高2023級第一次模擬考試

數(shù)學試題參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一是符合題目要求。

1.D2.C3.A4.B

5.B6.D7.B8.A

8．解：設儲物盒所在球的半徑為R，如圖，小球最大半徑r

滿足(+1)r=R，所以r==(1)R，正方體的最

2

大棱長a滿足(a)R，解得a=R，l=·i3a，

所以

二、多選題：本題共3個小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選

對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。

9.AD10.BC11.BCD

11．解：由題，ln，平方得a2=ln(1+a2)，又ln(1+x)<x(x>0)，

ann+1n

則22，即，故單調(diào)遞減，選項錯誤

an+1<anan+1<an{an}A.

考慮函數(shù)f=ln求導得f,故f(x)單

調(diào)遞增，又，2，所以即，選項正確

f(0)=0an>0lnaB.

由，則，由，累加得因此，

a+1>>+a1=an

選項C正確.

由an故

，選項正確

a1+a2+...+a99>2s2(1001)=18s2D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.±113.8014.8，(第一空2分，第二空3分)

14.解：由OP=2，x+y=2，所以面積S=8,

x2

設()，則lMN=x1-x2+ex1-1-e，

x2

Mx1,ex1-1,Nx2,e

x2

則MN在x1=x2或ex1-1=e時，取得最小值，

若x1=x2，則令，則，令，解得，

xx

g(x)=e-ex+1g'(x)=e-eg'(x)=0x=1

當()時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當x∈(-∞,1)時，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

x∈1,+∞g'(x)>0g(x)

則時，，即；

MNmin=1

x=1g(x)min=e-e+1=1

若，即有，則令，

x2

ex1-1=ex2=ln(ex1-1)h(x)=x-ln(ex-1)

則，令，解得，

h'(x)=1-h'(x)=0x=1+

當(時，，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，

x∈-∞,1+h'(x)<0

當)時，，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，

x∈1+,+∞h'(x)>0

則時，；

111

x=1+h(x)min=h1+=

e1ee

綜上所述，MN=.

mine

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15．解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為2an+1-an=n+2，

(2a2-a1=3

則{，……2分

l2a3-a2=4

(a+2d=3a=1

1解得{(1……分

即{，，4

la1+3d=4ld=1

所以an=a1+(n-1)d=n.則數(shù)列{an}的通項公式為an=n.……6分

n-1

（2）因為數(shù)列{an+bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則an+bn=2，……8分

n-1

又因為an=n，所以bn=2-n.……9分

設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，

則2n-1

Sn=(1+2+4++)-(1+2+3++n)……10分

所以數(shù)列{bn}的前n項和為2n-1-.……13分

16．解：（1）如圖，設BC=3，取AD的中點H，連接BH．……1分

因為AD=2BC，所以BC=DH．

又AD//BC，BC丄CD，BC=CD，所以四邊形BCDH為正方形，

所以AB=BD=3，AD=6．……3分

因為AB2+BD2=AD2，所以BD丄AB．........4

分

又平面ABEF丄平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，BD平面ABCD，

所以BD丄平面ABEF．.......5

分

因為BD平面BDG，所以平面BDG丄平面ABEF．……6分

（2）因為平面ABEF丄平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

BE丄AB，BE平面ABEF，所以BE丄平面ABCD，

BH,BC平面ABCD，所以BE丄BH，BE丄BC，由（1）BH丄BC，

所以BH，BC，BE兩兩垂直，

以B為原點，，，的方向分別為x,y,z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系．設BC=3，……8分

則(3-30)B(000)D(330)

A,,，,,，,,，G(0,1,2·、)，

所以(30)……分

=,3,，BG=(0,1,2、)．9

設平面BDG的法向量為=(x,y,z)，

則取x=1，得……11分

因為BD丄AB，BE丄AB，BE∩BD=B，BE,BD平面BED，

所以AB丄平面BDE，所以平面BDE的一個法向量為=(3,-3,0)，……13分

BA.n4

設平面EBD與平面GBD的夾角為θ,則cosθ==

BAn17

即平面EBD與平面GBD夾角的余弦值為．……15分

17．解：（1）丫bcosC+3csinB=1+2c=a+2c，

……2分

:在△ABC中，由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA+2sinC，……3分

由三角形內(nèi)角和為180可得sinA=sin(B+C)，

:sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC，

即sinCsinB-cosBsinC=2sinC，

”00<C<1800，:sinC≠0，:sinB-cosB=2,sinB-cosB=1，

即sin(B-30)=1，……5分

又0<B<180，:B-30=90，即B=120.……7分

（2）設AC=AD，令上DCA=上CDA=α,上CAD=180-2α,

在ΔACD中，由正弦定理得，CD

:AC……9分

在ΔABC中，由正弦定理得，上BAC=α-60，BC=1，

:AC……11分

:sin(α-60)=cosα=sin(90-α)，解得α=750.……

13分:LCAD=180。-2α=30。，

……15分

18．解：（1）由題，甲在第三局獲勝，此時甲必須連勝3局，故p……2分

甲在第五局獲勝，此時，乙在前三局中獲勝一局，

其余局數(shù)都是甲獲勝，故p5=C……5分

（2）由題，X的取值為-3，-2，-1,0,1,2,3，故q3=1，q-3=0，記事件Ak為X=k時，甲最終獲得

訓練賽勝利，則qk=P(Ak)，考慮下一局比賽，事件B為甲獲勝，由全概率公式得，

P(Ak)=P(Ak|B)P(B)+P(Ak|B)P(B)，即P(Ak)=P(Ak+1)P(B)+P(Ak-1)P(B)，

因此qkqkqk-1.……8分

整理得qk+1-qk=2(qk-qk-1)，因此{qk+1-qk}是公比為2的等比數(shù)列.……11分

（3）由題，甲獲得訓練賽勝利的概率為q0.

記ak=qk+1-qk，則q3-q-3=a2+a1+a0+a-1+a-2+a-3=1，……13分

2345

由公比為2，則a-3(1+2+2+2+2+2)=1，故a-3=.……15分

因為a-3+a-2+a-1=a-3+2a-3+4a

又a-3+a-2+a-1=(q-2-q-3)+(q-1-q-2)+(q0-q-1)=q0-q-3=q0，所以q0=.

1

即甲獲得訓練賽勝利的概率為……分

.17

9

19．解：（1）由g,(x)=1-lnx，……1分

當0<x<e時，g,(x)>0，則g(x)單調(diào)遞增；……2分

當x>e時，g,(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減.……3分

故g(x)的增區(qū)間為(0，e)，減區(qū)間為(e，+∞)；……4分

（）①設直線與曲線=和曲線=分別切于點，，

2lyfa1(x)yfa2(x)P(x1,k)Q(x2,k)

xx1x1x1

由=+，則e+a=0，e+ax-a=k，消去a1得，(2-x1e=k，

fa1,(x)ea11111)

x2x

同理(2-x2)e=k；故方程(2-x)e=k有兩個不同的解.……6分

設h(x)=(2-x)ex，h,(x)=(1-x)ex，當x<1時，h,(x)>0，則h(x)單調(diào)遞增；當x>1時，

h,(x)<0,則h(x)單調(diào)遞減.……7分

當k∈(0,e)時，h(1)=e>k，h(2)=0<k，因此彐x2∈(1,2)使得h(x2)=k；

由x所以，則，因此使得

eek-1hk彐xh

當k∈(-∞,0]時，由x≤1，h(x)>0，又h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，

故方程(2-x)ex=k至多一個解.

當k∈[e,+∞)時，由h(x)≤h（1）=e，故方程(2-x)ex=k至多一個解.

綜上，k的取值范圍為(0,e).（說明：用極限證明扣1分）……9分

②選擇(ⅰ)

x1x2

由①知(2-x1)e=k，(2-x2)e=k，x1<1，1<x2<2，

x1x2

故(2-lnex1)e=(2-lnex2)e=k，即g(ex1)=g(ex2)=k.……11分

考慮函數(shù)m(x)=g(x)-x=x(1-lnx),x∈(0,e)，故m(x)>0，

x1x1x1

由e∈(0,e)，得m(ex1)=g(ex1)-e=k-e>0，即k>ex1.……13分

考慮函數(shù)n(x)=g(x)+x-e2=x(3-lnx)-e2，x∈(e,e2)，n,(x)=2-lnx