第10章整式的乘法與除法10.3乘法公式對(duì)于特殊形式的整式乘法，用乘法公式運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。某中學(xué)計(jì)劃對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為xm的正方形花壇進(jìn)行改造(圖10.3-1)。如果改造成長(zhǎng)為(x＋2)m、寬為(x－2)m的長(zhǎng)方形花壇，改造前后花壇的面積相等嗎?改造后的面積為(x＋2)(x－2)＝x2－2x＋2x－22

＝x2－4。可見(jiàn)，改造前后花壇的面積不相等。(x＋2)(x－2)表示x

與2的和乘x

與2的差，這是一種特殊形式的整式乘法。(1)計(jì)算下列算式：(m＋3)(m－3)＝_________________；(2x＋1)(2x－1)＝_________________。m2－94x2－1(2)觀察上面的算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)?上面的運(yùn)算都是形如a＋b

的多項(xiàng)式與形如a－b

的多項(xiàng)式相乘。運(yùn)算結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差。若a，b

是有理數(shù)，利用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算：(a＋b)(a－b)＝a2＋ab－ab－b2＝a2－b2。由上述計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，可以直接寫(xiě)成這兩個(gè)數(shù)平方的差。由此得到簡(jiǎn)化這類(lèi)運(yùn)算的公式。平方差公式，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2。當(dāng)a，b

均表示正數(shù)且a＞b

時(shí)，圖10.3-2中的面積關(guān)系可以解釋平方差公式。圖10.3-2利用平方差公式計(jì)算：例1(1)(2x＋5)(2x－5)；

(2)(7m－2n)(7m＋n)；解：(2x＋5)(2x－5)＝(2x)2－52＝4x2－25。解：(7m－2n)(7m＋n)＝(7m)2－(2n)2＝49m2－4n2。平方差公式中的a，b

可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式。

利用平方差公式計(jì)算103×97。例2解：103×97＝(100＋3)×(100－3)＝1002－32＝9991.1.利用平方差公式計(jì)算：(1)(x＋6)(x－6)；(2)(－1＋x)(－1－x)；解：原式＝x2－62

＝x2－36.

解：原式＝(－1)2－x2＝1－x2.

解：原式＝(a－2b)(a＋2b)＝a2－(2b)2＝a2－4b2.

2.利用平方差公式計(jì)算202×198。解：202×198＝(200＋2)×(200－2)＝2002－22＝40000－4＝39996.類(lèi)比平方差公式的學(xué)習(xí)過(guò)程，下面我們將研究另一種特殊形式的整式乘法。如圖10.3-3，某中學(xué)計(jì)劃將一個(gè)邊長(zhǎng)為xm的正方形花壇每條邊的長(zhǎng)度都增加2m，新花壇的面積是多少?如果都減少1m呢?由于新花壇依然呈正方形，因此改造后的花壇面積分別為(x＋2)2m和(x－1)2m，運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算得:(x＋2)2＝(x＋2)(x＋2)＝x?x＋x?2＋2?x＋2×2＝x2＋2x＋2x＋4＝x2＋4x＋4；(x－1)2＝(x－1)(x－1)＝x?x－x?1－1?x＋(－1)×(－1)＝x2－x－x＋1＝x2－1x＋1.(x＋2)2

和(x－1)2

分別表示兩個(gè)相同多項(xiàng)式的積，這也是一種特殊形式的整式乘法。(1)計(jì)算下列算式：(x＋5)2＝___________________________；(2y－1)2＝__________________________。x2＋10x＋254y2－4y＋1(2)觀察上面的算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)?上面的運(yùn)算表示的是兩數(shù)和(差)的平方。若a，b

是有理數(shù)，利用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2；由上述計(jì)算發(fā)現(xiàn)，可以直接寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的和或差的平方的運(yùn)算結(jié)果。由此得到簡(jiǎn)化這類(lèi)運(yùn)算的公式。完全平方公式，兩個(gè)數(shù)的和(差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(減去)它們乘積的2倍，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2。(3)當(dāng)a，b

均表示正數(shù)時(shí)，圖10.3-4中的面積關(guān)系可以解釋公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。怎樣設(shè)計(jì)圖形解釋公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2?利用完全平方公式計(jì)算：例3(1)(x＋3)2；(2)(2m－3n)2；解：

(x＋3)2＝x2＋2?x?3＋32＝x2＋6x＋9。解：

(2m－3n)2＝(2m)2－2×2m?3n＋(3n)2＝4m2－12mn＋9n2。

利用完全平方公式計(jì)算1012。例4解：1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12＝10000＋200＋1＝10201。1.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(x＋6)2；(2)(2x－1)2；解：原式＝x2＋2?x?6＋62＝x2＋12x＋36.

解：原式＝(2x)2－2×2x·1＋12＝4x2－4x＋1.

解：原式＝(3a)2－2×3a?2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.

2.利用完全平方公式計(jì)算：(1)100.12；解：原式＝(100＋0.1)2＝1002＋2×100×0.1＋0.12＝10000＋20＋0.01＝10020.01.(2)982。解：原式＝1002－2×100×2＋22＝10000－400＋4＝9604.利用乘法公式計(jì)算：例5(1)(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2)；(2)4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1)。解：(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2)＝x2－16－(x2－6x－16)＝x2－16－x2＋6x＋16＝6x。解：4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1)＝4(9－6x＋x2)＋1－4x2＝36－24x＋4x2＋1－4x2＝－24x＋37。利用乘法公式計(jì)算：例6(1)(a＋b－1)2；(2)(2x＋y－5)(2x＋y＋5)。解：(a＋b－1)2

＝[(a＋b)－1]2＝(a＋b)2－2(a＋b)＋12＝a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1。解：(2x＋y－5)(2x＋y＋5)＝[(2x＋y)－5][(2x＋y)＋5]＝(2x＋y)2－52＝4x2＋4xy＋y2＝25。利用乘法公式計(jì)算：

(2)(x＋5)2－(x－2)(x－3)；解：原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6＝15x＋19.(3)(x＋2y＋1)(x＋2y－1)；解：原式＝[(x＋2y)＋1][(x＋2y)－1]＝(x＋2y)2－12＝x2＋4xy＋4y2－1.(4)(a－b＋c)2。解：原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)＋2(a－b)?c＋c2＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2.習(xí)題10.31.利用平方差公式計(jì)算：?復(fù)習(xí)鞏固(1)(2xy＋8)(2xy－8)；(2)(9m－n)(9m＋n)；解：原式＝(2xy)2－82＝4x2y2－64.解：原式＝(9m)2－n2＝81m2－n2.

解：原式＝(5－2a)(5＋2a)＝52－(2a)2＝25－4a2.

2.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2m＋3)2；(2)(－3a＋2b)2；解：原式＝(2m)2＋2×2m?3＋32＝4m2＋12m＋9.解：原式＝(－3a)2＋2×(－3a)?2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.(3)(－2p－7q)2；解：原式＝(2p＋7q)2＝(2p)2＋2×2p?7q＋(7q)2＝4p2＋28pq＋49q2.

4.利用乘法公式計(jì)算：(1)100.2×99.8；(2)632。解：原式＝(100＋0.2)×(100－0.2)＝1002－0.22＝10000－0.04＝9999.96.解：原式＝(60＋3)2＝602＋2×60×3＋32＝3600＋360＋9＝3969.5.計(jì)算：(1)(2x－y)2－4(x－y)(x＋2y)；解：原式＝4x2－4xy＋y2－4(x2＋xy－2y2)＝4x2－4xy＋y2－4x2－4xy＋8y2＝8xy＋9y2.(2)3(2－y)2－4(y＋5)2；(3)(m－2n－1)(m－2n＋1)；解：原式＝3(4－4y＋y2)＋4(y2＋10y＋25)＝12－12y＋3y2－4y2－40y－100＝－y2－52y－88.解：原式＝[(m－2n)－1][(m－2n)＋1]＝(m－2n)2－12＝m2－4mn＋4n2－1.(4)(2x－3y－z)2。解：原式＝[(2x－3y)－z]2＝(2x－3y)2－2(2x－3y)?z＋z2＝4x2－12xy＋9y2－4xz＋6yz＋z2.?拓展延伸6.如圖，某公園要在一塊直徑為(a＋b)m的圓形空地上，建兩個(gè)直徑分別為am與bm的圓形花壇，其余部分鋪設(shè)草坪。求草坪的面積。

7.已知a2＋b2＝5，ab＝2，求(a＋b)2

和(a－b)2

的值。解：因?yàn)閍2＋b2＝5，ab＝2，

所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝5＋2×2＝9，(a－b)2＝a2－2ab＋b2

＝5－2×2＝1.?探索創(chuàng)新8.觀察下列等式：3＝2＋2＋3，4＝3＋3＋4，5＝4＋4＋5，6＝5＋5＋6，···(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式；解：72＝6＋62＋7.(2)n為正整數(shù)，用含有n

的等式表示其中的規(guī)律。解：規(guī)律：n2＝(n－1)＋(n－1)2＋n.驗(yàn)證：(n－1)＋(n－1)2＋n＝n－1＋n2－2n＋1＋n＝n2，規(guī)律正確.奇妙的“賈憲三角”“賈憲三角”是一個(gè)神奇的“三角形”，由我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(生卒年不詳)首先創(chuàng)造(圖10.3-5)。這個(gè)三角形有什么奇妙之處呢?(1)三角形第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)······第n行有n個(gè)數(shù)。(2)從第一行開(kāi)始，每行中的數(shù)字之和依次為：20，21，22，22，24，···第n行中的數(shù)字之和是2n－1。(3)每行中的數(shù)字呈左右對(duì)稱(chēng)，由1開(kāi)始由小變大，然后由大變小，最后回到1。(4)三角形兩腰上的數(shù)字都是“1