人口預測與控制人口問題是當今世界上最令人關注的問題之一.一些發(fā)展中國家的人口出生率過高,越來越嚴重地威脅著人類的正常生活,有些發(fā)達國家的自然增長率趨近于零,甚至變負,造成勞動力短缺,也是不容忽視的問題.對于我國來說,尤其為甚.建立數(shù)學模型對人口發(fā)展過程進行描述,分析和預測,并進而研究控制人口增長和老化的生育策略,已引起有關專家,官員和社會各方面的極大關注和興趣,是數(shù)學在社會發(fā)展中的重要應用領域.我們可以建立人口的指數(shù)增長模型和阻滯增長模型(Logistic模型),但是這些模型只考慮人口總數(shù)和總的增長率,不涉及年齡結構.但在實際上,在人口預測這人口按年齡分布狀況是十分重要的,因為不同年齡人的生育率和死亡率有著很大的差別.兩個國家或地區(qū)目前人口總數(shù)一樣,如果一個國家或地區(qū)年青人的比例高于另一個國家或地區(qū),那么兩者人口的發(fā)展狀況將大不一樣.因此考慮人口按年齡的分布,除了時間是一個變量,年齡也是一個變量.如果用連續(xù)性模型來描述它,就要用偏微分方程來描述.但在實際應用中連續(xù)模型很不方便,需要建立相應的離散模型.因為作為已知的輸入數(shù)據是離散的,要得到的輸出數(shù)據也是離散的,再者對連續(xù)模型求解也是非常困難的.因此我們選擇建立一個離散性模型來描述,用差分方程來實現(xiàn)它.

人口發(fā)展方程

時間以年為單位,年齡按周歲計算,設最大年齡為m歲,記為第t年i歲(滿i周歲而不到i+1周歲)的人數(shù),.只考慮由于生育,老化和死亡引起的人口演變,而不計遷移等社會因素的影響.記為第t年i歲人口的死亡率,即于是

記為第t年i歲女性生育率,即每位女性平均生生育率,為育齡區(qū)間,為第t年i歲人口的女性比,則第t年的出生人數(shù)為記為第t年嬰兒死亡率,即第t年出生但未活到人口統(tǒng)計時刻的嬰兒比例(嬰兒死亡率通常較高,在人口統(tǒng)計和建模中一般都不能忽略),于是對于i=0將(2),(3)代入(1)得:將是生育模式,用于調整育齡婦女在不同年齡時生育率的高低,滿足可知表示第t年每個育齡婦女平均生育的人數(shù).若設在t年后的一個育齡時期內各個年齡的女性生育率都不變,那么又可表示為即是第t年歲的每位婦女一生平均生育的人數(shù),稱為總和生育率,或生育胎次,是控制人口數(shù)量的主要參數(shù).生育模式是i歲婦女生育的加權因子,若

表示歲婦女的生育率比歲婦女的生育率高。制訂生育政策就是確定,通過控制生育的多少,通過可以控制生育的早晚和疏密.將(5)式代入(4)式,并記則(4)式寫作引入向量,矩陣記號那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以記作這個向量形式的一階差分方程就是人口發(fā)展方程.當初始人口分布x(0)已知,又由統(tǒng)計資料確定了A(t),B(t),并且給定了總和生育率以后,用這個方程不難預測人口的發(fā)展方程.在控制理論中,X(t)成為狀態(tài)變量,可將作為控制變量.在穩(wěn)定的社會環(huán)境下可認為死亡率,生育模式和女性比不隨時間變化.于是A(t),B(t)為常數(shù)矩陣,(14)化為注:這里有兩個明顯的人口指數(shù):1)人口總數(shù)N(t)

2)平均年齡R(t)我國人口總數(shù)的預測