)的分析可知，在區(qū)域D_1中，以中心型奇點(diǎn)(0,0)為中心，存在一族閉曲線，這些閉曲線構(gòu)成了一個(gè)周期環(huán)域的一部分。同樣，在區(qū)域D_2中，以中心型奇點(diǎn)(0,0)為中心也存在類似的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域。為了更準(zhǔn)確地確定周期環(huán)域，我們可以利用系統(tǒng)的首次積分。對(duì)于區(qū)域D_1中的系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}，由\frac{dy}{dx}=\frac{-x+x^2}{y}，分離變量得ydy=(-x+x^2)dx，兩邊積分可得首次積分V_1(x,y)=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3=C_1，其中C_1為常數(shù)。這表示對(duì)于給定的C_1值，方程\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3=C_1在D_1中描繪出一條曲線，當(dāng)C_1在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，這些曲線圍繞中心型奇點(diǎn)(0,0)形成一個(gè)環(huán)域。對(duì)于區(qū)域D_2中的系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}，類似地，由\frac{dy}{dx}=\frac{-x-x^2}{y}，分離變量積分得首次積分V_2(x,y)=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3=C_2，C_2為常數(shù)，當(dāng)C_2在合適范圍內(nèi)取值時(shí)，這些曲線圍繞中心型奇點(diǎn)(0,0)形成環(huán)域。周期環(huán)域的邊界主要由鞍點(diǎn)和與之相連的分界線確定。在區(qū)域D_1中，鞍點(diǎn)(1,0)的分界線將相平面劃分為不同的區(qū)域，其中與中心型奇點(diǎn)(0,0)相關(guān)的周期環(huán)域邊界由從鞍點(diǎn)(1,0)出發(fā)的分界線和圍繞(0,0)的閉曲線組成。同理，在區(qū)域D_2中，鞍點(diǎn)(-1,0)的分界線與圍繞中心型奇點(diǎn)(0,0)的閉曲線共同構(gòu)成了周期環(huán)域的邊界。周期環(huán)域的范圍受到奇點(diǎn)位置和系統(tǒng)參數(shù)的影響。奇點(diǎn)的位置決定了環(huán)域的中心和大致形狀，而系統(tǒng)參數(shù)的變化可能會(huì)導(dǎo)致奇點(diǎn)性質(zhì)的改變，從而影響周期環(huán)域的范圍。當(dāng)系統(tǒng)中的某些參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，鞍點(diǎn)的位置可能會(huì)移動(dòng)，這將導(dǎo)致分界線的變化，進(jìn)而改變周期環(huán)域的邊界和范圍。周期環(huán)域的性質(zhì)還包括其穩(wěn)定性。由于周期環(huán)域內(nèi)的相軌線是周期運(yùn)動(dòng)的，根據(jù)極限環(huán)穩(wěn)定性的相關(guān)理論，若周期環(huán)域內(nèi)不存在其他吸引子，且相軌線在環(huán)域內(nèi)連續(xù)且不與邊界相交（除了同宿軌或異宿軌等特殊情況），則該周期環(huán)域是穩(wěn)定的。在未擾系統(tǒng)中，由于中心型奇點(diǎn)的存在保證了周期環(huán)域內(nèi)相軌線的周期性，且不存在其他干擾因素，所以該周期環(huán)域在未擾情況下是穩(wěn)定的。3.2擾動(dòng)情況下的極限環(huán)分支分析3.2.1擾動(dòng)項(xiàng)的引入與系統(tǒng)變化當(dāng)\varepsilon\neq0時(shí)，系統(tǒng)受到小擾動(dòng)，其表達(dá)式為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilonQ_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilonP_2(x,y)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilonQ_2(x,y)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_1(x,y)、\varepsilonQ_1(x,y)、\varepsilonP_2(x,y)和\varepsilonQ_2(x,y)的引入，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了顯著變化。這些擾動(dòng)項(xiàng)通常是關(guān)于x和y的函數(shù)，且與小擾動(dòng)參數(shù)\varepsilon相乘，這意味著它們對(duì)系統(tǒng)的影響在\varepsilon較小時(shí)相對(duì)較小，但隨著\varepsilon的增大，其影響逐漸顯現(xiàn)。在區(qū)域D_1中，未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}原本具有中心型奇點(diǎn)(0,0)和鞍點(diǎn)(1,0)，相軌線圍繞中心型奇點(diǎn)形成周期運(yùn)動(dòng)。引入擾動(dòng)項(xiàng)后，奇點(diǎn)的性質(zhì)可能發(fā)生改變，原本的中心型奇點(diǎn)可能會(huì)因?yàn)閿_動(dòng)而變成焦點(diǎn)，從而導(dǎo)致相軌線的運(yùn)動(dòng)方式發(fā)生變化。擾動(dòng)項(xiàng)還可能會(huì)影響相軌線的形狀和周期，使得原本規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)變得更加復(fù)雜。在區(qū)域D_2中，情況類似。未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}的中心型奇點(diǎn)(0,0)和鞍點(diǎn)(-1,0)在擾動(dòng)下也可能發(fā)生性質(zhì)變化。由于擾動(dòng)項(xiàng)在不同區(qū)域的具體形式不同，這使得系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)行為變化也有所差異，進(jìn)一步增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。從整體上看，擾動(dòng)的存在使得系統(tǒng)的相圖變得更加復(fù)雜，原本簡(jiǎn)單的周期環(huán)域可能會(huì)發(fā)生變形、分裂或產(chǎn)生新的周期軌道，即極限環(huán)分支現(xiàn)象。這種變化使得我們需要采用專門的方法來研究擾動(dòng)后的系統(tǒng)，以揭示其隱藏的動(dòng)力學(xué)特性。3.2.2利用一階平均法估計(jì)極限環(huán)個(gè)數(shù)一階平均法是研究受小擾動(dòng)系統(tǒng)極限環(huán)分支問題的重要方法，其基本原理基于平均化思想。對(duì)于受小擾動(dòng)的系統(tǒng)，假設(shè)其形式為\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)+\varepsilonX_1(x,y,\varepsilon)\\\dot{y}=Y_0(x,y)+\varepsilonY_1(x,y,\varepsilon)\end{cases}，其中\(zhòng)varepsilon為小擾動(dòng)參數(shù)。首先，考慮未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)\\\dot{y}=Y_0(x,y)\end{cases}，設(shè)其存在周期解\gamma(t)，周期為T。對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)，我們引入一個(gè)新的變量變換，將時(shí)間t變換為\tau=\frac{t}{\varepsilon}，同時(shí)令x=x_0(\tau)+\varepsilonx_1(\tau)+\cdots，y=y_0(\tau)+\varepsilony_1(\tau)+\cdots，將其代入擾動(dòng)系統(tǒng)中。然后，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行平均化處理。在一個(gè)周期[0,T]內(nèi)，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)X_1(x,y,\varepsilon)和Y_1(x,y,\varepsilon)進(jìn)行平均，得到平均函數(shù)\overline{X_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Y_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Y_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau。接下來，構(gòu)建平均系統(tǒng)\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{X_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Y_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，這個(gè)平均系統(tǒng)的奇點(diǎn)與原擾動(dòng)系統(tǒng)的極限環(huán)存在密切關(guān)系。原擾動(dòng)系統(tǒng)從周期解\gamma(t)分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)，與平均系統(tǒng)在相應(yīng)點(diǎn)附近的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)。對(duì)于具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，應(yīng)用一階平均法時(shí)，首先要確定未擾系統(tǒng)在不同區(qū)域的周期解。在區(qū)域D_1和D_2中，分別找到圍繞中心型奇點(diǎn)(0,0)的周期解\gamma_1(t)和\gamma_2(t)，它們的周期分別為T_1和T_2。然后，計(jì)算在各自周期內(nèi)的平均函數(shù)。在區(qū)域D_1中，對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_1(x,y)和\varepsilonQ_1(x,y)，計(jì)算平均函數(shù)\overline{P_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}P_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Q_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}Q_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau；在區(qū)域D_2中，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_2(x,y)和\varepsilonQ_2(x,y)進(jìn)行類似計(jì)算，得到平均函數(shù)\overline{P_2}(x_0,y_0)和\overline{Q_2}(x_0,y_0)。最后，構(gòu)建平均系統(tǒng)\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_1區(qū)域）和\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_2}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_2}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_2區(qū)域），通過分析這些平均系統(tǒng)在相應(yīng)點(diǎn)附近的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可以估計(jì)出原擾動(dòng)系統(tǒng)從周期解分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。3.2.3具體案例分析與數(shù)值驗(yàn)證為了更直觀地理解和驗(yàn)證上述理論分析，我們選取一個(gè)具體的具有分段二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)進(jìn)行案例分析。設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)P_1(x,y)=x^3+y^3，Q_1(x,y)=x^2y+xy^2，P_2(x,y)=-x^3+y^3，Q_2(x,y)=-x^2y+xy^2，則擾動(dòng)系統(tǒng)為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilon(x^3+y^3)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilon(x^2y+xy^2)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilon(-x^3+y^3)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilon(-x^2y+xy^2)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.首先，按照一階平均法的步驟進(jìn)行計(jì)算。在區(qū)域D_1中，未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}的周期解\gamma_1(t)可通過數(shù)值方法或解析近似方法求得，假設(shè)其周期為T_1。計(jì)算平均函數(shù)：\begin{align*}\overline{P_1}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}(x_0^3(\tau)+y_0^3(\tau))d\tau\\\overline{Q_1}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}(x_0^2(\tau)y_0(\tau)+x_0(\tau)y_0^2(\tau))d\tau\end{align*}同理，在區(qū)域D_2中，未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}的周期解\gamma_2(t)的周期設(shè)為T_2，計(jì)算平均函數(shù)：\begin{align*}\overline{P_2}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_2}\int_{0}^{T_2}(-x_0^3(\tau)+y_0^3(\tau))d\tau\\\overline{Q_2}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_2}\int_{0}^{T_2}(-x_0^2(\tau)y_0(\tau)+x_0(\tau)y_0^2(\tau))d\tau\end{align*}然后構(gòu)建平均系統(tǒng)，在區(qū)域D_1中平均系統(tǒng)為\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，在區(qū)域D_2中平均系統(tǒng)為\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_2}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_2}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}。通過分析平均系統(tǒng)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們可以估計(jì)出原擾動(dòng)系統(tǒng)從周期解分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。假設(shè)經(jīng)過計(jì)算和分析，在區(qū)域D_1的平均系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)有n_1個(gè)奇點(diǎn)，在區(qū)域D_2的平均系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)有n_2個(gè)奇點(diǎn)，那么原擾動(dòng)系統(tǒng)至少可以分支出n_1+n_2個(gè)極限環(huán)。為了驗(yàn)證理論結(jié)果，我們利用數(shù)值模擬的方法。采用數(shù)值求解微分方程的算法，如四階龍格-庫(kù)塔法，對(duì)擾動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解。設(shè)定一系列不同的初始條件，在相平面上繪制出系統(tǒng)的相軌線。通過數(shù)值模擬得到的相圖，可以直觀地觀察到極限環(huán)的存在和分布情況。將數(shù)值模擬得到的極限環(huán)個(gè)數(shù)與理論分析得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，若兩者相符或相近，則說明我們利用一階平均法估計(jì)極限環(huán)個(gè)數(shù)的方法是有效的。在數(shù)值模擬中，我們可能會(huì)觀察到在理論分析預(yù)測(cè)的位置出現(xiàn)了相應(yīng)個(gè)數(shù)的極限環(huán)，這就驗(yàn)證了我們的理論結(jié)果。同時(shí)，數(shù)值模擬還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些理論分析中可能忽略的細(xì)節(jié)，如極限環(huán)的穩(wěn)定性在數(shù)值模擬中可以通過觀察相軌線在極限環(huán)附近的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來判斷，這對(duì)于深入理解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要意義。四、一類具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分析4.1未擾系統(tǒng)的特性研究4.1.1未擾系統(tǒng)的表達(dá)式與動(dòng)力學(xué)特性當(dāng)\varepsilon=0時(shí)，具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的未擾系統(tǒng)表達(dá)式為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2&(x,y)\inD_4\end{array}\right.在區(qū)域D_3中，系統(tǒng)為\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}，求奇點(diǎn)，令\begin{cases}y=0\\-x+ax^2+by^2=0\end{cases}，將y=0代入第二個(gè)方程得-x+ax^2=x(ax-1)=0，解得x=0或x=\frac{1}{a}（a\neq0），所以奇點(diǎn)為(0,0)和(\frac{1}{a},0)（a\neq0）。對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)，計(jì)算雅可比矩陣J=\begin{pmatrix}\frac{\partial\dot{x}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{x}}{\partialy}\\\frac{\partial\dot{y}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{y}}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2ax&2by\end{pmatrix}，在(0,0)處，J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征方程為\lambda^2+1=0，特征值為\lambda_{1,2}=\pmi，根據(jù)線性化理論，該奇點(diǎn)為中心型奇點(diǎn)，在其附近相軌線是一族圍繞該點(diǎn)的閉曲線，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期性的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于奇點(diǎn)(\frac{1}{a},0)（a\neq0），雅可比矩陣在該點(diǎn)的值為J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征方程為\lambda^2-1=0，特征值為\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，實(shí)部一正一負(fù)，所以該奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)附近的相軌線呈現(xiàn)出馬鞍狀的分布，有兩條相軌線趨近于鞍點(diǎn)（穩(wěn)定流形），另外兩條相軌線遠(yuǎn)離鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定流形）。在區(qū)域D_4中，系統(tǒng)為\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2\end{cases}，求奇點(diǎn)，令\begin{cases}y=0\\-x+cx^2+dy^2=0\end{cases}，將y=0代入第二個(gè)方程得-x+cx^2=x(cx-1)=0，解得x=0或x=\frac{1}{c}（c\neq0），奇點(diǎn)為(0,0)和(\frac{1}{c},0)（c\neq0）。對(duì)于奇點(diǎn)(0,0)，線性化后的雅可比矩陣J=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2cx&2dy\end{pmatrix}，在(0,0)處J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征值為\lambda_{1,2}=\pmi，同樣是中心型奇點(diǎn)。對(duì)于奇點(diǎn)(\frac{1}{c},0)（c\neq0），雅可比矩陣在該點(diǎn)的值為J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征值為\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，為鞍點(diǎn)。未擾系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)特性主要由奇點(diǎn)的類型和分布決定。由于存在中心型奇點(diǎn)，在其周圍會(huì)形成周期運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，而鞍點(diǎn)的存在則影響著相軌線的走向，使得系統(tǒng)的相圖呈現(xiàn)出復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。不同區(qū)域的奇點(diǎn)之間相互作用，共同決定了系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)行為。4.1.2二次不變曲線的性質(zhì)與作用對(duì)于區(qū)域D_3中的系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}，假設(shè)存在二次不變曲線F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。根據(jù)不變曲線的性質(zhì)，若(x(t),y(t))是系統(tǒng)的解，則沿著該解曲線，\frac{dF}{dt}=0。對(duì)F(x,y)求全導(dǎo)數(shù)：\begin{align*}\frac{dF}{dt}&=(2Ax+By+D)\dot{x}+(Bx+2Cy+E)\dot{y}\\&=(2Ax+By+D)y+(Bx+2Cy+E)(-x+ax^2+by^2)\\&=2Axy+By^2+Dy-Bx^2-2Cxy-Ex+Bax^3+Bbxy^2-2Cax^2y-2Cby^3+Eax^2+Eby^2\end{align*}因?yàn)閈frac{dF}{dt}=0，所以2Axy+By^2+Dy-Bx^2-2Cxy-Ex+Bax^3+Bbxy^2-2Cax^2y-2Cby^3+Eax^2+Eby^2=0。通過比較各項(xiàng)系數(shù)，可以確定二次不變曲線的具體形式和參數(shù)關(guān)系。當(dāng)A、B、C、D、E、F滿足一定條件時(shí)，可得到二次不變曲線。若A=\frac{1}{2}，B=0，C=\frac{2}，D=0，E=0，F(xiàn)=0，則二次不變曲線為\frac{1}{2}x^2+\frac{2}y^2=0，即x^2+by^2=0（當(dāng)b\geq0時(shí)，x=0且y=0，表示原點(diǎn)；當(dāng)b\lt0時(shí)，為雙曲線型的曲線）。同理，在區(qū)域D_4中也可類似分析二次不變曲線的性質(zhì)。二次不變曲線對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為有著重要影響。它將相平面劃分為不同的區(qū)域，限制了相軌線的運(yùn)動(dòng)范圍。相軌線不能穿越二次不變曲線，只能沿著曲線或在曲線所劃分的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)。二次不變曲線與奇點(diǎn)的位置關(guān)系也會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)二次不變曲線經(jīng)過奇點(diǎn)時(shí)，會(huì)改變奇點(diǎn)附近相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。若二次不變曲線與中心型奇點(diǎn)相交，可能會(huì)影響圍繞該奇點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域的形狀和范圍。在極限環(huán)的研究中，二次不變曲線也起著關(guān)鍵作用。它可能與極限環(huán)相互作用，影響極限環(huán)的存在性、穩(wěn)定性和個(gè)數(shù)。當(dāng)極限環(huán)與二次不變曲線相切或相交時(shí)，會(huì)導(dǎo)致極限環(huán)的性質(zhì)發(fā)生變化。若極限環(huán)與二次不變曲線相切，可能會(huì)改變極限環(huán)的穩(wěn)定性；若相交，可能會(huì)導(dǎo)致極限環(huán)的個(gè)數(shù)發(fā)生變化，或者產(chǎn)生新的極限環(huán)分支。4.2擾動(dòng)下極限環(huán)的產(chǎn)生與分析4.2.1擾動(dòng)模型的建立與分析當(dāng)\varepsilon\neq0時(shí)，具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)受到小擾動(dòng)，其表達(dá)式為：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2+\varepsilonQ_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y+\varepsilonP_4(x,y)&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2+\varepsilonQ_4(x,y)&(x,y)\inD_4\end{array}\right.擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_3(x,y)、\varepsilonQ_3(x,y)、\varepsilonP_4(x,y)和\varepsilonQ_4(x,y)的引入，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生了深刻的影響。這些擾動(dòng)項(xiàng)通常是關(guān)于x和y的函數(shù)，且與小擾動(dòng)參數(shù)\varepsilon相乘，這使得它們?cè)赲varepsilon較小時(shí)對(duì)系統(tǒng)的影響相對(duì)較小，但隨著\varepsilon的增大，其作用逐漸凸顯。在區(qū)域D_3中，未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}原本具有中心型奇點(diǎn)(0,0)和鞍點(diǎn)(\frac{1}{a},0)（a\neq0），相軌線圍繞中心型奇點(diǎn)形成周期運(yùn)動(dòng)。引入擾動(dòng)項(xiàng)后，奇點(diǎn)的性質(zhì)可能發(fā)生改變，原本的中心型奇點(diǎn)可能會(huì)因?yàn)閿_動(dòng)而變成焦點(diǎn)，從而導(dǎo)致相軌線的運(yùn)動(dòng)方式發(fā)生變化。擾動(dòng)項(xiàng)還可能會(huì)影響相軌線的形狀和周期，使得原本規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)變得更加復(fù)雜。在區(qū)域D_4中，情況類似。未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2\end{cases}的中心型奇點(diǎn)(0,0)和鞍點(diǎn)(\frac{1}{c},0)（c\neq0）在擾動(dòng)下也可能發(fā)生性質(zhì)變化。由于擾動(dòng)項(xiàng)在不同區(qū)域的具體形式不同，這使得系統(tǒng)在不同區(qū)域的動(dòng)力學(xué)行為變化也有所差異，進(jìn)一步增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。從整體上看，擾動(dòng)的存在使得系統(tǒng)的相圖變得更加復(fù)雜，原本簡(jiǎn)單的周期環(huán)域可能會(huì)發(fā)生變形、分裂或產(chǎn)生新的周期軌道，即極限環(huán)分支現(xiàn)象。這種變化使得我們需要采用專門的方法來研究擾動(dòng)后的系統(tǒng)，以揭示其隱藏的動(dòng)力學(xué)特性。擾動(dòng)還可能導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生改變，原本穩(wěn)定的周期環(huán)域在擾動(dòng)下可能變得不穩(wěn)定，或者原本不穩(wěn)定的區(qū)域在擾動(dòng)后出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，這些變化都需要我們深入分析和研究。4.2.2基于一階平均法的極限環(huán)個(gè)數(shù)獲取一階平均法是研究受小擾動(dòng)系統(tǒng)極限環(huán)分支問題的重要工具，其基本原理基于平均化思想。對(duì)于受小擾動(dòng)的系統(tǒng)，假設(shè)其形式為\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)+\varepsilonX_1(x,y,\varepsilon)\\\dot{y}=Y_0(x,y)+\varepsilonY_1(x,y,\varepsilon)\end{cases}，其中\(zhòng)varepsilon為小擾動(dòng)參數(shù)。首先，考慮未擾系統(tǒng)\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)\\\dot{y}=Y_0(x,y)\end{cases}，設(shè)其存在周期解\gamma(t)，周期為T。對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)，我們引入一個(gè)新的變量變換，將時(shí)間t變換為\tau=\frac{t}{\varepsilon}，同時(shí)令x=x_0(\tau)+\varepsilonx_1(\tau)+\cdots，y=y_0(\tau)+\varepsilony_1(\tau)+\cdots，將其代入擾動(dòng)系統(tǒng)中。然后，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行平均化處理。在一個(gè)周期[0,T]內(nèi)，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)X_1(x,y,\varepsilon)和Y_1(x,y,\varepsilon)進(jìn)行平均，得到平均函數(shù)\overline{X_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Y_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Y_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau。接下來，構(gòu)建平均系統(tǒng)\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{X_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Y_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，這個(gè)平均系統(tǒng)的奇點(diǎn)與原擾動(dòng)系統(tǒng)的極限環(huán)存在密切關(guān)系。原擾動(dòng)系統(tǒng)從周期解\gamma(t)分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)，與平均系統(tǒng)在相應(yīng)點(diǎn)附近的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)。對(duì)于具有二次不變曲線的分段光滑三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，應(yīng)用一階平均法時(shí)，首先要確定未擾系統(tǒng)在不同區(qū)域的周期解。在區(qū)域D_3和D_4中，分別找到圍繞中心型奇點(diǎn)(0,0)的周期解\gamma_3(t)和\gamma_4(t)，它們的周期分別為T_3和T_4。然后，計(jì)算在各自周期內(nèi)的平均函數(shù)。在區(qū)域D_3中，對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_3(x,y)和\varepsilonQ_3(x,y)，計(jì)算平均函數(shù)\overline{P_3}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_3}\int_{0}^{T_3}P_3(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Q_3}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_3}\int_{0}^{T_3}Q_3(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau；在區(qū)域D_4中，對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)\varepsilonP_4(x,y)和\varepsilonQ_4(x,y)進(jìn)行類似計(jì)算，得到平均函數(shù)\overline{P_4}(x_0,y_0)和\overline{Q_4}(x_0,y_0)。最后，構(gòu)建平均系統(tǒng)\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_3}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_3}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_3區(qū)域）和\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_4}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_4}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_4區(qū)域），通過分析這些平均系統(tǒng)在相應(yīng)點(diǎn)附近的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可以估計(jì)出原擾動(dòng)系統(tǒng)從周期解分支出的極限環(huán)個(gè)數(shù)。在計(jì)算過程中，需要注意積分的計(jì)算方法和技巧，以及平均函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)。由于擾動(dòng)項(xiàng)通常是多項(xiàng)式函數(shù)，積分計(jì)算可能會(huì)涉及到多項(xiàng)式的積分運(yùn)算，需要運(yùn)用積分的基本公式和法則進(jìn)行求解。平均函數(shù)的性質(zhì)也會(huì)影響到極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)結(jié)果，例如平均函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與平均系統(tǒng)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)密切相關(guān)，因此需