第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣22．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm3．（3分）如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，添加以下哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab25．（3分）下列因式分解變形正確的是（）A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a﹣1）2 C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）6．（3分）將分式中的x、y的值同時擴(kuò)大2倍，則分式的值（）A．?dāng)U大2倍 B．縮小到原來的 C．保持不變 D．無法確定7．（3分）多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±208．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．49．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C10．（3分）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二．填空題（共6小題，滿分18分）11．（3分）計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是．12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為．13．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝．14．（3分）若2m＝5，4n＝3，則2m+2n＝．15．（3分）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動．若∠BDE＝75°，則∠CDE＝°．16．（3分）如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是．三．解答題（本題共9題，合計(jì)72分）17．（4分）計(jì)算：a3?a+（﹣a2）3÷a2．18．（4分）已知：如圖，BC＝DC，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADC．19．（6分）已知2x2﹣7x＝7，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．20．（6分）先化簡，然后從﹣1≤x≤2的范圍內(nèi)選取一個你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值，21．（8分）如圖所示，（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）作△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，求a﹣b的值．22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝BE，連接AE，BD是∠ABC的角平分線，交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度數(shù)；（2）求證：DE＝AD．23．（10分）如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．（1）尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過點(diǎn)B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延長線，與BE相交于點(diǎn)E．（2）求證：△BEC是等邊△BEC；（3）求證：∠AMN＝60°．24．（12分）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是；（2）如圖2所示的大正方形，是由四個三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個正方形拼成，試通過兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，如果直角三角形兩直角邊滿足a+b＝17，ab＝60，求斜邊c的值．25．（12分）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC為邊在點(diǎn)A的另一側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)F，G分別在線段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF＝BG，CG與DF相交于點(diǎn)H，延長DF交AC于E．（1）求證：△EHC是等邊三角形；（2）試判斷線段AE和DH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若點(diǎn)M是AC邊上的動點(diǎn)，AB＝a，AE＝b，BC＝c，求△BMD周長的最小值（結(jié)果用含a，b，c的整式表示）．

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2【分析】分式有意義時，分母x﹣2≠0，由此求得x的取值范圍．【解答】解：依題意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零．2．（3分）若一個三角形的兩邊長分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】首先設(shè)第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．【解答】解：設(shè)第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3．（3分）如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，添加以下哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理判斷．【解答】解：A、當(dāng)∠B＝∠C時，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；B、當(dāng)AE＝AD時，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；C、當(dāng)BD＝CE時，得到AD＝AE，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；D、當(dāng)BE＝CD時，不能判定△ABE≌△ACD；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、a3?a4＝a7，故A不符合題意；B、a2+a2＝2a2，故B不符合題意；C、（a3）4＝a12，故C符合題意；D、（ab）2＝a2b2，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．（3分）下列因式分解變形正確的是（）A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a﹣1）2 C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判斷對錯．【解答】解：∵選項(xiàng)A提取公因式不徹底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A錯誤；a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故選項(xiàng)B正確；﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故選項(xiàng)C錯誤；a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故選項(xiàng)D錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解決本題的關(guān)鍵．6．（3分）將分式中的x、y的值同時擴(kuò)大2倍，則分式的值（）A．?dāng)U大2倍 B．縮小到原來的 C．保持不變 D．無法確定【分析】應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，x、y的值同時擴(kuò)大2倍，＝＝．所以分式的值不變．故選：C．【點(diǎn)評】本題重要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．7．（3分）多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±20【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解答】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25∴m＝±10故選：C．【點(diǎn)評】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDC＝30°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，從而得到∠ABD＝∠A，根據(jù)等角對等邊可得AD＝BD，從而得解．【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2BC＝2×1＝2，∵∠C＝90°，∠A＝15°，∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)熟記解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【分析】證明△ADE≌△ADB即可判斷A，B正確，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，證明∠EDC＝∠BAC即可．【解答】解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正確，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．（3分）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】過點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．證明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：過點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正確，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正確，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四邊形ABCP＝S四邊形KBDP＝2S△PBD．故④正確．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共6小題，滿分18分）11．（3分）計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是﹣2a3b．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：a2?（﹣6ab）＝×（﹣6）a2+1b＝﹣2a3b．故答案為：﹣2a3b．【點(diǎn)評】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的掌握．12．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為6．【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則內(nèi)角和是720度，720÷180+2＝6，∴這個多邊形的邊數(shù)為6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．13．（3分）因式分解：x2y﹣4y＝y(tǒng)（x﹣2）（x+2）．【分析】首先提取公因式y(tǒng)，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y(tǒng)（x2﹣4）＝y(tǒng)（x﹣2）（x+2）．故答案為：y（x﹣2）（x+2）．【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．14．（3分）若2m＝5，4n＝3，則2m+2n＝15．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解．【解答】解：4n＝22n＝3，2m+2n＝2m?22n＝5×3＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則．15．（3分）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動．若∠BDE＝75°，則∠CDE＝80°．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性質(zhì)可得∠O＝25°，即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是30°．【分析】連接CF，由條件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BAE≌△BCF，從而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，依據(jù)當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，DF+BF的最小值等于線段BG長，可得△BDF的周長最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠DBF的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，DF+BF的最小值等于線段BG長，且BG⊥CG時，△BDF的周長最小，由軸對稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．三．解答題（本題共9題，合計(jì)72分）17．（4分）計(jì)算：a3?a+（﹣a2）3÷a2．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法的運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則解答即可．【解答】解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2＝a4﹣a6÷a2＝a4﹣a4＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和除法的運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．（4分）已知：如圖，BC＝DC，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADC．【分析】根據(jù)∠1＝∠2，求得∠ACB＝∠ACD，再利用SAS即可求證結(jié)論【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC＝AC，BC＝DC，∴△ABC≌△ADC．【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．19．（6分）已知2x2﹣7x＝7，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式化簡，把2x2﹣7x＝7代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）＝4x2﹣12x+9﹣2x2﹣x+6x+3＝2x2﹣7x+12，當(dāng)2x2﹣7x＝7時，原式＝7+12＝19．【點(diǎn)評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（6分）先化簡，然后從﹣1≤x≤2的范圍內(nèi)選取一個你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再選取使分式有意義的x的值代入計(jì)算可得．【解答】解：原式＝?＝，∵x≠±1，x≠2，∴可取x＝0，則原式＝﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．21．（8分）如圖所示，（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）作△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，求a﹣b的值．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出坐標(biāo)即可；（2）作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1、C1即可；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出a、b的值即可；【解答】解：（1）C（﹣2，﹣1）．（2）△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1如圖所示；如圖，B1（﹣3，1）．（3）∵A（1，2）與A2（a，b）關(guān)于x軸對稱，可得：a＝1，b＝﹣2，∴a﹣b＝3．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝BE，連接AE，BD是∠ABC的角平分線，交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度數(shù)；（2）求證：DE＝AD．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；（2）證明△ABD≌△EBD（SAS），即可解決問題．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝BE，BD是∠ABC的角平分線，∴BD⊥AE，∠ABD＝∠CBD＝ABE＝20°，∴∠AFD＝90°，∠ADB＝90°﹣20°＝70°，∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°；（2）證明：在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形．23．（10分）如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．（1）尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過點(diǎn)B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延長線，與BE相交于點(diǎn)E．（2）求證：△BEC是等邊△BEC；（3）求證：∠AMN＝60°．【分析】（1）以B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB、BC兩邊為D和F，以F為圓心，以DF為半徑畫弧，交前弧于G，作射線BG，交NC的延長線于E，則∠CBE＝∠CBA；（2）證明△BCE三個角都是60°，可得結(jié)論；（3）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△ABM≌△EBM（SAS），得AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，證明∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACH＝120°，∵CN平分∠ACH，∴∠HCN＝∠BCE＝60°，∵∠CBE＝∠CBA＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BEC是等邊△BEC；（3）證明：連接ME，∵△ABC和△BCE是等邊三角形，∴AB＝BC＝BE，在△ABM和△EBM中，∵，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，∵AM＝MN，∴MN＝EM，∴∠N＝∠CEM，∵∠HCN＝∠N+∠CMN＝60°，∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝60°，∴∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝∠AMN+∠CMN，∴∠AMN＝60°．【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，作一個角等于已知角的基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵．24．（12分）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）如圖2所示的大正方形，是由四個三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個正方形拼成，試通過兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，如果直角三角形兩直角邊滿足a+b＝17，ab＝60，求斜邊c的值．【分析】（1）陰影部分是兩個正方形的面積和，陰影部分也可以看出大正方形的面積減去兩個長方形的面積即可得出答案；（2）中間的是邊長為c的正方形，因此面積為c2，也可以從邊長為（a+b）正方形面積減去四個直角三角形的面積即可；（3）利用（2）中的結(jié)論，代入計(jì)算即可．【解答】解（1）方法一：陰影部分是兩個正方形的面積和，即a2+b2；方法二：陰影部分也可以看作邊長為（a+b）的面積，減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，即（a+b）2﹣2ab，由兩種方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）中間正方形的邊長為c，因此面積為c2，也可以看作從邊長為（a+b）的面積減去四個兩條直角邊分別a、b的面積，即c2＝（a+b）2﹣2ab，也就是c2＝a2+b2，所以c2＝a2+b2；（3）∵a+b＝17，ab＝60，∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝172﹣2×60＝169，∴c＝13，答：斜邊的長為13．【點(diǎn)評】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，將公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問題的關(guān)鍵．25．（12分）如圖，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC為邊在點(diǎn)A的另一側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)F，G分別在線段BC，BD上，∠C