幾何解釋:第1頁(yè)/共175頁(yè)證第2頁(yè)/共175頁(yè)第3頁(yè)/共175頁(yè)注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,第4頁(yè)/共175頁(yè)例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,第5頁(yè)/共175頁(yè)二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第6頁(yè)/共175頁(yè)幾何解釋:證分析:弦AB方程為第7頁(yè)/共175頁(yè)作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第8頁(yè)/共175頁(yè)拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論第9頁(yè)/共175頁(yè)例2證第10頁(yè)/共175頁(yè)例3證由上式得第11頁(yè)/共175頁(yè)三、柯西(Cauchy)中值定理第12頁(yè)/共175頁(yè)幾何解釋:證作輔助函數(shù)第13頁(yè)/共175頁(yè)第14頁(yè)/共175頁(yè)例4證分析:結(jié)論可變形為第15頁(yè)/共175頁(yè)四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.第16頁(yè)/共175頁(yè)思考題

試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.第17頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；以上兩個(gè)都可說(shuō)明問(wèn)題.第18頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第19頁(yè)/共175頁(yè)第20頁(yè)/共175頁(yè)第21頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第22頁(yè)/共175頁(yè)定義例如,第23頁(yè)/共175頁(yè)定理定義這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.第24頁(yè)/共175頁(yè)證定義輔助函數(shù)則有第25頁(yè)/共175頁(yè)例1解例2解第26頁(yè)/共175頁(yè)例3解例4解第27頁(yè)/共175頁(yè)例5解第28頁(yè)/共175頁(yè)注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例6解第29頁(yè)/共175頁(yè)例7解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.步驟:第30頁(yè)/共175頁(yè)例8解步驟:第31頁(yè)/共175頁(yè)步驟:例9解第32頁(yè)/共175頁(yè)例10解例11解第33頁(yè)/共175頁(yè)例12解極限不存在洛必達(dá)法則失效。注意：洛必達(dá)法則的使用條件．第34頁(yè)/共175頁(yè)三、小結(jié)洛必達(dá)法則第35頁(yè)/共175頁(yè)思考題第36頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．第37頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第38頁(yè)/共175頁(yè)第39頁(yè)/共175頁(yè)第40頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第41頁(yè)/共175頁(yè)一、單調(diào)性的判別法定理第42頁(yè)/共175頁(yè)證應(yīng)用拉氏定理,得第43頁(yè)/共175頁(yè)例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．第44頁(yè)/共175頁(yè)二、單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:第45頁(yè)/共175頁(yè)例2解單調(diào)區(qū)間為第46頁(yè)/共175頁(yè)例3解單調(diào)區(qū)間為第47頁(yè)/共175頁(yè)例4證注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,第48頁(yè)/共175頁(yè)三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.第49頁(yè)/共175頁(yè)思考題第50頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答不能斷定.例但第51頁(yè)/共175頁(yè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意可以任意大，故在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．第52頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第53頁(yè)/共175頁(yè)第54頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第55頁(yè)/共175頁(yè)第56頁(yè)/共175頁(yè)一、函數(shù)極值的定義第57頁(yè)/共175頁(yè)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第58頁(yè)/共175頁(yè)二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,第59頁(yè)/共175頁(yè)定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)第60頁(yè)/共175頁(yè)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)第61頁(yè)/共175頁(yè)例1解列表討論極大值極小值第62頁(yè)/共175頁(yè)圖形如下第63頁(yè)/共175頁(yè)定理3(第二充分條件)證第64頁(yè)/共175頁(yè)例2解圖形如下第65頁(yè)/共175頁(yè)注意:第66頁(yè)/共175頁(yè)例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).第67頁(yè)/共175頁(yè)三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第68頁(yè)/共175頁(yè)思考題下命題正確嗎？第69頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答不正確．例第70頁(yè)/共175頁(yè)在–1和1之間振蕩故命題不成立．第71頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第72頁(yè)/共175頁(yè)第73頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第74頁(yè)/共175頁(yè)一、最值的求法第75頁(yè)/共175頁(yè)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)第76頁(yè)/共175頁(yè)二、應(yīng)用舉例例1解計(jì)算第77頁(yè)/共175頁(yè)比較得第78頁(yè)/共175頁(yè)點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？第79頁(yè)/共175頁(yè)解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)第80頁(yè)/共175頁(yè)實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;第81頁(yè)/共175頁(yè)例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為第82頁(yè)/共175頁(yè)（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。最大收入為第83頁(yè)/共175頁(yè)點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例4第84頁(yè)/共175頁(yè)解如圖,第85頁(yè)/共175頁(yè)解得第86頁(yè)/共175頁(yè)三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念.實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.第87頁(yè)/共175頁(yè)思考題第88頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答結(jié)論不成立.因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn).例在有最小值，但第89頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第90頁(yè)/共175頁(yè)第91頁(yè)/共175頁(yè)第92頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第93頁(yè)/共175頁(yè)一、曲線凹凸的定義問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第94頁(yè)/共175頁(yè)定義第95頁(yè)/共175頁(yè)二、曲線凹凸的判定定理1第96頁(yè)/共175頁(yè)例1解注意到,第97頁(yè)/共175頁(yè)三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1.定義注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.2.拐點(diǎn)的求法證第98頁(yè)/共175頁(yè)方法1:第99頁(yè)/共175頁(yè)例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)第100頁(yè)/共175頁(yè)第101頁(yè)/共175頁(yè)方法2:例3解第102頁(yè)/共175頁(yè)注意:第103頁(yè)/共175頁(yè)例4解第104頁(yè)/共175頁(yè)四、小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.拐點(diǎn)的求法1,2.第105頁(yè)/共175頁(yè)思考題第106頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答例第107頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第108頁(yè)/共175頁(yè)第109頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第110頁(yè)/共175頁(yè)第111頁(yè)/共175頁(yè)一、漸近線定義:1.鉛直漸近線第112頁(yè)/共175頁(yè)例如有鉛直漸近線兩條:第113頁(yè)/共175頁(yè)2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:第114頁(yè)/共175頁(yè)3.斜漸近線斜漸近線求法:第115頁(yè)/共175頁(yè)注意:例1解第116頁(yè)/共175頁(yè)第117頁(yè)/共175頁(yè)第118頁(yè)/共175頁(yè)二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第119頁(yè)/共175頁(yè)第三步第四步

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì);第五步第120頁(yè)/共175頁(yè)三、作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性.第121頁(yè)/共175頁(yè)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)第122頁(yè)/共175頁(yè)作圖第123頁(yè)/共175頁(yè)第124頁(yè)/共175頁(yè)例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.第125頁(yè)/共175頁(yè)拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)第126頁(yè)/共175頁(yè)第127頁(yè)/共175頁(yè)例4解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):第128頁(yè)/共175頁(yè)拐點(diǎn)極大值極小值第129頁(yè)/共175頁(yè)第130頁(yè)/共175頁(yè)四、小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減第131頁(yè)/共175頁(yè)思考題第132頁(yè)/共175頁(yè)思考題解答第133頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題第134頁(yè)/共175頁(yè)練習(xí)題答案第三章習(xí)題課第135頁(yè)/共175頁(yè)洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容第136頁(yè)/共175頁(yè)1、羅爾中值定理第137頁(yè)/共175頁(yè)2、拉格朗日中值定理有限增量公式.第138頁(yè)/共175頁(yè)3、柯西中值定理推論第139頁(yè)/共175頁(yè)4、洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.第140頁(yè)/共175頁(yè)5、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法第141頁(yè)/共175頁(yè)定義(2)函數(shù)的極值及其求法第142頁(yè)/共175頁(yè)定理(必要條件)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).第143頁(yè)/共175頁(yè)定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)第144頁(yè)/共175頁(yè)求極值的步驟:第145頁(yè)/共175頁(yè)步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問(wèn)題第146頁(yè)/共175頁(yè)實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲