陜西省西安電子科技中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.2．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.3．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（）A.虛軸長(zhǎng)為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為5．1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1446．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.7．如圖，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.8．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.9．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.10．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.11．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A. B.C. D.12．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為_(kāi)_____.類別老年教師中年教師青年教師合計(jì)人數(shù)90018001600430014．已知曲線的方程是，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線有4條對(duì)稱軸；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1；④曲線所圍成圖形的面積大于4；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____15．已知函數(shù)，若，則________.16．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長(zhǎng)為，外接圓周長(zhǎng)為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)R)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值19．（12分）已知函數(shù)（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).20．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過(guò)的路線是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂(lè)場(chǎng).（1）設(shè)，矩形游樂(lè)園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂(lè)園面積的最大值.21．（12分）已知圓.（1）求過(guò)點(diǎn)M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）已知函數(shù).（1）若與在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的取值；（2）若時(shí)，方程在上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.2、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點(diǎn)：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題3、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.4、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長(zhǎng)為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.5、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A6、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.7、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.8、D【解析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，該拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D.9、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過(guò)已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.11、B【解析】求出小明等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車的時(shí)長(zhǎng)，即可計(jì)算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B12、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點(diǎn)三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點(diǎn)：分層抽樣.14、②③④【解析】根據(jù)曲線方程作出曲線，即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【詳解】曲線的簡(jiǎn)圖如下：根據(jù)圖象以及方程可知，曲線C恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn),它們是，，，所以①不正確；由圖可知，曲線有4條對(duì)稱軸，它們分別是軸，軸，直線和，②正確；由圖可知，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1，③正確；由圖可知，曲線所圍成圖形的面積等于，④正確故答案為：②③④15、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵16、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長(zhǎng)與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，切點(diǎn)在曲線上可得切線方程；(2)求導(dǎo)，分類討論可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，則，所以在處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點(diǎn)坐標(biāo)可得到參數(shù)的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】，為拋物線上一點(diǎn)，，即，設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值19、（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，從而可得答案【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點(diǎn)，由，得.令，則.或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時(shí)取極小值，又當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，關(guān)于的方程無(wú)解，或時(shí)關(guān)于的方程只有一個(gè)解，時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同解.因此，時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，或時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問(wèn)2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，21、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圖形即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)題意可知直線過(guò)圓心，利用直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算即可得出結(jié)果；(3)設(shè)圓E的圓心E（a，1），根據(jù)題意可得圓E的半徑為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系和兩點(diǎn)距離公式計(jì)算求出，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；【小問(wèn)2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線過(guò)圓心，由直線的兩點(diǎn)式方程，得，即直線的方程為x+y