河南省鄭州市第五中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.602．若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.24．圓心在x軸負半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.5．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.6．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.7．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.8．圓與圓的位置關系為（）A.外切 B.內切C.相交 D.相離9．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m10．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是A.B.C.D.11．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.12．如圖，橢圓的右焦點為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關于坐標原點的對稱點為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，若，，則_____14．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則正整數(shù)______15．在中.若成公比為的等比數(shù)列，則____________16．若曲線在點處的切線斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標原點，求的值.18．（12分）為落實國家扶貧攻堅政策，某地區(qū)應上級扶貧辦的要求，對本地區(qū)所有貧困戶每年年底進行收入統(tǒng)計，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標系中畫出A貧困戶的人均年純收入關于年份代碼的散點圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標準為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個數(shù)構成一個新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構成首項和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項和.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，可知，從而可求出結果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.2、B【解析】由空間向量內容知，構成基底的三個向量不共面，對選項逐一分析【詳解】對于A：，因此A不滿足題意；對于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內，與向量不共面，因此B正確；對于C：，故C不滿足題意；對于D：顯然有，選項D不滿足題意.故選：B3、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關于對稱軸對稱，于是.故選：A.4、A【解析】根據(jù)題意，設圓心為坐標為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設圓心為坐標為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標為，故所求圓的方程為，故選：A5、C【解析】取中點，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計算的正弦值.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C6、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質求橢圓的焦點坐標和長軸端點坐標，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標準方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點坐標為，，焦點坐標為，，∴雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.7、B【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，因為，則，所以，，則，當且僅當時，等號成立.故選：B.8、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關系進行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因為兩圓的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A9、B【解析】設半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.10、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）11、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D12、C【解析】連結，設，則，，由可求出，進而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設橢圓的方程：，設左焦點為，連結，由橢圓的對稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查了橢圓的標準方程求解及橢圓的簡單幾何性質，在求解橢圓標準方程時，關鍵是求解基本量，，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質計算可得；【詳解】解：∵在等比數(shù)列中，，∴原式故答案為：【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質的應用，屬于基礎題.14、13【解析】設等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式、前n項和公式及可求k.【詳解】設等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.15、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列，即由正弦定理可知所以故答案為：16、【解析】由導數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進而可求出結果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設，根據(jù)韋達定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標原點，得到，進而可求出結果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點坐標為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由得：由得：設，則，，∴因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，.滿足條件故.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應用，熟記橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質即可，解決此類問題時，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理、判別式等求解，屬于?？碱}型.18、（1）散點圖見解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫出點即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問1詳解】畫出y關于x的散點圖，如圖所示：【小問2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，，又因為，，所以，，關于的線性回歸方程，當時，（百元），估計年A貧困戶人均年純收入達到元，能夠脫貧.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答.(2)由與平面BCD所成角確定正邊長與CD長的關系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理計算作答.【小問1詳解】在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小問2詳解】取BC中點F，連接AF，DF，如圖，因為等邊三角形，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，令，則，因，即有，由(1)知，，則有，過C作交AD于O，在平面內過O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，顯然E是斜邊中點，則，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.20、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關系可構造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構造關于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.21、（1）證明見解析；（2）2735.【解析】(1)利用給定的遞推公式結合“當時，”計算推理作答.(2)插入所有項構成數(shù)列，，再確定數(shù)列的前50項中含有數(shù)列和的項數(shù)計算作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項，2為公式的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)知，，即，插入的所有項構成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項中包含數(shù)列前9項，數(shù)列前41項，所以.22、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN