第二十章勾股定理八下數(shù)學(xué)RJ第1課時(shí)20.1勾股定理及其應(yīng)用1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.

直角三角形作為一種特殊的三角形，它的三個(gè)角滿足其中一個(gè)角是直角、其余兩個(gè)角互余，對(duì)于直角三角形的三條邊，它們之間有什么特殊關(guān)系呢？在《周髀算經(jīng)》的開(kāi)篇，商高（約公元前11世紀(jì)）構(gòu)造了一個(gè)勾、股、弦分別為三、四、五的直角三角形，并指出“兩矩共長(zhǎng)二十有五”，意指分別以勾、股為邊的正方形的面積之和，恰好等于以弦為邊的正方形的面積.354商高所指的面積關(guān)系可以用圖形表示.如圖，紅色直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，分別以這三邊為邊向外作正方形，所得正方形的面積分剛為9，16，25，且9+16=25.從邊的角度看，這個(gè)直角三角形的三邊滿足：兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方.其他直角三角形的三邊是否也滿足上述數(shù)量關(guān)系？探究

如圖,每個(gè)小方格的面積均為1,圖中正方形A?,B?,C?的面積之間有什么關(guān)系？A?,B?,C?呢？A?,B?,C?呢？探究

如圖,每個(gè)小方格的面積均為1,圖中正方形A?,B?,C?的面積之間有什么關(guān)系？A?,B?,C?呢？A?,B?,C?呢？SA?=_________,SB?=_________,SC?=_________,面積之間的關(guān)系：______________________________.145SA?+SB?=SC?

探究

如圖，每個(gè)小方格的面積均為1，圖中正方形A?，B?，C?的面積之間有什么關(guān)系？A?,B?,C?呢？A?,B?,C?呢？SA?=_________,SB?=_________,SC?=_________,面積之間的關(guān)系：______________________________.4913SA?+SB?=SC?

探究

如圖，每個(gè)小方格的面積均為1，圖中正方形A?,B?,C?的面積之間有什么關(guān)系？A?,B?,C?呢？A?,B?,C?呢？SA?=_________,SB?=_________,SC?=_________,面積之間的關(guān)系：______________________________.92534SA?+SB?=SC?

探究

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，在方格紙中任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，類似地作出三個(gè)正方形，這三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？由此，你能得出關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系的猜想嗎？SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,面積之間的關(guān)系：______________________________.41620SA4+SB4=SC4

A4B4C4可以發(fā)現(xiàn)，以直角三角形兩條直角邊為邊的正方形的面積之和，等于以斜邊為邊的正方形的面積.由此我們猜想（如圖）：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么

a2+b2=c2.符號(hào)語(yǔ)言：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則

a2+b2=c2.

abc例1如圖，根據(jù)所給條件分別求兩個(gè)直角三角形中未知邊的長(zhǎng).

例1如圖，根據(jù)所給條件分別求兩個(gè)直角三角形中未知邊的長(zhǎng).

跟蹤訓(xùn)練

在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C

的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c.(1)若∠C=90°,a=5,b=12,求c；(2)若∠C=90°,a:b=1:2,c=5,求b；

跟蹤訓(xùn)練

在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C

的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c.(3)若∠C=90°，∠A=45°，c=10，求a

和b；

跟蹤訓(xùn)練

在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C

的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c.(4)若a=6，b=8，求c.

未指明哪個(gè)角為直角，需分類討論思考你會(huì)證明勾股定理嗎？證明這個(gè)猜想的方法有很多，下面介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)）的證法.如圖，這個(gè)圖案是趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.趙爽根據(jù)此圖指出，四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形（黃色）.黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)BaAcb(1)(2)abc(3)

a(1)(2)abc(3)

a在西方，人們稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

劉徽

“青朱出入圖”.設(shè)大正方形的面積為S，則S=c2.根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，得S=a2+b2，所以a2+b2=c2.加菲爾德總統(tǒng)拼圖.

跟蹤訓(xùn)練我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE與Rt△AGE全等，Rt△BFE與Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x.

(1)小亮也發(fā)現(xiàn)了一種求正方形

DEFC邊長(zhǎng)的方法：連接

CE，利用S△ABC=S△AEB+S△AEC+S△BEC可以得到x與a,b,c的關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成他的求解過(guò)程.

(2)請(qǐng)結(jié)合小明和小亮得到的結(jié)果驗(yàn)證勾股定理.

1.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知b=15，c=25，求a.

2.如圖,圖中所有的三角形都是直角三角形,四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別是12,16,9,12,求最大正方形E的面積.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5,0)和B(0,4).求這兩點(diǎn)間的距離.

4.