1.2空間向量基本定理【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．考點(diǎn)二：空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．考點(diǎn)三：證明平行、共線、共面問題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.考點(diǎn)三：求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)三：求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【題型歸納】題型一：空間向量基底概念1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若a,b,A．a(chǎn)+b,a?b,a 【答案】C【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，a=12對(duì)于B，b=12對(duì)于C，假設(shè)向量a+b,即c=對(duì)于D，a+b+故選：C.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，若p=a+b，A．r=2b?3C．r=a+2【答案】A【分析】根據(jù)構(gòu)成空間基底的條件對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A.設(shè)r=xp+y整理得，2b因?yàn)閍,b,所以p，q與r構(gòu)成一個(gè)基底.B.因?yàn)閞=a?C.因?yàn)閞=a+2D.設(shè)r=xp+y整理得，2a因?yàn)閍,b,c是空間的一個(gè)基底，所以所以p，q與r不構(gòu)成一個(gè)基底，排除D.故選：A3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若e1,e2,e3A．83 B．52 C．?1【答案】D【分析】由題意可知，向量OA、OB、OC共面，則存在實(shí)數(shù)x、y使得OC=xOA+yOB，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于x、y、【詳解】因?yàn)橄蛄縊A=e1+e所以O(shè)A、OB、OC共面，故存在實(shí)數(shù)x、y使得OC=x即ke因?yàn)閑1,e2,故選：D.題型二：空間基底表示向量4．（2022秋·北京·高二北京十五中?？计谥校┮阎忮FO?ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，

A．12b+C．12a?【答案】D【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)算即可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)镺A=a，OB=所以MN=故選：D.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在四面體O?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若OA=a，OB=b，A．16a+C．13a+【答案】A【分析】利用基底a,b,【詳解】因?yàn)?OP→=

因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q=因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M=12(OP+OQ故選：A.6．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示A．14OA+C．14OA?【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】OP====1故選：A題型三：空間向量基本定理及其推論

7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是線段ACA．34 B．1 C．54 【答案】B【分析】取利用向量AB,AD,AA【詳解】因?yàn)镻是線段AC1上一點(diǎn)，且所以AP=2所以AP=又AC1=又因?yàn)锳B所以AP=x所以x+z=23y+z=故選：B

8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)O?ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG=3GG1，若OGA．1 B．43 C．34【答案】C【分析】取BC的中點(diǎn)E，連接AE，然后利用三角形法則以及三角形重心的性質(zhì)和中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)镺G=3GG所以O(shè)G=3=34OA+1所以x+y+z=3×1故選：C．9．（2022秋·廣東揭陽·高二普寧市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA,OE=mA．29 B．23 C．32【答案】D【分析】由空間向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)λ,μ，使【詳解】由題意可知，OM=因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)λ,μ，使DM=λOM?OM=(1?λ?μ)(1?λ?μ)k=29λm=故選：D題型四：空間向量基本定理的綜合應(yīng)用10．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2AC=2

(1)試用a，b，c表示BM；(2)求異面直線BM與A1【答案】(1)BM=(2)11【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得A1C=b+c，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得【詳解】（1）因?yàn)锽1所以BM=BB（2）因?yàn)锳1且a=b=1，c=2，可得A1BM=A1則cosA所以異面直線BM與A1C角的余弦值為11．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谥校┤鐖D，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B,B(1)試用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)MN(2)5【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【詳解】（1）解：MN==?=1∴MN=（2）解：∵AB=AC=AA∵∠BAC=90°,∴a∴a∴|MN|2∴|MN即MN的長為5312．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段A1

(1)求滿足MN=xAB+yAD+zAA(2)求MN的長．【答案】(1)x=(2)37【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算求出MN=（2）化簡MN2【詳解】（1）MN=所以x=1（2）MN所以MN2所以|MN|=376，即【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2023秋·全國·高二）已知a,b,A．a(chǎn)+b,C．2a+b【答案】B【分析】根據(jù)空間基底的概念，結(jié)合選項(xiàng)，判斷每組向量是否共面，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由a?c=對(duì)于B中，假設(shè)a+2b,b,即a+2b=μa+λb?μ對(duì)于C中，由a+b+對(duì)于D中，由a+c=故選：B.14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體ABCD?A'B'C'D'，點(diǎn)E是A'C'A．AA'+C．12AA【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】如圖所示，

∵AF=1∴AF=1故選：D.15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐P?ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，以AB,AC,AP為基底表示出【詳解】∵EC=2PE，∴PE∴==2∴x=1，y=?23，z=2故選：A.16．（2023秋·全國·高二期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA

A．QP=310C．QP=310【答案】C【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)镻是CA所以AP=又因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.17．（2023春·云南楚雄·高二校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，∠A1AB=∠A．472 B．C．382 D．【答案】A【分析】利用空間向量的數(shù)量積求模即可.【詳解】由圖形易得AO=所以AO2=即AO=47故選：A18．（2024秋·高二課前預(yù)習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若向量a、b共線，則向量a、b所在的直線平行．B．若a、b、c是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p=xC．若向量a、b所在的直線是異面直線，則向量a、b一定不共線．D．若三個(gè)向量a、b、c兩兩共面，則三個(gè)向量a、b、c一定共面．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念以及空間向量基本定理分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若向量a、b共線，則向量a、b所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)空間向量基本定理可知，此時(shí)a、b、c應(yīng)是空間三個(gè)不共面的向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：反證：若向量a、b共線，則向量a、b所在的直線平行或重合，這與向量a、b所在的直線是異面直線相矛盾，故C正確；對(duì)于D：若三個(gè)向量a、b、c兩兩共面，則三個(gè)向量a、b、c不一定共面，例如a、b、c所在的直線為三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)誤；故選：C.19．（2023·全國·高二假期作業(yè)）平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足OA=12OB+xOC+yOD，A．56 B．76 C．53【答案】B【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件逐項(xiàng)判斷即可求得結(jié)論．【詳解】空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC，若A，B，由點(diǎn)A，B，C，D共面得x+y=1又由點(diǎn)B，C，D，E共面得2x+y=2聯(lián)立①②，解得x=1所以x+3y=故選：B20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E,G分別是AB,CD的中點(diǎn)．設(shè)AB=a,

【答案】證明見解析【分析】先EG將用?12a【詳解】證明：

因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，所以△ABC,△ABD都為等邊三角形，所以∠BAC=∠BAD=πEG=AB=?=?=?=0故EG⊥AB.21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐P?OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)OA=a，OC=b，OP=c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，試用{a

【答案】BF=?12a?12【分析】連接BO，根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】連接BO，則BF=BE=BCAE=

【高分突破】22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到BD【詳解】以AB,AD,則B=1+2+2?2×=5?4×1∴BD故選：C.23．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.5【答案】A【分析】將AB,AD,【詳解】由題意得AC=AB+因?yàn)锳B=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°所以AC=?=?=?16+4×5=?16+10+9+7.5=10.5，故選：A24．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，AB=1，AD=2，AAA．5 B．23 C．5 D．13【答案】B【分析】由向量AC'=【詳解】解：∵A∴A∵AB=1，AD=2，AA'=3，∴A∴AC'=23，即故選：B.25．（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則BM=（

A．34 B．34 C．33【答案】D【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到BM=12【詳解】因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，所以BM=所以BM=因?yàn)镻A的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°．所以BM=3所以BM=故選：D26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【答案】D【分析】由空間向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)λ,μ，使【詳解】由題意可知，OM=因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)λ,μ，使DM=λ所以O(shè)M?所以O(shè)M=(1?λ?μ)所以(1?λ?μ)k=2所以1k故選：D二、多選題27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)a,b,A．a(chǎn)，b，c兩兩不共線，但兩兩共面B．對(duì)空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pC．a(chǎn)，a?c，D．若xa+yb+zc=0【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.【詳解】因?yàn)閍,b,c構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以a，對(duì)空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得p=x因?yàn)閍?c+a+c=2根據(jù)空間向量基本定理可知，若xa+yb+zc=0故選：ABD28．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于O點(diǎn)，且A．AC1⊥BDC．BD1=【答案】AB【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【詳解】如圖，由題意得，AB2=AB?AB?AD?對(duì)于選項(xiàng)A，A===?所以AC1⊥故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，B==AD?故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，B==16+25+16+20?16?20=41所以BD1故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，O故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB29．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？计谀┫铝忻}中，正確的命題有（

）A．a(chǎn)+b=a?B．對(duì)空間中任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若OP=2OA?4OB+3OC，則P，C．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λD．若a,b,【答案】BD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：利用共面向量定理判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：利用平面向量的基本定理判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)空間向量的基底判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)a+b=a?b時(shí)，a，b共線，但當(dāng)a，b同向共線，a+對(duì)于選項(xiàng)B：若OP=2OA?4OB+3OC，而2?4+3=1，根據(jù)共面向量定理得P，對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)b=0時(shí)，a∥b，不存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)于選項(xiàng)D：若a,b,c為空間的一個(gè)基底，則a,故選：BD.30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1A．MN=13C．AB1⊥【答案】BD【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)锽M=2A1M所以A1M=所以MN=故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍=b=c=1所以MN2所以MN=因?yàn)锳B1=所以AB因?yàn)锳B12因?yàn)锽C所以BC所以cosA故選：BD.31．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BCB．“a?b=C．若a,b共線，則a與D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、z∈R)，則P、【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的多邊形法則可知A正確；根據(jù)向量的三角不等式等號(hào)成立條件可知，B錯(cuò)誤；根據(jù)共線向量的定義可知，C錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)A，四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，根據(jù)向量的多邊形法則可知，正確；對(duì)B，根據(jù)向量的三角不等式等號(hào)成立條件可知，a,b同向時(shí)，應(yīng)有對(duì)C，根據(jù)共線向量的定義可知，a,對(duì)D，根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面，錯(cuò)誤．故選：BCD．32．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1A．AC1=C．AA1?【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷C；根據(jù)向量的模及數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D.【詳解】解：由AC由M為A1所以BM=由BD=所以AA由AC故選：AC.三、填空題33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①a+b；②a?b；③a+c；④b+c；⑤【答案】③④⑤【分析】利用空間向量基本定理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)空間向量基本定理知，構(gòu)成基底只要三個(gè)向量不共面即可，故①②不合題意，又a，b，c是三個(gè)不共面的向量，故只要含有向量c即可，故③④⑤都可以.故答案為：③④⑤.34．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）在如圖所示的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，

【答案】3?1/【分析】設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，以a,【詳解】設(shè)AB=a，AD=則a,設(shè)AB=1，因?yàn)锽D⊥AN，所以BD?因?yàn)锽D=AD?所以b?a?即12+λ?3故答案為：3?135．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=4

【答案】11【分析】用AB,AD,AA1表示出【詳解】AB=AD=1，AA1∴AB2=AD2AB?AM=∴A∴AM=11故答案為：1136．（2023春·四川德陽·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為棱長等于1的正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且PA=1【答案】90°/【分析】取線段C1D1的中點(diǎn)E，可得出PC1?PD1=PE2?【詳解】取線段C1D1的中點(diǎn)E，則P因?yàn)镻A=1，所以P在以A

所以，PC當(dāng)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PC此時(shí)PEmin此時(shí)PC所以PD1⊥PC1，所以P故答案為：90°37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，E、F、G分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AD、AB、CD的中點(diǎn)，H是AC1【答案】1【分析】設(shè)AH=λAC1，其中0≤λ≤1，將EF、EH、GC1用基底AB,AD,AA1表示，分析可知GC1、EF、EH共面，則存在m、【詳解】設(shè)AH=λAC1，其中EH=GC因?yàn)镚C1//平面EFH，則GC1、EF、EH所以，存在m、n∈R，使得EH=m即λ=1因?yàn)锳B,AD,AA因此，AH=1故答案為：1.四、解答題38．（2023春·江蘇連