第二單元函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.編寫意圖函數(shù)是高考內(nèi)容的重要組成部分,是一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).編寫中注意到以下幾個(gè)問題:(1)該部分內(nèi)容是第一輪復(fù)習(xí)初始階段的知識,因此在選題時(shí)注重以基礎(chǔ)題為主,盡量避免選用綜合性強(qiáng)、思維難度大的題目;(2)函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合以及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法在本單元中均有涉及;(3)突出了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用;(4)有意識地將函數(shù)中的單調(diào)性、極值、最值問題與解析幾何中的切線、最值問題和不等式的證明等進(jìn)行交匯,特別是精選一些以導(dǎo)數(shù)為解題工具的典型函數(shù)問題、切線問題,充分體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性.2.教學(xué)建議教學(xué)時(shí),注意到如下幾個(gè)問題:(1)重視教材的基礎(chǔ)作用和示范作用.函數(shù)客觀題一般直接來源于教材,往往就是課本的原題或變式題,主觀題的生長點(diǎn)也是教材,在函數(shù)的復(fù)習(xí)備考中,要重視教材中一些有典型意義又有創(chuàng)新意識的題目,將其作為函數(shù)復(fù)習(xí)過程中的范例與習(xí)題,貫徹“源于課本,高于課本”的原則.(2)闡明知識系統(tǒng),掌握內(nèi)在聯(lián)系.知識的整體性是切實(shí)掌握函數(shù)知識的重要標(biāo)志,函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)是環(huán)環(huán)相扣、緊密相連、互相制約的,并形成了一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識體系,這就要求在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)化的體系中去講函數(shù)的概念、性質(zhì)、公式以及例題,只有這樣,學(xué)生對概念、性質(zhì)的理解才是深刻的、全面的,記憶才是鮮明的、牢固的、生動的,應(yīng)用起來才是靈活的、廣泛的.(3)關(guān)注幾類特殊函數(shù).學(xué)生對抽象函數(shù)的理解較為困難,但抽象函數(shù)對培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力有十分重要的作用,應(yīng)結(jié)合高考情況,予以適當(dāng)關(guān)注,但選題不宜過難.分段函數(shù)是近幾年高考命題的熱點(diǎn),在客觀題和主觀題中都有涉及,應(yīng)給予重點(diǎn)關(guān)注.(4)在復(fù)習(xí)中要讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)作為一種工具在研究函數(shù)的變化率、單調(diào)性和極值等方面的作用,使學(xué)生掌握這種科學(xué)的工具,從而加深對函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識.(5)重視滲透數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)這一部分重要的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)學(xué)方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、比較法以及構(gòu)造法等.數(shù)學(xué)思想方法是以具體的知識為依托的,在復(fù)習(xí)教學(xué)中,要重視知識的形成過程,著重研究解題的思維過程,有意識地滲透思想方法,使學(xué)生從更高層次去領(lǐng)悟、把握、反思數(shù)學(xué)知識,增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識,提高數(shù)學(xué)能力.3.課時(shí)安排本單元包括12講、三個(gè)小題必刷卷、一個(gè)解答必刷卷.每講建議1課時(shí)完成,其中第14講4課時(shí),三個(gè)小題必刷卷、一個(gè)解答必刷卷建議學(xué)生獨(dú)立完成,本單元大約共需15課時(shí).第4講函數(shù)概念及其表示考試說明1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中,會根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法,列表法,解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度函數(shù)與映射的概念判斷給出的對應(yīng)是否為函數(shù)、映射★☆☆函數(shù)的定義域和值域求函數(shù)的定義域、值域,根據(jù)定義域、值域確定參數(shù)值或者取值范圍等★☆☆函數(shù)的解析式確定函數(shù)的解析式2015全國卷Ⅱ13★☆☆分段函數(shù)求分段函數(shù)的值、解方程和不等式等2017全國卷Ⅲ15,2015全國卷Ⅰ10,2015全國Ⅱ5,2014全國卷Ⅰ15★★★真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國真題再現(xiàn)1.[2016·全國卷Ⅱ]下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是 ()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=1[解析]Dy=10lgx=x,定義域與值域均為(0,+∞),只有選項(xiàng)D滿足題意.2.[2015·全國卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)f(x)=1+log2(2-x),x<1,2x-1A.3 B.6C.9 D.12[解析]C因?yàn)閒(2)=1+log24=3,f(log212)=2(log212-1)=6,所以f(2)+f(log23.[2017·全國卷Ⅲ]設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f[答案]-[解析]f(x)=xf(x)+fx-12>1,即fx-12由圖像變換可畫出y=fx-12與y=1f(x易得兩圖像的交點(diǎn)為-14,14,則由圖可知,滿足fx-12>■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·山東卷]設(shè)f(x)=x,0<x<1,2(x-1),x≥1.若fA.2 B.4C.6 D.8[解析]C當(dāng)0<a<1時(shí),a+1>1,由f(a)=f(a+1)得a=2(a+11)=2a,解得a=14,此時(shí)f1a=f(4)=2×(41)=6;當(dāng)a≥1時(shí),a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a1)=2(a+11),此時(shí)方程無解.綜上可知,f1a=6,2.[2017·天津卷]已知函數(shù)f(x)=|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)A.[2,2] B.[23,2]C.[2,23] D.[23,23][解析]A方法一:由題意可知,函數(shù)y=f(x)的圖像恒不在函數(shù)y=x2+a的圖像下方,畫出函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=x2的圖像,如圖所示.當(dāng)a=0時(shí),顯然f(x)>x2+a;當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=x2+a的圖像由函數(shù)y=x2的圖像向右平移|2a|個(gè)單位得到,由圖可知,當(dāng)函數(shù)y=x2+a在x<2a部分的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時(shí),a取得最小值,此時(shí)a=2;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=x2+a的圖像由函數(shù)y=x2的圖像向左平移2a個(gè)單位得到,由圖可知,當(dāng)函數(shù)y=x2+a在x>2a部分的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,2)或與函數(shù)y=f(x)在x>1部分的圖像相切時(shí),a取得最大值,而經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時(shí),a=2,當(dāng)函數(shù)y=x2+a在x>2a部分的圖像與函數(shù)y=f(x)在x>1部分的圖像相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)(x0>1),因?yàn)閤>1時(shí),f'(x)=12x2,則12x02=12,解得x0=2,所以y0=3,又點(diǎn)P(2,3)在函數(shù)y=x2+a在x>2a部分的圖像上,所以22+a=3,解得a=2,因此a的最大值為2.綜上所述,a的取值范圍是[2,2].方法二:不等式f(x)≥x2+a轉(zhuǎn)化為f(x)≤x2+a≤f(x),當(dāng)x<1時(shí),有|x|2≤x2+a≤|x|+2,即|x|2x2≤a≤|x|+2x2.又∵當(dāng)x<0時(shí),|x|2x2=x22<2,|x|+2x2=3x2+2>2,當(dāng)0≤x<1時(shí),|x|2x2=3x22≤2,|x|+2x2=x2+2≥2,∴2≤a≤2;當(dāng)x≥1時(shí),有x2x≤x2+a≤x+2x,即32x2x≤a≤12x+2x,又∵32x2x≤23,3.[2016·江蘇卷]函數(shù)y=3-2x[答案][3,1][解析]令32xx2≥0可得x2+2x3≤0,解得3≤x≤1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)閇3,1].【課前雙基鞏固】知識聚焦1.非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意唯一確定f:A→Bf:A→B2.定義域值域定義域值域3.解析法圖像法列表法4.對應(yīng)關(guān)系對點(diǎn)演練1.④[解析]①②對于定義域內(nèi)任給的一個(gè)數(shù)x,可能有兩個(gè)不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯一性,故①②錯(cuò);③的定義域是空集,而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故③錯(cuò);只有④表示函數(shù).2.1[解析]因?yàn)閒(e)=lne2=1,所以f[f(e)]=f(1)=1+a=2a,解得a=1.3.(∞,3)∪(3,8][解析]要使函數(shù)有意義,則8x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠3,所以其定義域是(∞,3)∪(3,8].4.7[解析]值域C可能為:只含有一個(gè)元素時(shí)有{a},,{c};有兩個(gè)元素時(shí),有{a,b},{a,c},{b,c};有三個(gè)元素時(shí)有{a,b,c}.所以共有7種.5.③[解析]對于③,因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí),y=23×4=83?Q,所以③6.(∞,2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函數(shù),∴f(x)≥1應(yīng)分段求解.當(dāng)x<1時(shí),f(x)≥1?(x+1)2≥1?x≤2或x≥0,∴x≤2或0≤x<1.當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥1?4x-1≥1,即x-1≤3,∴1≤綜上所述,x≤2或0≤x≤10,即x∈(∞,2]∪[0,10].7.x21(x≥0)[解析]令t=x,則t≥0,x=t2,所以f(t)=t21(t≥0),即f(x)=x21(x≥0).8.9[解析]設(shè)函數(shù)y=x2的定義域?yàn)镈,其值域?yàn)閧1,4},D的所有可能的個(gè)數(shù),即是同族函數(shù)的個(gè)數(shù),D的所有可能為{1,2},{1,2},{1,2},{1,2},{1,1,2},{1,1,2},{1,2,2},{1,2,2},{1,1,2,2},共9個(gè),故答案為9.【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)求出函數(shù)y=elnx的定義域和值域,再求出選項(xiàng)中的函數(shù)的定義域和值域,比較可得結(jié)論;(2)根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可.(1)C(2)C[解析](1)函數(shù)y=elnx的定義域和值域均為(0,+∞).函數(shù)y=x的定義域和值域都是R,不滿足要求;函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)?0,+∞),值域?yàn)镽,不滿足要求;函數(shù)y=10x的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+∞),不滿足要求;函數(shù)y=1x的定義域和值域均為(0,+∞),滿足要求.故選C(2)由題意得x+1≥0,6-3x>0,解得1≤x<例2[思路點(diǎn)撥](1)依題意得出1≤x23<1,解之可得定義域;(2)由x∈[1,2],求得2x的范圍為12,4,再由12≤log2x≤4,即可求出函數(shù)的定義域.(1)(2,2]∪[2,2)(2)[2,16][解析](1)由題意知x2-3≥-1,x2-3<1,解得x≤(2)由已知x∈[1,2],得2x∈12,4,故f(x)的定義域?yàn)?2,4,所以在函數(shù)y=f(log2x)中,有12≤log2x≤4,解得2≤x≤16,故f(log2x)的定義域?yàn)閇2,16].例3[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)函數(shù)有定義列出不等式組,求得定義域,再對a分類討論得a的范圍;(2)分m等于0和不等于0兩種情況分析.(1)B(2)[0,+∞)[解析](1)函數(shù)f(xa)+f(x+a)的定義域?yàn)閇a,1+a]∩[a,1a],當(dāng)a≥0時(shí),應(yīng)有a≤1a,即0≤a≤12;當(dāng)a<0時(shí),應(yīng)有a≤1+a,即12≤a<0.所以a的取值范圍是12,12.故選(2)當(dāng)m=0時(shí),y=8,其定義域?yàn)镽;當(dāng)m≠0時(shí),由定義域?yàn)镽可知,mx26mx+9m+8≥0對一切實(shí)數(shù)x均成立,于是有m>0,Δ=(-6m)2-4m(9強(qiáng)化演練1.C[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域是[2,3],所以2≤2x1≤3,可得12≤x≤2,即y=f(2x1)的定義域是12,2,故選C.2.A[解析]函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],要使函數(shù)g(x)有意義,可得0≤2x≤2,x-1≠0,解得03.(0,1][解析]函數(shù)的定義域滿足1+1x>0,1-x2≥0,解得x>04.-∞,-12∪12,+∞[解析]易知a=0不合題意.當(dāng)a>0時(shí),必有ax2+x+a>0在R上恒成立,即14a2<0,所以a>12;當(dāng)a<0時(shí),必有ax2+x+a<0在R上恒成立,即14a2<0,所以a<12.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是∞,125.(∞,2]∪12,1[解析]由已知得A={x|x<1或x≥1},B={x|(xa1)(x2a)<0},由a<1得a+1>2a,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B?A,∴a+1≤1或2a≥1,∴a≤2或12≤a<1.∴a的取值范圍為a≤2或1例4[思路點(diǎn)撥](1)用換元法,令s=3x1(s>1),求出f(s)即可;(2)用待定系數(shù)法;(3)用構(gòu)造法,根據(jù)已知方程構(gòu)造含有f(x)和f1x(1)ln3x+1(x>1)(2)12x232x+5([解析](1)令s=3x1(s>1),則x=3s+1,所以f(s)=ln3s+1(s>1),即f(x)=ln3(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=5,得c=5,又f(x+1)f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+5(ax2+bx+5)=x1,則2ax+a+b=x1,所以2a=1,a+b=-1,即a=12(3)在f(x)=3x·f1x+1中,將x換成1x,則1x換成x,得f1x=31x·f(x)+1,將該方程代入已知方程消去f1x,得f(變式題(1)x21(x≥1)(2)12x(x+1)(3)23lg(x+1)+13lg(1x)(1<x<1)[解析](1)令x+1=t(t≥1),則x=(t1)2,代入原式得f(t)=(t1)2+2(t1)=t21,所以f(x)=x21(x≥(2)當(dāng)1≤x<0時(shí),0≤x+1<1,由已知得f(x)=12f(x+1)=12x(x+1(3)當(dāng)x∈(1,1)時(shí),有2f(x)f(x)=lg(x+1)①.將x換成x,則x換成x,得2f(x)f(x)=lg(x+1)②.由①②消去f(x)得,f(x)=23lg(x+1)+13lg(1x)(1<x<1例5[思路點(diǎn)撥](1)先求f(1),再求f[f(1)]的值;(2)根據(jù)自變量的不同取值選擇不同的分段解析式求解.(1)22(2)4[解析](1)∵函數(shù)f(x)=1-2x,x≤0,x12,x>0,∴f(1)=121(2)∵f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,∴f(3)+f(4)=2+log636=4.例6[思路點(diǎn)撥]分別就自變量在不同區(qū)間上分類求解.B[解析]因?yàn)閒(x)=2x-2,x≥0,-x2+3,x<0,所以若f(a)=2,則當(dāng)a≥0時(shí),2a2=2,解得a=2;當(dāng)a<0時(shí),a2例7[思路點(diǎn)撥](1)分a≤0與a>0討論求解不等式f(a)>12,得a的范圍;(2)利用分段函數(shù)化簡,由里及外列出方程求解即可(1)D(2)2[解析](1)當(dāng)a≤0時(shí),2a>12,解得1<a≤0;當(dāng)a>0時(shí),log13a>12,解得0<a<33.∴a∈(1,0]∪0,33,即a∈1,(2)易知f(4)=0,則f[f(4)]=f(0)=1+13a3=113,解得a=強(qiáng)化演練1.B[解析]∵2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,∴f(2+log32)=f(2+log32+1)=f(3+log32),又3<3+log32<4,∴f(3+log32)=133+log32=133×13log32=127×(31)log32=127×3-log2.B[解析]由f(0)=2,f(1)=3可得1+b=2,a1+b=3,可得a=12,b=1,所以f(x)=log13x,x>0,12x+1,x≤0,那么f[f(33.B[解析]當(dāng)2a≥2,即a≤0時(shí),22a21=1,解得a=1;當(dāng)2a<2,即a>0時(shí),log2[3(2a)]=1,解得a=12,不符合,舍去.所以a=14.D[解析]∵函數(shù)f(x)=2-2x,x≤-1,2x+2,x>-1,且f(5.C[解析]由已知函數(shù)和f[f(a)]=2f(a),得f(a)≥1.若a<1,則3a1≥1,解得a≥23,此時(shí)23≤a<1;若a≥1,則2a≥1,解得a≥0,此時(shí)a≥1.綜上可知a≥23,即a【備選理由】例1考查抽象函數(shù)的定義域問題;例2利用值域求參數(shù),考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想;例3考查分段函數(shù)與不等式的問題,體會數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.1[配合例2使用]已知函數(shù)f(32x)的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

[答案][1,5][解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(32x)的定義域?yàn)閇1,2],所以1≤x≤2,所以4≤2x≤2,所以1≤32x≤5,所以f(x)的定義域?yàn)閇1,5].2[配合例3使用][2017·重慶二診]設(shè)函數(shù)f(x)=log2-x2,x≤-1,-13x2+43x+23[答案][8,1][解析]由題意,可以考慮采用數(shù)形結(jié)合法,作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖),當(dāng)x≤1時(shí),函數(shù)f(x)=log2-x2單調(diào)遞減,且最小值為f(1)=1,則令log2-x2=2,解得x=8;當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)=13x2+43x+23在(1,2)上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,則最大值為f(2)=2,且f(4)=231.綜上得所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[8,1].3[配合例7使用]設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x,x<0,-x2,x≥0,若[答案](∞,2][解析]函數(shù)f(x)=x2+由f[f(a)]≤2,可得f(a)≥2.當(dāng)a<0時(shí),f(a)=a2+a=a+12214≥2恒成立;當(dāng)a≥0時(shí),f(a)=a2≥2,即a2≤2,得0≤a≤2.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2.第5講函數(shù)的單調(diào)性與最值考試說明1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì).考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、確定函數(shù)的單調(diào)性2017全國卷Ⅱ8★☆☆單調(diào)性的應(yīng)用利用單調(diào)性比較大小、求最值,根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍、求參數(shù)值,利用單調(diào)性求解不等式等2017全國卷Ⅰ5,2015全國卷Ⅱ12★★☆真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國真題現(xiàn)1.[2017·全國卷Ⅱ]函數(shù)f(x)=ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(∞,2) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)[解析]D函數(shù)y=x22x8=(x1)29圖像的對稱軸為直線x=1,由x22x8>0解得x>4或x<2,所以(4,+∞)為函數(shù)y=x22x8的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).2.[2017·全國卷Ⅰ]函數(shù)f(x)在(∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=1,則滿足1≤f(x2)≤1的x的取值范圍是 ()A.[2,2] B.[1,1]C.[0,4] D.[1,3][解析]D因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(1)=1,不等式1≤f(x2)≤1,即f(1)≤f(x2)≤f(1),因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減,所以1≤x2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范圍為[1,3].■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·天津卷]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a[解析]C由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增,可知當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,∴g(x)=xf(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴c=g(3)>a=g(log25.1)=g(log25.1)>g(2),b=g(20.8)<g(2),∴b<a<c.2.[2017·北京卷]已知函數(shù)f(x)=3x13x,則f(x) (A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)[解析]A因?yàn)閒(x)=3x13-x=13x3x=3x13x=f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又因?yàn)閥=3x為增函數(shù),y=13x為減函數(shù),所以f(x)=33.[2017·山東卷]若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是 ()A.f(x)=2x B.f(x)=x2C.f(x)=3x D.f(x)=cosx[解析]A令g(x)=exf(x).對于A,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=ex2x=e2x在R上單調(diào)遞增,所以f(x)具有M性質(zhì);對于B,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=exx2,g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不單調(diào)遞增,所以f(x)不具有M性質(zhì);對于C,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=ex3x=e3x在R上單調(diào)遞減,所以f(x)不具有M性質(zhì);對于D,f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)=excosx,g'(x)=excosxexsinx=ex(cosxsinx)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不單調(diào)遞增,所以f(x)不具有M性質(zhì)4.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,則 ()A.1x1yB.sinxsiny>0C.xy1212<0D.lnx+lny>0[解析]C選項(xiàng)A中,因?yàn)閤>y>0,所以1x<1y,即1x1y<0,故結(jié)論不成立;選項(xiàng)B中,當(dāng)x=5π6,y=π3時(shí),sinxsiny<0,故結(jié)論不成立;選項(xiàng)C中,函數(shù)y=12x是定義在R上的減函數(shù),因?yàn)閤>y>0,所以12x<12y,所以12x12y<0;選項(xiàng)D中,當(dāng)x=e1,y=e2時(shí),5.[2017·江蘇卷]已知函數(shù)f(x)=x32x+ex1ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[答案]-[解析]因?yàn)閒(x)=x3+2x+exex=f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函數(shù),則f(a1)+f(2a2)≤0可化為f(2a2)≤f(1a).又f'(x)=3x22+ex+ex≥3x22+2ex·e-x=3x2≥0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,則2a2≤1a,即1【課前雙基鞏固】知識聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函數(shù)或減函數(shù)區(qū)間D3.f(x)≥Mf(x0)=M對點(diǎn)演練1.a<12[解析]當(dāng)2a1<0,即a<12時(shí),f(x)是R2.(2,3][3,2][解析]由函數(shù)f(x)=(x2)2+5(x∈[3,3])的圖像即可得到單調(diào)區(qū)間.3.32[解析]函數(shù)f(x)=3x+1在[2,5]上是減函數(shù),所以最大值為f(2)=1,最小值為f(5)=12.所以最大值與最小值之和為1+4.a≤2[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=|xa|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,+∞),當(dāng)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增時(shí),滿足[2,+∞)?[a,+∞),所以a≤2.5.32,4[解析]函數(shù)f(x)的定義域是(1,4),u(x)=x2+3x+4=x-322+254,x∈(1,4)的單調(diào)遞減區(qū)間為32,6.-∞,138[解析]由題知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),于是有a-2<0,(a-2)7.[1,1)[解析]由條件知-2≤a+1≤2,-2≤28.(1)a≤3(2)3[解析](1)函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=1a,由1a≥4,得a≤3.(2)函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=1a,由1a=4,得a=3.【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥]直接判斷單調(diào)性即可,按照單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.解:該函數(shù)在(1,1)上單調(diào)遞減.證明如下:設(shè)1<x1<x2<1,則f(x1)f(x2)=ax1x12-∵1<x1<x2<1,∴x2x1>0,x1x2+1>0,(x121)(x221又a>0,∴f(x1)f(x2)>0,函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減.變式題C[解析]對于A,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò);對于B,在(0,+∞)上先減后增,故B錯(cuò);對于C,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C對;對于D,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故D錯(cuò).選C.例2[思路點(diǎn)撥](1)先求出函數(shù)y=x22x8在y>0時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷f(x)的單調(diào)性;(2)作出函數(shù)g(x)的圖像,由圖像可得單調(diào)區(qū)間.(1)D(2)[0,1)[解析](1)函數(shù)y=x22x8=(x1)29圖像的對稱軸為直線x=1,由x22x8>0解得x>4或x<2,所以(4,+∞)為函數(shù)y=x22x8的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).(2)由題意知g(x)=x2,x>1,0,x變式題(1)B(2)(∞,2][解析](1)令t=2x23x+2,則y=14t,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在-∞,34上單調(diào)遞增(2)因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增,所以a1>0,即a>1,因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間就是y=|x2|的單調(diào)遞減區(qū)間(∞,2].例3[思路點(diǎn)撥](1)轉(zhuǎn)化為同底的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),依據(jù)它們的單調(diào)性比較大小;(2)由已知可知f(x)lnx為定值,設(shè)為t,則f(x)=lnx+t,求出t,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.(1)C(2)c>a>b[解析](1)因?yàn)閍=log52<log55=12,b=3257>320=1,c=log73∈(log77,log77)即c∈12,1,(2)根據(jù)題意,對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)lnx]=e+1,又由f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),則f(x)lnx為定值,設(shè)t=f(x)lnx,則f(x)=lnx+t.又由f(t)=e+1,即lnt+t=e+1,解得t=e,則f(x)=lnx+e(x>0),則f(x)為增函數(shù).又由1213=312=614,1312=13=6127,log2π>例4[思路點(diǎn)撥](1)構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性把求解的不等式中的函數(shù)符號去掉,得出一般的不等式,解該不等式;(2)可判斷出f(x)為增函數(shù),于是可將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.(1)D(2)(1,2)[解析](1)由已知條件知,f(x1)x1<f(x2)x2對任意x1<x2恒成立,故函數(shù)g(x)=f(x)x為R上的增函數(shù),且g(3)=f(3)(3)=1.不等式flog12|3x-1|>log12|3x1|1,即f(log12|3x1|)log12|3x1|>1,即g(log12|3x1|)>g(3),所以log12|3x1|>3,得0<|3x1|<8,解得x<(2)因?yàn)閥=ex,y=x3在R上均為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)為增函數(shù),所以不等式f(x2)<f(3x2)等價(jià)于x2<3x2,即x23x+2<0?1<x<2,故x∈(1,2).例5[思路點(diǎn)撥]變換函數(shù)解析式,利用常見函數(shù)的單調(diào)性確定f(x)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的最大值和最小值.4033[解析]f(x)=2017x+1+20162017x+1+2017-12017x+1+2016sinx=201712017x+1+2016sinx.顯然該函數(shù)在區(qū)間π2,π2上單調(diào)遞增,故最大值為fπ2,最小值為fπ2,所以M+N=fπ2+fπ2=201712017π2+1+2016+20171例6[思路點(diǎn)撥]根據(jù)一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組,解出即可.D[解析]由題意得3-a>0,a>1,強(qiáng)化演練1.B[解析]根據(jù)題意可知,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.而1<log47<log49=log23,0<0.20.6<0.20=1,所以log23>log47>0.20.6,所以b<a<c.2.(5,2)∪(2,5)[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+2x在定義域上單調(diào)遞增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x24)<2得f(x24)<f(1),所以0<x24<1,解得5<x<2或2<x<5.3.1[解析]當(dāng)x>1時(shí),y=log13x是減函數(shù),得y<0;當(dāng)x≤1時(shí),y=x2+2x=(x1)2+1在(∞,1]上單調(diào)遞增,得y≤1.綜上得f(x)的最大值是4.1[解析]∵f(1+x)=f(1x),∴f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,∵函數(shù)f(x)=2|xa|(a∈R)的圖像以直線x=a為對稱軸,∴a=1,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.∵f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增,∴m≥1,則m的最小值為1.5.a≥12[解析]若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,則函數(shù)g(x)=ax2+x在(0,1)上單調(diào)遞增且g(x)>0恒成立.當(dāng)a=0時(shí),g(x)=x在(0,1)上單調(diào)遞增且g(x)>0,符合題意;當(dāng)a>0時(shí),g(x)圖像的對稱軸為x=12a<0,且有g(shù)(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,符合題意;當(dāng)a<0時(shí),需滿足g(x)圖像的對稱軸x=12a≥1,且有g(shù)(x)>0,解得a≥12,則12≤a<0【備選理由】例1為抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明問題,目的是讓學(xué)生掌握抽象函數(shù)單調(diào)性的解決方法;例2為利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小問題;例3為利用分段函數(shù)的單調(diào)性解決不等式恒成立問題,需要對所給函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,進(jìn)而將所要求解的不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.1[配合例1使用][2018·南陽一中月考]已知x≠0時(shí),函數(shù)f(x)>0,對任意實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(27)=9,當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)∈[0,1).(1)判斷f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,并給出證明;(2)若a≥0且f(a+1)≤39,求a的取值范圍解:(1)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.證明如下:設(shè)0≤x1<x2,∴0≤x1x2<1,f(x1)=fx1x2·x2∵當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)∈[0,1),∴fx1x2∴f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3,∴9=[f(3)]3,即f(3)=39∵f(a+1)≤39,∴f(a+1)≤f(3)∵a≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3,即a≤2,又a≥0,故0≤a≤2.2[配合例3使用][2017·重慶第二外國語學(xué)校月考]設(shè)a=5316,b=35-15,c=ln23,則a,bA.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.a>c>b[解析]B∵0<a=5316<b=35-15=5315,c=ln3[配合例4使用][2017·長安一中質(zhì)檢]已知f(x)=x2-4x+3,x≤0,-x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(A.(∞,2) B.(∞,0)C.(0,2) D.(2,0)[解析]A二次函數(shù)y=x24x+3圖像的對稱軸是直線x=2,∴該函數(shù)在(∞,0]上單調(diào)遞減,∴x24x+3≥3,同樣可知函數(shù)y=x22x+3在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴x22x+3<3,∴f(x)在R上單調(diào)遞減.∴由f(x+a)>f(2ax)得到x+a<2ax,即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a,∴a<2,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(∞,2).故選A.第6講函數(shù)的奇偶性與周期性考試說明1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度函數(shù)奇偶性的判斷判斷給出的函數(shù)的奇偶性2014全國卷Ⅰ3★★☆函數(shù)奇偶性的應(yīng)用已知奇偶性求參數(shù)值、函數(shù)值等2017全國卷Ⅱ14,2017全國卷Ⅰ5,2015全國卷Ⅰ13★★☆函數(shù)周期性及其應(yīng)用判斷函數(shù)的周期、利用周期性求函數(shù)值等★☆☆真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國真題再現(xiàn)1.[2017·全國卷Ⅰ]函數(shù)f(x)在(∞,+∞)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=1,則滿足1≤f(x2)≤1的x的取值范圍是 ()A.[2,2] B.[1,1]C.[0,4] D.[1,3][解析]D因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(1)=1,不等式1≤f(x2)≤1,即f(1)≤f(x2)≤f(1),因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減,所以1≤x2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范圍為[1,3].2.[2014·全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)[解析]C由于偶函數(shù)的絕對值還是偶函數(shù),一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積為奇函數(shù),故正確選項(xiàng)為C.3.[2017·全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)=.

[答案]12[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(2)=f(2)=[2×(2)3+(2)2]=12.4.[2015·全國卷Ⅰ]若函數(shù)f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數(shù),則[答案]1[解析]由f(x)=f(x)得xln(x+a+x2)=xln(x+a+x2),即x[ln(x+a+x2)+ln(x+a+x2)]=xlna=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立,因?yàn)閤不恒為■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·北京卷]已知函數(shù)f(x)=3x13x,則f(x) (A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)[解析]A因?yàn)閒(x)=3x13-x=13x3x=3x13x=f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又因?yàn)閥=3x為增函數(shù),y=13x為減函數(shù),所以f(x)=32.[2016·山東卷]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x31;當(dāng)1≤x≤1時(shí),f(x)=f(x);當(dāng)x>12時(shí),fx+12=fx12.則f(6)= ()A.2 B.1C.0 D.2[解析]D∵當(dāng)x>12時(shí),fx+12=fx12,∴f(x)的周期為1,則f(6)=f(1).又∵當(dāng)1≤x≤1時(shí),f(x)=f(x),∴f(1)=f(1).又∵當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x31,∴f(1)=(1)31=2,∴f(6)=f(1)=2.3.[2017·山東卷]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x2).若當(dāng)x∈[3,0]時(shí),f(x)=6x,則f(919)=.

[答案]6[解析]由f(x+4)=f(x2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(1)=f(1)=6(1)=6.4.[2016·江蘇卷]設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[1,1)上,f(x)=x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R[答案]2[解析]因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f52=f12=12+a,f92=f12=110,即12+a=110,所以a=35,故f(5a)=f(3)=f(1)=25.[2016·四川卷]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=4x,則f52+f(1)=.

[答案]2[解析]因?yàn)閒(x)是周期為2的函數(shù),所以f(x)=f(x+2).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)=f(x),所以f(1)=f(1),f(1)=f(1),即f(1)=0.又f-52=f-12=f12,f12=所以f-52=2,從而f-52+f(1【課前雙基鞏固】知識聚焦1.f(x)=f(x)f(x)=f(x)y軸原點(diǎn)2.f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)最小正數(shù)對點(diǎn)演練1.2[解析]f(x)=x21和f(x)=x2+cosx為偶函數(shù).2.減減[解析]根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對稱性可得.3.12[解析]f(2)=f(2)=(21)=12.4.1[解析]因?yàn)閒(x+3)=f(x),所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù),所以f(2017)=f(672×3+1)=f(1)=log4(12+3)=1.5.奇[解析]由1-x2>0,|x+3|-3≠0,得1<x<1且x≠0,∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椤鄁(x)=lg(1-x2)|x+3|-3=lg(1-x2)x6.①③[解析]對于①,f1x=1xx=f(x),滿足題意;對于②,f1x=1x+11x=f(x)≠f(x),不滿足題意;對于③,f1x=1x,0<1x<17.2[解析]∵f(x)=fx+32,∴f(x+3)=fx+32+32=fx+32=f(x),∴f(2017)=f(38.x2+4x-3,x>0,0,x=0,-x2+4x+3,x<0[解析]設(shè)x<0,則x>0,所以f(x)=f(x)=[(x)2+4(x)3【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)直接判斷;(2)對于①②兩個(gè)函數(shù),先求定義域,再等價(jià)化簡函數(shù)解析式,然后用奇偶性的性質(zhì)判斷,對于③可用圖像法判斷.(1)C(2)C[解析](1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),所以有f(x)=f(x),g(x)=g(x),于是f(x)·g(x)=f(x)g(x),即f(x)g(x)為奇函數(shù),A錯(cuò)誤;|f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)為偶函數(shù),B錯(cuò)誤;f(x)|g(x)|=f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|為奇函數(shù),C正確;|f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|為偶函數(shù),所以D錯(cuò)誤.故選C.(2)①中,易知函數(shù)的定義域?yàn)閧2,2},所以f(x)=0,所以f(x)=f(x)且f(x)=f(x),所以①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);②中,由1-x2>0,|x-3|-3≠0得定義域?yàn)?1,0)∪(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以x3<0,所以f(x)=ln(1-x2)-x,驗(yàn)證知f(x)=f變式題(1)A(2)D[解析](1)易知h(x)=f(x)+g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.因?yàn)閒(x)+g(x)=-x2-x-1+-x2=x·2x1-2xx2=x(1-2x)-x1-2xx2=x(2)對于選項(xiàng)A,函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=x+sin2(x)=(x+sin2x)=f(x),所以f(x)=x+sin2x為奇函數(shù);對于選項(xiàng)B,函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=(x)2cos(x)=x2cosx=f(x),所以f(x)=x2cosx為偶函數(shù);對于選項(xiàng)C,函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=3x13-x=3x13x=f(x),所以f(x)=3x13x為奇函數(shù);只有f(x)=x2+tanx例2[思路點(diǎn)撥](1)先確定函數(shù)f(x)在0,32上的零點(diǎn)情況,再據(jù)周期性確定在區(qū)間(0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)由條件f(x+2)=1-f(x)可得出函數(shù)的周期為4,再求f(1)B(2)A[解析](1)由fx34=fx+34得fx+32=f(x),即函數(shù)是周期為32的周期函數(shù).∵當(dāng)x∈0,32時(shí),f(x)=ln(x2x+1),令f(x)=0,得x2x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函數(shù)f(x)的周期為32,∴方程f(x)=0在區(qū)間(0,6]上的解有1,52,4,112,共4個(gè).(2)由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f(2018)=f(2).因?yàn)閒(2+2)=1-f(2),所以f(2)=變式題803[解析]依題意,f(1)=f(1+3)=f(4)=3×41=11,f(2)=3×21=5,f(3)=3×31=8,所以f(1)+f(2)+f(3)=24,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=33[f(1)+f(2)+f(3)]+f(100)=33×24+f(1)=792+11=803.例3[思路點(diǎn)撥](1)利用偶函數(shù)將求f(2)轉(zhuǎn)化為求f(2);(2)觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)可整理成含有一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)常函數(shù)的和的形式,根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值和為零求值.(1)B(2)C[解析](1)∵f(x)為偶函數(shù),∴f(2)=f(2),又當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x,∴f(2)=log22=12,即f(2)=1(2)f(x)=2·(2|x|+1)+x32|x|+1=2+x32|x|+1,設(shè)g(x)=x32|x|+1,∵g(x)=g(x),∴g(x)為奇函數(shù),∴g(x)max+g(x)min=0.∵M(jìn)=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x例4[思路點(diǎn)撥](1)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),所以f(2x2+1)+f(λx)=0有唯一解,即f(2x2+1)=f(xλ)有唯一解,再求解;(2)函數(shù)為偶函數(shù),所以不等式f(a2)>0等價(jià)為f(|a2|)>f(2),再據(jù)單調(diào)性求解.(1)C(2)D[解析](1)令y=f(2x2+1)+f(λx)=0,因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(2x2+1)=f(λx)=f(xλ).又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=xλ只有一個(gè)根,即2x2x+1+λ=0只有一個(gè)根,則Δ=18(1+λ)=0,解得λ=78(2)∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x4(x≥0),∴函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),f(2)=0,∴不等式f(a2)>0等價(jià)為f(|a2|)>f(2),即|a2|>2,即a2>2或a2<2,解得a>4或a<0.例5[思路點(diǎn)撥](1)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+1)為偶函數(shù),可得出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù);(2)由題意可得偶函數(shù)y=f(x)是周期為4的函數(shù),f(x)=sin|x|是偶函數(shù),作出函數(shù)的圖像,兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為所求根的個(gè)數(shù).(1)B(2)10[解析](1)∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,且有f(x)=f(x),即有f(x+1)=f(x1),又∵f(x+1)為偶函數(shù),∴f(x+1)=f(x+1),∴f(x+1)=f(x1),即f(x+1)=f(x1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(2016)+f(2017)=f(504×4)+f(1+504×4)=f(0)+f(1)=0+1=1.(2)∵函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x),∴f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2)=f(x),∴偶函數(shù)y=f(x)是周期為4的函數(shù).由x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x2可作出函數(shù)f(x)在[10,10]上的圖像,同時(shí)作出函數(shù)y=sin|x|在[10,10]上的圖像,交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求根的個(gè)數(shù).數(shù)形結(jié)合可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10.例6[思路點(diǎn)撥](1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)和周期函數(shù),得出函數(shù)在[3,6]上的單調(diào)性,再進(jìn)行判斷;(2)由已知得出函數(shù)在x∈0,12時(shí)單調(diào)遞增,且f(x)>0,進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)得出x∈12,0時(shí)的單調(diào)情況,再據(jù)周期性得出在區(qū)間1,32上的情況.(1)B(2)D[解析](1)依題意知,f(x)是偶函數(shù),且是以6為周期的周期函數(shù).因?yàn)楫?dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在[3,0]上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)周期性知,函數(shù)f(x)在[3,6]上單調(diào)遞減.又因?yàn)閇4,5]?[3,6],所以函數(shù)f(x)在[4,5]上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)x∈0,12時(shí),由f(x)=log12(1x)可知f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0,又函數(shù)為奇函數(shù),所以在區(qū)間12,0上函數(shù)也單調(diào)遞增,且f(x)<0.由fx+32=f(x)知,函數(shù)的周期為32,所以在區(qū)間1,32上,函數(shù)單調(diào)遞增且f(x)<0.故選D.強(qiáng)化演練1.B[解析]由y=f(x)和y=f(x+2)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),f(x+2)=f(x+2)=f(x2),故f(x)=f(x+4),則F(3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2f(1)=2f(1)=2π3,故選2.D[解析]根據(jù)題意,f(x)為偶函數(shù)且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(lnx)<f(2)?|lnx|<2,即2<lnx<2,解得e2<x<e2,即x的取值范圍是(e2,e2).3.D[解析]因?yàn)閒(x)滿足f(x4)=f(x),所以f(x8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(25)=f(1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x4)=f(x),得f(11)=f(3)=f(1)=f(1).因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[2,2]上是增函數(shù),所以f(1)<f(0)<f(1),即f(25)<f(80)<f(11).4.12[解析]由題意可知,f-52=f-12=f12=2×5.2[解析]依題意知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2,所以f12+f(1)+f32+f(2)+f52=f12+f(1)+f-12+f(0)+f12=f12+f(1)f12+f(0)+f12=f12+f(1)+f(0)=21【備選理由】例1增加了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的對稱性結(jié)合的問題,有利于從不同角度認(rèn)識圖形與性質(zhì);例2考查奇偶性的應(yīng)用,即利用奇偶性求函數(shù)值,注意兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系與聯(lián)系;例3為奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的題目,要在利用奇函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)中的參數(shù)后,再結(jié)合單調(diào)性求解不等式;例4為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及函數(shù)的零點(diǎn)等綜合的問題,性質(zhì)涉及多,難度大,需要利用各函數(shù)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想求解.1[配合例3使用]設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),設(shè)h(x)=|f(x1)|+g(x1),則下列結(jié)論中正確的是 ()A.h(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱B.h(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱C.h(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱D.h(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱[解析]C因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以|f(x)|是偶函數(shù),于是|f(x)|和g(x)都是偶函數(shù),它們的圖像都關(guān)于y軸對稱,所以|f(x1)|和g(x1)的圖像都關(guān)于直線x=1對稱,即h(x)=|f(x1)|+g(x1)的圖像關(guān)于直線x=1對稱.故選C.2[配合例3使用][2017·懷化四模]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)=g(x)+x2,且當(dāng)x≥0時(shí),g(x)=log2(x+1),則g(1)=.

[答案]3[解析]根據(jù)題意,f(x)=g(x)+x2,且當(dāng)x≥0時(shí),g(x)=log2(x+1),則f(1)=g(1)+1=log2(1+1)+1=2,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(1)=f(1)=g(1)+(1)2=2,則g(1)=3.3[配合例4使用]若函數(shù)f(x)=122x+a是奇函數(shù),則使f(x)≥13成立的[答案][1,+∞)[解析]由題意得f(x)+f(x)=0?122x+a+122-x+a=0?a=1,所以122x+14[配合例6使用][2018·河南林州一中調(diào)研]已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),滿足f(x+2)=f(x2)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x4,令函數(shù)g(x)=f(x)m,若g(x)在區(qū)間[10,2]上有6個(gè)零點(diǎn),分別記為x1,x2,x3,x4,x5,x6,則x1+x2+x3+x4+x5+x6=.

[答案]24[解析]∵函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(2)=f(2),由f(x+2)=f(x2)+f(2),令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x2),即f(x+4)=f(x),∴周期T=4.作出函數(shù)f(x)在[10,2]上的圖像及直線y=m如圖所示:由圖像可知f(x)的圖像在[10,2]上有3條對稱軸,分別為x=8,x=4,x=0,∴6個(gè)零點(diǎn)之和為2×(8)+2×(4)+2×0=24.第7講二次函數(shù)與冪函數(shù)考試說明1.二次函數(shù)(1)掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值).(2)了解二次函數(shù)的廣泛應(yīng)用.2.冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念.(2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的圖像考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度二次函數(shù)解析式求二次函數(shù)解析式★☆☆二次函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性、最值、分段函數(shù)★☆☆冪函數(shù)圖像與性質(zhì)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用★☆☆真題再現(xiàn)■[20172013]課標(biāo)全國真題再現(xiàn)■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·浙江卷]若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則Mm()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)[解析]B由題意,得f(x)=x2+ax+b=x+a22+ba24.因此函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=a2.當(dāng)a2≤0,即a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的最大值M=f(1)=1+a+b,最小值m=f(0)=b,所以Mm=1+a;當(dāng)a2≥1,即a≤2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)的最大值M=f(0)=b,最小值m=f(1)=1+a+b,所以Mm=1a;當(dāng)0<a2≤12,即1≤a<0時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值m=f-a2=ba24,最大值M=f(1)=1+a+b,所以Mm=1+a+a24;當(dāng)12<a2<1,即2<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值m=f-a2=ba24,最大值M=f(0)=b,所以Mm=2.[2017·天津卷]已知函數(shù)f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(xA.-4716,2 C.[23,2] D.-[解析]A由已知可得f(x)>0.不等式f(x)≥a+x2可轉(zhuǎn)化為f(x)≤x2+a≤f(x).當(dāng)x≤1時(shí),有x2+x3≤x2+a≤x2x+3,即x2+x23≤a≤x232x+3,又∵x2+12x3=x1424716≤4716,x232x+3=x342+3916≥3916,∴4716≤a≤3916.當(dāng)x>1時(shí),x2x≤x2+a≤x+2x,即32x2x≤a≤12x+2x,又∵32x2x≤23,12x+【課前雙基鞏固】知識聚焦1.4ac-b24a,+∞2.{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇(∞,0](0,+∞)[0,+∞)(∞,0)(0,+∞)(1,1)對點(diǎn)演練1.(∞,40]∪[160,+∞)[解析]二次函數(shù)的對稱軸方程是x=k8,故只需k8≤5或k8≥20,即k≤40或k≥160,故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(∞,40]∪[160,2.x12[解析]設(shè)f(x)=xα,則2=2α,所以α=12,故函數(shù)f(x)3.[1,2][解析]通過二次函數(shù)的圖像知m∈[1,2].4.6[解析]二次函數(shù)y=x2+(a+2)x+3的圖像關(guān)于直線x=1對稱,說明二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x=1,即a+22=1,∴a=4.又f(x)是定義在[a,b]上的,即a,b關(guān)于直線x=1也是對稱的,∴a+b2=5.③[解析]函數(shù)圖像的開口向下,對稱軸方程為x=b2a>0,且過原點(diǎn),6.>[解析]f(x)=x2x+a圖像的對稱軸為直線x=12,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m1<0,∴f(m1)>07.0≤m≤14[解析]當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)是二次函數(shù),圖像對稱軸為x=12m≤2,得m≤14,又m>0,因此0<m≤14.綜上,08.(∞,1)[解析]當(dāng)p>0時(shí),根據(jù)題意知p<1,所以0<p<1;當(dāng)p=0時(shí),函數(shù)為y=1(x≠0),符合題意;當(dāng)p<0時(shí),函數(shù)y=xp的圖像過點(diǎn)(1,1),在(0,+∞)上函數(shù)為減函數(shù),符合題意.綜上所述,p的取值范圍是(∞,1).【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)冪函數(shù)圖像所經(jīng)過的點(diǎn)確定冪函數(shù),再進(jìn)行圖像判斷;(2)根據(jù)冪函數(shù)的定義及其單調(diào)性確定m的值,得出其解析式再判斷.(1)C(2)A[解析](1)令f(x)=xα,則4α=2,所以α=12,所以f(x)=x12.(2)根據(jù)題意,得f(x)=(m2m1)x4m9-m5-1是冪函數(shù),∴m2m1=1,解得m=2或m=1.又f(x)在第一象限內(nèi)是增函數(shù),且當(dāng)m=2時(shí),指數(shù)4×29251=2015>0,滿足題意;當(dāng)m=1時(shí),指數(shù)4×(1)9(1)51=4<0,不滿足題意.∴冪函數(shù)f(x)=x2015是定義在R上的奇函數(shù),且是增函數(shù).又∵a,b∈R且a+b>0,∴a>b,又ab<0,不妨設(shè)b<0,即a>b>0,∴f(a)>f(b)>0,又f(b)=f(b),∴f(a)+f(變式題D[解析]設(shè)f(x)=xα,則2α=14,α=2,即f(x)=x2,它是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,0).故選D例2[思路點(diǎn)撥](1)設(shè)所求函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式,與已知解析式比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出參數(shù);(2)找出對稱軸,設(shè)函數(shù)的解析式為零點(diǎn)式,再利用圖像過定點(diǎn)可求出參數(shù).(1)x2+2x+1(2)x24x+3[解析](1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.(2)因?yàn)閒(2x)=f(2+x)對任意x∈R恒成立,所以f(x)圖像的對稱軸為直線x=2.又因?yàn)閒(x)的圖像被x軸截得的線段長為2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x1)(x3)(a≠0),又f(x)的圖像過點(diǎn)(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)的解析式為f(x)=(x1)(x3),即f(x)=x24x+3.變式題(1)x2+2x(2)2x2+4[解析](1)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2),所以f(x)=ax2+2ax,由4a×0-4a24a=1,得a=1,所以f(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,所以a=-2ab,即b=2,所以f(x)=2x2+2a2,又f(x)的值域?yàn)?∞,4],所以2a2=4,故f(x)=2x2例3[思路點(diǎn)撥](1)找出函數(shù)圖像的對稱軸,確定單調(diào)區(qū)間,將函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上比較大小;(2)先根據(jù)單調(diào)性和對稱軸確定a的符號,再結(jié)合圖像找出關(guān)于m的不等式.(1)A(2)D[解析](1)由題意知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,則bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(∞,1)上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.若x≥0,則3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,則3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故選A.(2)依題意a≠0,二次函數(shù)f(x)=ax22ax+c圖像的對稱軸是直線x=1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,所以a>0,即函數(shù)圖像的開口向上,所以f(0)=f(2),則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí),有0≤m≤2.故選D.例4[思路點(diǎn)撥]求出二次函數(shù)圖像的對稱軸,根據(jù)對稱軸與指定區(qū)間的位置關(guān)系討論最小值的情況.解:因?yàn)閍>0,所以f(x)=ax22x的圖像的開口方向向上,且對稱軸為直線x=1a(1)當(dāng)1a<2,即a>12時(shí),1a∈(0所以f(x)在0,1a上單調(diào)遞減,在所以f(x)min=f1a=1a2a(2)當(dāng)1a≥2,即0<a≤12時(shí),f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(2)=4a綜上所述,f(x)min=4a例5[思路點(diǎn)撥](1)用待定系數(shù)法求出函數(shù)f(x),構(gòu)建函數(shù)g(x)=f(x)2xm,則函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,1]上的最小值大于零即可;(2)設(shè)ax=t,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),再根據(jù)不等式恒成立求解.(1)m<1(2)2[解析](1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,又f(x+1)f(x)=2x,得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=1,所以f(x)=x2x+1.f(x)>2x+m在區(qū)間[1,1]上恒成立,即x23x+1m>0在[1,1]上恒成立,令g(x)=x23x+1m=x32254m,g(x)在[1,1]上單調(diào)遞減,所以g(x)min=g(1)=13+1m>0,所以m<1.(2)令ax=t,因?yàn)閍>1,x∈[1,1],所以1a≤t≤a,原函數(shù)化為g(t)=t2+3t2,顯然g(t)在1a,a上單調(diào)遞增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a2≤8,解得5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值為2.強(qiáng)化演練1.B[解析]函數(shù)f(x)=2x2mx+3圖像的對稱軸為直線x=m4,由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知m4=2,∴m=8,即f(x)=2x2+8x+3,∴f(1)=2+8+3=2.C[解析]函數(shù)f(x)=x22x+1=(x1)2,其圖像的對稱軸方程為x=1.∵f(x)在區(qū)間[a,a+2]上的最小值為4,∴當(dāng)1≤a時(shí),f(x)min=f(a)=(a1)2=4,解得a=1(舍去)或a=3;當(dāng)a+2≤1,即a≤1時(shí),f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=3;當(dāng)a<1<a+2時(shí),f(x)min=f(1)=0≠4.故a的取值集合為{3,3}.3.1[解析]函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線,所以函數(shù)f(x)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因?yàn)閒(0)=a,f(2)=43a,所以-a>4-3a4.1[解析]當(dāng)x<0時(shí),x>0,f(x)=f(x)=(x+1)2,∵x∈2,12,∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(2)=1,∴m≥1,n≤0,∴mn≥1.∴mn的最小值是1.5.∞,12[解析]由題意知2ax2+2x3<0在[1,1]上恒成立.當(dāng)x=0時(shí),符合;當(dāng)x≠0時(shí),a<321x13216恒成立.因?yàn)?x∈(∞,1]∪[1,+∞),當(dāng)x=1時(shí),y=321x13216取得最小值12,所以a<12.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是【備選理由】例1考查二次函數(shù)的解析式的求法,本例給出了三種不同的方法,均是在待定系數(shù)法的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解的;例2為由指定區(qū)間上的單調(diào)性確定參數(shù)的范圍的問題;例3為函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題,需要進(jìn)行分類討論求解.1[配合例2使用]已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解:方法一:設(shè)所求解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),由已知得-b2a=-所以所求解析式為y=19x2+49x方法二:設(shè)所求解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),依題意得-b2a=-2,4a-2b+c方法三:設(shè)所求解析式為y=a(xh)2+k(a≠0),由已知得y=a(x+2)21,將點(diǎn)(1,0)的坐標(biāo)代入得a=19所以y=19x+221,即y=19x22[配合例3使用]若f(x)=x2+2ax與g(x)=ax+1在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍是[答案](0,1][解析]由f(x)=x2+2ax在[1,2]上是減函數(shù)可得[1,2]?[a,+∞),∴a≤1.∵y=1x+1在(1,+∞)上為減函數(shù),∴由g(x)=ax+1在[1,2]上是減函數(shù),可得a>0.故03[配合例4使用]已知函數(shù)f(x)=ax32x2的最大值不大于16,且當(dāng)x∈14,12時(shí),f(x)≥1解:f(x)=32x-a32+16a2,由題知16a2≤16,得1≤a≤當(dāng)1≤a<34時(shí),f(x)在14,12上單調(diào)遞減,而f(x)≥18,即f(x)min=f12=a238≥18,得a≥1,與當(dāng)34≤a≤1時(shí),14≤a3≤13,結(jié)合函數(shù)圖像知f(x)min=f12=a238≥18,得a≥1,而34所以a=1.第8講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試說明1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算.3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn).會畫底數(shù)為2,3,10,12,134.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度指數(shù)冪的運(yùn)算根式化簡、指數(shù)冪運(yùn)算★☆☆指數(shù)函數(shù)的圖像指數(shù)函數(shù)圖像的判斷★☆☆指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用2014全國卷Ⅰ15★☆☆真題再現(xiàn)■[20172016]課標(biāo)全國真題再現(xiàn)[2014·全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1,x<1,x13,[答案](∞,8][解析]當(dāng)x<1時(shí),由ex1≤2,得x<1;當(dāng)x≥1時(shí),由x13≤2,解得1≤x≤8.綜合可知x的取值范圍為x≤■[20172016]其他省份類似高考真題1.[2017·北京卷]已知函數(shù)f(x)=3x13x,則f(x) (A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)[解析]A因?yàn)閒(x)=3x13-x=13x3x=3x13x=f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又因?yàn)閥=3x為增函數(shù),y=13x為減函數(shù),所以f(x)=32.[2016·四川卷]某公司為激勵創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年[解析]B設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元,由題可知,130(1+12%)x≥200,解得x≥log1.12200130=lg2-lg1.3lg1.12≈3.80,因?yàn)閤為整數(shù),所以x取【課前雙基鞏固】知識聚焦1.n次方根奇數(shù)偶數(shù)沒有意義根式根指數(shù)被開方數(shù)aa(2.(1)0沒有意義(2)ar+sarsarbr3.(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)對點(diǎn)演練1.±35[解析]把x+x1=3兩邊平方,可得x2+x2=7,則(xx1)2=x22+x2=5,所以xx1=±5,所以x2x2=(x+x1)(xx1)=±35.2.(∞,2)[解析]根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),得x1<3x,解得x<2,所以x的取值范圍是(∞,2).3.(1,3)[解析]令x1=0,得x=1,此時(shí)y=a0+2=3,所以函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)(1,3).4.②[解析]對于②,∵1x∈R,∴y=131-x的值域是(0,+∞);①的值域?yàn)?∞,0);③的值域?yàn)閇0,+∞);④的值域?yàn)閇05.22[解析]3(1+2)3+4(1-2)46.2[解析]由指數(shù)函數(shù)的定義可得a2-3=1,7.2或12[解析]若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,則f(x)max=f(1)=a1=2,得a=18.f(3x)≥f(2x)[解析]∵f(x)滿足f(1x)=f(1+x),∴f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱.由a>0知,f(x)圖像的開口向上.當(dāng)x<0時(shí),2x<1,3x<1,2x>3x,且f(x)為減函數(shù),故f(2x)<f(3x);當(dāng)x>0時(shí),2x>1,3x>1,3x>2x,且f(x)為增函數(shù),故f(3x)>f(2x);當(dāng)x=0時(shí),f(3x)=f(2x).故f(3x)≥f(2x).【課堂考點(diǎn)探究】例1[思路點(diǎn)撥](1)利用完全平方公式找到a1a,a2+1a2,a+1a之間的關(guān)系即可求解;((1)D(2)60.7[解析](1)由a1a=3,得a1a2=9,即a2+1a22=9,故a2+a2=11.又(a+a1)2=a2+a2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a1=13.于是a2+a+a2+a1=11+13,故選(2)原式=0.3+(44)3412527-13(36)16=0.3+4變式題(1)84(2)55[解析](1)原式=(32)3×(33)-23+3=32×(3)×33×(-23)+3=36×32+3=362+(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以a-ba+b2=因?yàn)閍>b>0,所以a>b,所以a-ba例2[思路點(diǎn)撥](1)結(jié)合解析式和圖像,分析奇偶性和值域可得結(jié)論;(2)作出函數(shù)f(x)的圖像,再重點(diǎn)分析a與c的情況.(1)A(2)D[解析](1)將函數(shù)解析式與圖像對比分析,函數(shù)y=1e|x|是偶函數(shù),且值域是(∞,0],只有A選項(xiàng)滿足上述兩個(gè)性質(zhì),故選A.(2)作出函數(shù)f(x)=|2x1|的圖像,如圖所示,因?yàn)閍<b<c,且有f(a)>f(c)>f(b),所以必有a<0,0<c<1,且|2a1|>|2c1|,所以12a>2c1,則2a+2c<2,且2a+2c>1.故選D.變式題(1)C(2)C[解析](1)若a>1,則1a<0,函數(shù)y=ax單調(diào)遞增,y=(1a)x單調(diào)遞減;若0<a<1,則1a>0,函數(shù)y=ax單調(diào)遞減,y=(1a)x單調(diào)遞增.所以y=ax與y=(1a)x單調(diào)性相反,排除A,D;又y=ax的圖像過定點(diǎn)(0,1),所以排除B.故選C.(2)由兩函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱,可知12a-4與a互為倒數(shù),即a2a-例3[思路點(diǎn)撥](1)化為同底指數(shù)式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較;(2)先將底數(shù)在a>0且a≠1范圍內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.(1)A(2)3a>a3>a13[解析