1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颍运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2．右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．考點(diǎn)二：空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．考點(diǎn)三：空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．考點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點(diǎn)五：空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考點(diǎn)六：空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型歸納】題型一：空間向量的正交分解問(wèn)題1．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a,b,c是空間的一個(gè)基底，向量a+b,a?b,c是空間的另一個(gè)基底，一向量A．?12,32,3 B．3【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果．【詳解】向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為設(shè)p在基底a+b,則p=x所以x+y=1x?y=?2z=3，解得故p在基底a+b,故選：A．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A0,1,0，B3,2,2，點(diǎn)D滿足AD=2AB，則點(diǎn)A．5,4,3 B．3,4,3C．6,3,4 D．1,2,3【答案】C【分析】設(shè)Dx,y,z，根據(jù)AD=2AB【詳解】設(shè)Dx,y,z，則AD由AD=2AB得x=6y?1=2故選：C.3．（2022秋·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)O0,0,0，A?1,1,0，B0,1,1，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，則點(diǎn)HA．12,?12,0 B．?1【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算得到BH→【詳解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴OA→且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H（﹣λ，λ，0），則BH→又BH⊥OA，∴BH→?OA即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）?（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ=1∴點(diǎn)H（?12，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，注意共線向量的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．題型二：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題4．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎狝(1,2,?1)，B為A關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)，C為B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則BC=（

A．(?2,0,?2) B．(2,0,2) C．(?1,0,?1) D．(0,?2,?2)【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱的特點(diǎn)求出點(diǎn)B,C坐標(biāo)作答.【詳解】點(diǎn)A(1,2,?1)，則A關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)B(1,2,1)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C(?1,2,?1)，所以BC=(?2,0,?2)故選：A5．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知向量a=(1,?2,1),a+b=(?1,2,?1),A．(2,?4,2) B．(?2,4,?2)C．(?2,0,?2) D．(2,1,?3)【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題可得b=故選:B.6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A2,4,0、B1,3,3，且滿足2AQ=QBA．113,53,1 B．53【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)Qx,y,z，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)Q【詳解】設(shè)點(diǎn)Qx,y,z，由2AQ=所以，2x?2=1?x2y?4=3?y故選：B.題型三：空間向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)問(wèn)題7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量a=2,?2,1,b=A．1093,0,4 C．1092,?2,1 【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】空間向量a所以向量b在向量a上的投影向量為bcos故選：C.8．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=1,?3,2,b=1,1,t，若A．5 B．17 C．26 D．14【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示列式求出t=1，再根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閍⊥b，所以1×1?3×1+2t=0，得t=1，所以a?2b=所以a?2b=故選：C9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)在直線CE上，則AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【答案】D【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=λPD=0,2λ,?2λ和【詳解】如圖所以，連接AC，BD，記AC∩BD=O，連接OP，由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OP的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A=AB=2，所以A?2,0,0，C2,0,0則CA=?22設(shè)PE=λPD=從而CE=故點(diǎn)A到直線CE的距離d=C即AF的最小值是26故選：D.題型四：空間向量的平行的坐標(biāo)表示問(wèn)題10．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期中）已知兩個(gè)向量a=2,?1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．9【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的平行，列出比例式，求得m,n，即得答案.【詳解】由題意a=2,?1,2，b=故62故m+n=3，故選：B11．（2022秋·北京東城·高二東直門中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縜=x,2,4,b=A．?1 B．?3 C．?152 【答案】C【分析】根據(jù)平行可設(shè)b=ma+【詳解】a+因?yàn)閍+c//b，所以可設(shè)故mx+1=3y=m故x+y=?7?1故選：C12．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)校考期末）設(shè)x、y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=3,?6,3且a⊥A．22 B．23 C．4 【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、y的值，求出向量a+【詳解】因?yàn)閍⊥c，則a?c=3x?6+3=0因?yàn)閎//c，則13=y所以，a+b=故選：D.題型五：空間向量的垂直的坐標(biāo)表示問(wèn)題13．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）空間中有四點(diǎn)A，B，C，D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,?5)，且AB+CD=A．平行 B．異面 C．必定相交 D．必定垂直【答案】D【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【詳解】因?yàn)锳B=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,?5)，且所以(3m,2m+1,?3)=5,所以3m=52m+1=133所以AB=103所以AB?所以AB⊥所以直線AB和CD必定垂直，故選：D14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別在棱AAA．14 B．12 C．3【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E、F坐標(biāo)，根據(jù)C1E⊥EF得出E、【詳解】如圖所示，以C1為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E則C1E=AF=2?y=2x?x2故選：B15．（2023春·廣西梧州·高二蒼梧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，A．57 B．36 C．3 D．9【答案】A【分析】根據(jù)空間向量平行垂直條件求出參數(shù)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】∵a⊥c，∴2x?4+2=0，即x=1，∵b//c，∴∴a=(1,1,1),b=(1,?2,1)，∴a故選：A題型六：空間向量的夾角余弦的坐標(biāo)問(wèn)題16．（2023春·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）把正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，O，E，F(xiàn)分別為AC，AD，BC的中點(diǎn)，則折紙后∠EOF的大小為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【分析】依題意畫(huà)出圖形，連接BO，DO，由面面垂直的性質(zhì)BO⊥平面ADC，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】折起后的圖形如下所示，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC=AC，BO?平面ABC，∴BO⊥平面ADC，∴OD，OC，OB三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則可確定以下點(diǎn)坐標(biāo)：O0,0,0，A0,?1,0，D1,0,0，E12,?1∴OE→=1∴cosOE→,∴OE→,OF故選：C

17．（2023秋·全國(guó)·高二期中）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】由題設(shè)，結(jié)合空間向量模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)公式列方程組求得n=m=p=22，再由【詳解】由題意可得m2+n2=1又cos<OA,OB>=所以<OA故選：C18．（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 【答案】C【分析】首先根據(jù)OA為單位向量得到m2+n2=1，再利用OA與OC的夾角等于π4，得【詳解】∵空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p與向量∴∠AOC=∠BOC=π4，∵OA又OA?OC=m+n又OA為單位向量，∴m聯(lián)立m+n=62m2+∵OA=m,n,0，∴cos故選：C.題型七：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的綜合問(wèn)題19．（2023秋·福建三明·高二三明一中）已知a=3,2,?1，(1)求a+(2)當(dāng)ka+b【答案】(1)?10(2)k=32【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）由ka+b【詳解】（1）已知a=3,2,?1，則a2=14，b2所以a+（2）因?yàn)閗a所以ka解得k=32或20．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點(diǎn)．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG【答案】(1)4(2)2a【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得EF的坐標(biāo)，應(yīng)用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求EF；（2）由（1）得AG、BC的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求cosAG【詳解】（1）以D為原點(diǎn)，分別以射線DA?DC?DS為x軸?y軸?z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則Aa,0,0，Ba,a,0，C0,a,0，Ea,a所以EF=?a,0,b（2）由（1）知AG=?a,0,b所以cosAG21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1

(1)試建立空間直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)D，G的坐標(biāo)；(2)求∠DGF的余弦值．【答案】(1)D(0,?1,1)，(2)45【分析】（1）根據(jù)已知條件得到三條線兩兩垂直建系寫(xiě)出坐標(biāo)即可;（2）根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式求出距離,再在三角形中應(yīng)用余弦定理即得.【詳解】（1）因?yàn)镋F//CC1，CC1⊥平面ABC

又EC?平面ABC，BE?平面ABC，所以EF⊥EC，EF⊥BE．又AB=BC，所以BE⊥EC，所以直線EB，EC，EF兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EB，EC，EF為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易得，AE=AD=BG=1，EB=A所以點(diǎn)D、G的坐標(biāo)分別為D(0,?1,1)，（2）因?yàn)镕(0,0,2)，所以DF=(0?0)2+在△DGF中，cos∠DGF=即∠DGF的余弦值為45【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2024秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知向量a=(1,2,3),b=(?1,0,1)，則aA．(?1,2,5) B．(?1,4,5) C．(1,2,5) D．(1,4,5)【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】a+2故選：A23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若向量a=2,2,3,b=A．5 B．8C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，b+c=故選：C24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l1的一個(gè)方向向量a=2,4,x，直線l2的一個(gè)方向向量b=2,y,2，若a=6A．-3或1 B．3或?1C．-3 D．1【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合a=6即可求得x的值，再根據(jù)a?b【詳解】因?yàn)閍=22+42+所以a?b=2×2+4y+2x=0所以當(dāng)x=4時(shí)，y=?3，則x+y=1，當(dāng)x=?4時(shí)，y=1所以x+y=?3或1.故選：A.25．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知a=cosα,1,sinα，b=sinα,1,cosα，且A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得：a=【詳解】因?yàn)閍=cos2可得a+b?所以向量a+b與a?故選：A.26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長(zhǎng)度；(2)求CG?【答案】(1)21(2)6【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出FG即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則F1,4,0,G0,2,4所以FG=即線段FG的長(zhǎng)度為21；（2）C2,0,2則CG=所以CG?

27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，(1)設(shè)|c|=3，c∥(2)求a與b的夾角；(3)若ka+b與k【答案】(1)c=(?2,?1,2)或(2)π(3)k=2或k=?【分析】（1）由空間向量平行，得出c=kBC，設(shè)c=?2k,?k,2k，再利用（2）先求得a=1,1,0，b=（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于k的方程，解之即可求得k的值．【詳解】（1）由題可知，BC=(?2,?1,2)由c∥BC，得c=k因?yàn)閨c所以(?2k)2+(?k)所以c=(?2,?1,2)或c（2）因?yàn)锳(?2,0,2)、B(?1,1,2)、C(?3,0,4)，a=AB，所以a=(1,1,0)，b則cos<所以a與b的夾角為π?（3）因?yàn)閗a+b又ka+b所以ka解得k=?52或【高分突破】一：?jiǎn)芜x題28．（2023春·福建福州·高二?？计谀┮阎c(diǎn)A1,2,1，B4,11,4，D1,2,1，若點(diǎn)P滿足AP=2PBA．11 B．57 C．211 D．【答案】C【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出PD的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得PD的值.【詳解】已知點(diǎn)A1,2,1，B4,11,4，設(shè)點(diǎn)Px,y,z，由AP=2PB所以，x?1=24?xy?2=211?yz?1=24?z所以，PD=因此，PD=故選：C.29．（2023春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考期末）已知向量OA=(2,?2,3)，向量OB=(x,1?y,4z)，且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,32,?A．(?2,?4,?1) B．(?2,?4,1)C．(?2,4,?1) D．(2,?4,?1)【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，求解即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖：因?yàn)橄蛄縊A=(2,?2,3)，向量OB且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,3所以A(2,?2,3)，B(x,1?y,4z)，所以2+x2=0?2+(1?y)所以(x,y,z)=(?2,?4,?1).故選：A30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量m=2,?4x,1是平面α的法向量，n=6,12,?3y是直線l的方向向量，若l⊥α，則A．?4 B．4 C．?2 D．2【答案】C【分析】由l⊥α可得m//【詳解】因?yàn)閘⊥α，故m//n，故則2,?4x,1=λ6,12,?3y，解得：則x+y=?2.故選：C.31．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中校考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)

A．1 B．22 C．33 【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Ea,a,0，0≤a≤1，F(xiàn)b,1,b，【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可設(shè)Ea,a,0，其中0≤a≤1，F(xiàn)b,1,b，其中根據(jù)圖中可知直線BD和直線B1若能取到兩異面直線間的距離，則此時(shí)EF距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知EF⊥BD，EF⊥BEF=b?a,1?a,b，DB=1,1,0，B1則EF?BD=b?a+1?a=0解得a=23b=則此時(shí)EF=a?b則EF故選：C.

32．（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=1A．32 B．1 C．34 【答案】A【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后得出AC1和【詳解】如圖，由已知可得，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則A0,0,0，B0,1,0，B10,1,1，C1,0,0所以AC1=所以AC故選：A.33．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=a，其中0<a<22．則MN的長(zhǎng)的最小值為（

A．2 B．22 C．32 【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直性質(zhì)可證得BC⊥平面ABEF，則以B為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系；利用空間中兩點(diǎn)間距離公式可表示出MN；將MN整理為a?2【詳解】∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ABEF，則以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BE,則A2,0,0，C0,0,2，F(xiàn)2,2,0∵CM=BN=a，∴Ma2,0,2?∴MN=2則MN=a∴當(dāng)a=2時(shí)，MN最小，最小值為2故選：A.二、多選題34．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知O0,0,0，OA=?1,2,1，OB=?1,2,?1A．ABB．AC與BC夾角余弦值為35C．與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為66,?D．OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為?【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)先算出AB,BC，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算AB?BC是否為0來(lái)判斷；B選項(xiàng)先算出【詳解】AB=OB?根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，AB?BC=0AC=OC?根據(jù)夾角公式，cosAC與OA平行的單位向量為：e=±OAOA=±(?1,2,1)根據(jù)投影向量的坐標(biāo)公式，OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為：OA?故選：ABC35．（2023春·浙江·高二浙江省開(kāi)化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知O0,0,0，OA=?1,2,1，OB=?1,2,?1A．ABB．△ABC是等腰直角三角形C．與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為66,?D．OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為?【答案】AC【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的加減法得出AB坐標(biāo)，再利用向量的模長(zhǎng)公式|AB|=(x1?x2)【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，AB∴|ABAC∴|BC∴|計(jì)算可得，△ABC三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與OA平行的單位向量為：e選項(xiàng)C正確；OA在OB方向上的投影向量與OB向量共線，?2故選：AC.36．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點(diǎn)P，使得GP⊥BP，則邊CG長(zhǎng)度的可能值為（

）A．2 B．22 C．4 D．【答案】CD【分析】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=a,P（x,0,z），則x2=za【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=a,Px,0,z，則x2=又B2,2,0所以BP=由PB⊥PG，得PB?顯然x≠0且x≠2，則x∈0,2所以a2因?yàn)閤∈0,2，所以2x?所以a2=16故選：CD.37．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AD=AB=1A．A1M⊥MN B．MDC．△BNC面積的最大值為116 D．三棱錐C【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M,N坐標(biāo)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得參數(shù)關(guān)系，繼而判斷A，B，C，由等體積法轉(zhuǎn)化后判斷D．【詳解】如圖，

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AM=m（0<m<1），BN=n（則A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)，M(1,m,0)，N(1,1,n)，D1選項(xiàng)A，由A1M=（0,m,?2)，所以A選項(xiàng)B，MD?MB1=m2選項(xiàng)C，由?m2+m?2n=0得n=?12m2+12m選項(xiàng)D，△A1C1D1面積是定值，M到平面A1故選：ACD三、填空題38．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎猘=1,1,0，b=?1,0,2，若向量ka+【答案】1或?1【分析】先求出ka+b【詳解】由a=1,1,0，則ka+b又向量ka+b與a+kb則有k?1=λ1?kk=λ2=2λk，解得k=1故答案為：1或?1．39．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知a=?3,2,5，b=1,5,?1，則【答案】44【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】由于a+3所以a?故答案為：4440．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E【答案】?【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y,z，由正六邊形的性質(zhì)可知?【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，

由正六邊形的性質(zhì)可得，A0,0,0設(shè)Px,y,z，其中?所以AB=1,0,0，所以AB?AP=x，所以AB故答案為：?141．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知向量m=a,b,0，n=①向量n與z軸正方向的夾角恒為定值(即與c，d無(wú)關(guān))；②m?n的最大值為③m,n(m,④若定義u×v=u·其中正確的命題有．(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))【答案】①③④【分析】①取z軸的正方向單位向量a=0,0,1，求出a與②計(jì)算m?③利用數(shù)量積求出m,④根據(jù)定義求出m×【詳解】①取z軸的正方向單位向量a=則cosn,a=n?a②m?當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d時(shí)取等號(hào)，因此m?③由②可得m?n≤1∴cosm∴m,n的最大值為④由③可知：?2∴π4≤m,n綜上可知，正確的命題序號(hào)是①③④．故答案為：①③④.四、解答題42．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【答案】(1)32(2)3010【分析】（1）以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CC1所在直線分別為（2）利用向量夾角運(yùn)算公式計(jì)算cosB【詳解】（1）如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，依題意得B0,1,0，N1,0,1，M(0,12∴MN=所以M,N的距離為32（2）依題意得A11,0,2，B0,1,0，C∴BA1=BA1?CB∴cosB43．（2022秋·甘肅·高二校聯(lián)考期中）（1）求與向量a=(2,?1,2)共線且滿足方程a?b（2）已知A(2,?1,2)，B(4,5,?1)，C(?2,2,3)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)使得AP=（3）已知a=(3,5,?4)，b=(2,1,8)，求：①a?b；②a與b夾角的余弦值；③確定λ、μ的值使