第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省廣州市花都區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若分式2x-1有意義，則xA．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞13．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．a(chǎn)3+a4＝a74．（3分）安裝空調(diào)一般會采用如圖的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短5．（3分）分式方程1xA．x＝1 B．x＝﹣2 C．x=12 D．6．（3分）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+17．（3分）如圖，已知AB∥DE，AC∥DF，下面四個條件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠A＝∠D8．（3分）用9根同樣長的木棒擺成一個三角形，最長的邊最多可以由（）根木棒組成．A．3根 B．4根 C．5根 D．6根9．（3分）如圖，等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，點H為BC邊上的垂足．小花放入一張等邊三角形紙片BDE，E在BC上，F(xiàn)為AH與DE的交點，小都又放一張等邊三角形紙片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形紙片的底邊BC長應為（）A．8 B．10 C．11 D．1310．（3分）唐詩《古從軍行》中“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍怎樣走才能使總路程最短”？如圖，在平面直角坐標系中，將軍從A（4，0）出發(fā)，先到山脈m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置飲馬后返回到A點，且m與n的夾角為30°，則將軍所走的最短總路程為（）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分．）11．（3分）在平面直角坐標系中，點A（1，﹣2）關于x軸對稱的點的坐標為．12．（3分）若m+2＝3，則2m?22＝．13．（3分）已知多邊形的各個內(nèi)角都等于150°，則這個多邊形的邊數(shù)為．14．（3分）從2，a2﹣4，a+2中任選兩個代數(shù)式，組成一個最簡分式．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長CB至D，使DB＝BA，延長BC至E，使CE＝CA，連接AD，AE，則∠DAE＝°．16．（3分）如圖，直線m是線段AB的垂直平分線，點C是直線m上位于AB上方的一動點，連接CA和CB，以CA為直角邊，點C為直角頂點，在直線m的左側(cè)作等腰直角三角形CAD，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E，交直線AC于點F，連接DB，與直線m交于點G，連接CE．則在點C運動的過程中，以下結(jié)論：①DC＝BC，②AC＝DF，③直線CE垂直平分線段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正確的是（請?zhí)钊胝_的序號）．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）17．（4分）計算：（x﹣2）（x+3）．18．（4分）如圖，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB，求證：∠E＝∠C．19．（6分）先化簡(x20．（6分）周老師在課堂上給出了一道練習題：選擇一組x，y的值，求式子（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024的值．數(shù)數(shù)和學學展開了如下討論：數(shù)數(shù)說：“如果x，y取值不同，則原式的值就不同．”學學說：“無論x，y取何值，原式的值都不變．”你同意哪位同學的觀點．請說明理由．21．（8分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，連接AD、CE交于點F，且△ABD≌△CFD．（1）求證：△ADC是等腰直角三角形；（2）若S△BCE＝15，S△AEF＝3，求四邊形BEFD的面積．22．（10分）為了建設“綠惠九龍?理想森活”示范區(qū)，花都區(qū)以“山與湖的率真”為設計愿景，對九龍湖環(huán)湖步道進行提升改造．步道總長8000米，現(xiàn)由甲、乙兩個工程隊承包這項改造工程．已知乙隊每天改造的長度比甲隊多40米．（1）若乙隊每天改造的長度是甲隊每天改造長度的2倍，則甲隊每天要改造多少米？（2）若甲隊負責改造3000米，剩下的由乙隊完成，則兩隊改造時間相同，求甲、乙兩隊每天各改造多少米？23．（10分）基本知識：通過用兩種不同方法計算圖1的面積，發(fā)現(xiàn)：（a+b）2＝a2+2ab+b2恒成立．基于此，請解答下列問題：（1）直接應用：若ab＝4，a+b＝5，直接寫出a2+b2的值為；（2）類比應用：若a（3﹣a）＝2，則a2+（3﹣a）2＝；（3）拓展遷移：為落實國家勞動實踐教育的政策，使同學們體驗勞動的快樂，掌握勞動技能．某學校計劃組織八年級的學生在學校實踐園開展勞動實踐活動．首先在實踐園用柵欄圍成一個△ABC區(qū)域，用來種植草坪（如圖2），其中AC⊥AB于點A，AC與AB兩邊的長度和為30m，然后再以AC，AB為邊分別向外擴建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分別種植三角梅和月季花，向外擴建的兩個正方形面積和為500m2．請根據(jù)題意求種植草坪的△ABC的面積．24．（12分）綜合與實踐背景【直角三角形中角平分線與垂直平分線的探究與發(fā)現(xiàn)】南南和北北兩位同學對幾何學習非常感興趣，在八年級上冊的幾何學習后，他們倆相約著對直角三角形背景下的角平分線與垂直平分線進行了一番探究，有了一些有意思的發(fā)現(xiàn)．素材如圖1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°．操作：南南和北北畫出∠CAB的角平分線AE與AB的垂直平分線DE，AE與DE交于點E．發(fā)現(xiàn)：當AC長度不變，BC長度變化時，點E的位置也會隨之變化．當點E位于某個特殊位置時，∠B的度數(shù)、一些線段之間的長度關系會存在一定的特殊性．問題解決任務1在如圖2所示的直角三角形中，南南發(fā)現(xiàn)：點E正好落在邊BC上．（1）請利用尺規(guī)作圖幫助南南找出點E的位置．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）任務2（2）點E在圖2的位置時，南南和北北發(fā)現(xiàn)：①∠B＝；②BE＝2CE，請證明這一發(fā)現(xiàn)．任務3（3）繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn)，如圖3所示，C、E、D三點共線，此時，南南和北北又有了新的發(fā)現(xiàn)：①∠B＝；②若已知AD＝a，BC＝b，則能用含字母a、b的式子表示線段DE的長度．請寫出DE的長度，并說明理由．25．（12分）如圖，在等邊△ABC中，BD⊥AC于點D，作∠ACB的平分線CF，交BD于點O，OD＝20cm，點H從點C出發(fā)以每秒3cm的速度沿射線CF運動，連接BH，以BH為邊，在BH的右側(cè)作等邊△BHE，連接OE．（1）求線段OC的長．（2）點H在運動的過程中，BE與CE是否始終保持相等？若相等，請證明；若不相等，請說明理由．（3）點H在運動的過程中，連接DE，當DE取得最小值時，求點H的運動時間．

2024-2025學年廣東省廣州市花都區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCBAAADBCA一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）若分式2x-1有意義，則xA．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x＞1【分析】根據(jù)分母不為零的條件進行解題即可．【解答】解：根據(jù)題意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故選：C．【點評】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分母不為零的條件是解題的關鍵．3．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．a(chǎn)3+a4＝a7【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；合并同類項法則；對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、a3?a4＝a7，故此選項不符合題意；B、（a2）3＝a6，故此選項符合題意；C、a6÷a3＝a3，故此選項不符合題意；D、a3與a4不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關鍵．4．（3分）安裝空調(diào)一般會采用如圖的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可進行解答．【解答】解：根據(jù)題意可得，圖中的幾何原理為：三角形具有穩(wěn)定性；故選：A．【點評】本題主要考查了三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握三角形具有穩(wěn)定性．5．（3分）分式方程1xA．x＝1 B．x＝﹣2 C．x=12 D．【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．【解答】解：1xx+1＝2x，x＝1，檢驗，當x＝1時，x（x+1）≠0，∴x＝1是原分式方程的解，故選：A．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．6．（3分）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此逐項判斷即可．【解答】解：x2+x＝x（x+1）符合因式分解的定義，則A符合題意；（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法運算，則B不符合題意；（x+1）2＝x2+2x+1是完全平方公式，則C不符合題意；x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1中等號右邊不是積的形式，則D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．7．（3分）如圖，已知AB∥DE，AC∥DF，下面四個條件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DF D．∠A＝∠D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，再結(jié)合圖形和全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答．【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，A、添加BC＝EF，利用ASA判定△ABC和△DEF全等；B、添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用ASA判定△ABC和△DEF全等；C、添加AC＝DF，利用AAS判定△ABC和△DEF全等；D、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC和△DEF全等；故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關鍵．8．（3分）用9根同樣長的木棒擺成一個三角形，最長的邊最多可以由（）根木棒組成．A．3根 B．4根 C．5根 D．6根【分析】設三角形的最長邊由x根木棒組成，由三角形三邊關系定理得：9﹣x＞x，求出x＜4.5，即可得到答案．【解答】解：設三角形的最長邊由x根木棒組成，則三角形的另兩邊的和由（9﹣x）根木棒組成，由三角形三邊關系定理得：9﹣x＞x，∴x＜4.5，∴三角形的最長邊最多由4根木棒組成．故選：B．【點評】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．9．（3分）如圖，等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，點H為BC邊上的垂足．小花放入一張等邊三角形紙片BDE，E在BC上，F(xiàn)為AH與DE的交點，小都又放一張等邊三角形紙片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形紙片的底邊BC長應為（）A．8 B．10 C．11 D．13【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出BH＝CH，GH＝EH，得到BG＝CE＝3，即可求出BC的長．【解答】解：∵AB＝AC，△EFG是等邊三角形，AH⊥BC，∴BH＝CH，GH＝EH，∴BH﹣GH＝CH﹣EH，∴BG＝CE＝3，∵GE＝FE＝5，∴BC＝BG+GE+CE＝3+5+3＝11．故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出BG＝CE．10．（3分）唐詩《古從軍行》中“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，隱含了一個有趣的數(shù)學問題——“將軍怎樣走才能使總路程最短”？如圖，在平面直角坐標系中，將軍從A（4，0）出發(fā)，先到山脈m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置飲馬后返回到A點，且m與n的夾角為30°，則將軍所走的最短總路程為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到最短路徑，再根基等邊三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：過A作m、n的對稱點D、E，連接DE，OD，OE，交m、n于B、C，此時△BAC的周長最小，則：OD＝OA＝OE，∴∠DOM＝∠MOA，∠AON＝∠EAN，∴∠DAE＝2∠MON＝60°，∴△DOE是等邊三角形，∴DE＝OD＝OA＝4，故選：A．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路徑問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分．）11．（3分）在平面直角坐標系中，點A（1，﹣2）關于x軸對稱的點的坐標為（1，2）．【分析】根據(jù)關于x軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)即可得出答案．【解答】解：點A關于x軸的對稱的點的坐標為（1，2），故答案為：（1，2）．【點評】本題考查了關于x軸對稱的點的坐標特征，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．12．（3分）若m+2＝3，則2m?22＝8．【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加計算，再代入求值即可．【解答】解：∵m+2＝3，∴2m?22＝2m+2＝23＝8，故答案為：8．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．13．（3分）已知多邊形的各個內(nèi)角都等于150°，則這個多邊形的邊數(shù)為12．【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和是360度求出n的值即可．【解答】解：∵多邊形的各個內(nèi)角都等于150°，∴每個外角為30°，設這個多邊形的邊數(shù)為n，則30°n＝360°，解得n＝12．故答案為：12．【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解答此類問題時要找到不變量，即多邊形的外角是360°這一關鍵．14．（3分）從2，a2﹣4，a+2中任選兩個代數(shù)式，組成一個最簡分式2a+2（答案不唯一）【分析】根據(jù)最簡分式的定義解答即可．【解答】解：最簡分式可以是2a+2故答案為：2a+2【點評】本題考查了最簡分式，分式的分子、分母沒有公因式，即為最簡分式．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長CB至D，使DB＝BA，延長BC至E，使CE＝CA，連接AD，AE，則∠DAE＝115°．【分析】由題意知△ABD和△ACE均為等腰三角形，可由三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，由三角形的外角與內(nèi)角的關系求得∠D與∠E的度數(shù)，然后即可求得∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵DB＝BA，∴∠D＝∠DAB，∵∠ABC＝∠D+∠DAB，∴∠D＝∠DAB＝25°，同理可得，∠E＝∠CAE＝40°，∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝25°+50°+40°＝115°，故答案為：115．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等邊對等角、三角形的外角與內(nèi)角的關系、三角形的內(nèi)角和定理是解答本題的關鍵．16．（3分）如圖，直線m是線段AB的垂直平分線，點C是直線m上位于AB上方的一動點，連接CA和CB，以CA為直角邊，點C為直角頂點，在直線m的左側(cè)作等腰直角三角形CAD，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E，交直線AC于點F，連接DB，與直線m交于點G，連接CE．則在點C運動的過程中，以下結(jié)論：①DC＝BC，②AC＝DF，③直線CE垂直平分線段DB，④△DAF≌△BGC，⑤∠ACE＝∠CDG中，正確的是①③⑤（請?zhí)钊胝_的序號）．【分析】根據(jù)題干逐一判斷每一選項．【解答】解：∵直線m是AB的垂直平分線，∴CA＝CB，∵△ACD是等腰直角三角形，∴CA＝CD，∴DC＝BC，故①正確，符合題意；∵CA＝CD，DF＞CD，∴DF＞AC，故②不正確，符合題意；過C作CM⊥CE，則CM＝CE，∠MCE＝90°，∴△MCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACM，在△DCE和△ACM中，CD=CA∠DCE=∠ACM∴△DCE≌△ACM（SAS），∴DE＝AM，設直線m交AB于點O，則OE＝OM．OA＝OB，∴AE＝BM，∴AM＝BE＝DE，∵AC＝BC，∴CE垂直平分線段BD，故③正確，符合題意；∵DF＞AC＝BC，∴△DAF不全等于△BGC，故④錯誤，不符合題意；∵DE＝BE，∴△BDE為等腰直角三角形，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠CDG＝45°﹣∠CDF，∵△MCE是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，∴∠ACE＝∠CEM﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE，∵∠AEF＝∠DCF＝90°，∠AFE＝∠DFC，∴∠CAE＝∠CDF，∴∠ACE＝∠CDG，故⑤正確，符合題意；綜上，①③⑤正確，故答案為：①③⑤；【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性強，難度大，利用等腰直角構(gòu)造手拉手全等是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）17．（4分）計算：（x﹣2）（x+3）．【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6．【點評】此題主要考查了多項式乘以多項式運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．18．（4分）如圖，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB，求證：∠E＝∠C．【分析】利用SAS證明△EAD≌△CAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【解答】證明：在△EAD和△CAB中，AE=AC∠EAD=∠CAB∴△EAD≌△CAB（SAS），∴∠E＝∠C．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．19．（6分）先化簡(x【分析】先把括號內(nèi)通分，再進行同分母的減法運算，接著把除法運算化為乘法運算，則約分得到原式＝3x，然后根據(jù)分式有意義的條件，x取任意一數(shù)（其中0、2、﹣2除外）代入計算即可．【解答】解：原式=x2=(x+2)(x-2)x-2?＝3x，∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0，∴x可以取1，當x＝1時，原式＝3×1＝3．【點評】本題考查了分式的混合運算，解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．20．（6分）周老師在課堂上給出了一道練習題：選擇一組x，y的值，求式子（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024的值．數(shù)數(shù)和學學展開了如下討論：數(shù)數(shù)說：“如果x，y取值不同，則原式的值就不同．”學學說：“無論x，y取何值，原式的值都不變．”你同意哪位同學的觀點．請說明理由．【分析】利用同底數(shù)冪的除法，單項式乘多項式，完全平方公式進行計算，即可解答．【解答】解：我同意學學同學的觀點，理由：（x﹣y）2+x（2y﹣x）﹣（y3÷y）+2024＝x2﹣2xy+y2+2xy﹣x2﹣y2+2024＝2024，∴無論x，y取何值，原式的值都不變．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，同底數(shù)冪的除法，單項式乘多項式，完全平方公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．21．（8分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，連接AD、CE交于點F，且△ABD≌△CFD．（1）求證：△ADC是等腰直角三角形；（2）若S△BCE＝15，S△AEF＝3，求四邊形BEFD的面積．【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)推出∠ADB＝∠FDC，AD＝CD，由鄰補角的性質(zhì)得到∠ADB+∠FDC＝180°，求出∠ADB＝90°，推出△ADC是等腰直角三角形；（2）求出△ABD的面積+△CDF的面積＝15+3＝18，得到△ABD的面積＝△CDF的面積=12×【解答】（1）證明：∵△ABD≌△CFD，∴∠ADB＝∠FDC，AD＝CD，∵∠ADB+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形；（2）解：∵S△BCE＝15，S△AEF＝3，∴△ABD的面積+△CDF的面積＝15+3＝18，∵△ABD≌△CFD，∴△ABD的面積＝△CDF的面積=1∴四邊形BEFD的面積＝△ABD的面積﹣△AEF的面積＝9﹣3＝6．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，關鍵是由全等三角形的性質(zhì)推出∠ADB＝∠FDC，AD＝CD．22．（10分）為了建設“綠惠九龍?理想森活”示范區(qū)，花都區(qū)以“山與湖的率真”為設計愿景，對九龍湖環(huán)湖步道進行提升改造．步道總長8000米，現(xiàn)由甲、乙兩個工程隊承包這項改造工程．已知乙隊每天改造的長度比甲隊多40米．（1）若乙隊每天改造的長度是甲隊每天改造長度的2倍，則甲隊每天要改造多少米？（2）若甲隊負責改造3000米，剩下的由乙隊完成，則兩隊改造時間相同，求甲、乙兩隊每天各改造多少米？【分析】（1）設甲隊每天要改造x米，則乙隊每天要改造（x+40）米，根據(jù)乙隊每天改造的長度是甲隊每天改造長度的2倍，列出一元一次方程，解方程即可；（2）設甲隊每天要改造m米，則乙隊每天要改造（m+40）米，根據(jù)甲隊負責改造3000米，剩下的由乙隊完成，則兩隊改造時間相同，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）設甲隊每天要改造x米，則乙隊每天要改造（x+40）米，由題意得：x+40＝2x，解得：x＝40，答：甲隊每天要改造40米；（2）設甲隊每天要改造m米，則乙隊每天要改造（m+40）米，由題意得：3000m解得：m＝60，經(jīng)檢驗，m＝60是原方程的解，且符合題意，∴m+40＝100，答：甲隊每天要改造60米，乙隊每天要改造100米．【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出分式方程方程．23．（10分）基本知識：通過用兩種不同方法計算圖1的面積，發(fā)現(xiàn)：（a+b）2＝a2+2ab+b2恒成立．基于此，請解答下列問題：（1）直接應用：若ab＝4，a+b＝5，直接寫出a2+b2的值為17；（2）類比應用：若a（3﹣a）＝2，則a2+（3﹣a）2＝5；（3）拓展遷移：為落實國家勞動實踐教育的政策，使同學們體驗勞動的快樂，掌握勞動技能．某學校計劃組織八年級的學生在學校實踐園開展勞動實踐活動．首先在實踐園用柵欄圍成一個△ABC區(qū)域，用來種植草坪（如圖2），其中AC⊥AB于點A，AC與AB兩邊的長度和為30m，然后再以AC，AB為邊分別向外擴建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分別種植三角梅和月季花，向外擴建的兩個正方形面積和為500m2．請根據(jù)題意求種植草坪的△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2代入計算即可；（2）設x＝a，y＝3﹣a，由題意得xy＝2，x+y＝3，根據(jù)a2+（3﹣a）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy代入計算即可；（3）設AC＝a，AB＝b，由題意得，a+b＝30，a2+b2＝500，根據(jù)12ab=14[（a+b）2﹣（a2+【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，ab＝4，a+b＝5，∴52＝a2+2×4+b2，∴a2+b2＝17，故答案為：17；（2）設x＝a，y＝3﹣a，則xy＝a（3﹣a）＝2，x+y＝3，所以a2+（3﹣a）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝9﹣4＝5，故答案為：5；（3）設AC＝a，AB＝b，由題意得，a+b＝AC+AB＝30cm，a2+b2＝500cm2，所以S△ABC=12AC=1=12×12[（a+b）2﹣（a=1＝100．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關鍵．24．（12分）綜合與實踐背景【直角三角形中角平分線與垂直平分線的探究與發(fā)現(xiàn)】南南和北北兩位同學對幾何學習非常感興趣，在八年級上冊的幾何學習后，他們倆相約著對直角三角形背景下的角平分線與垂直平分線進行了一番探究，有了一些有意思的發(fā)現(xiàn)．素材如圖1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°．操作：南南和北北畫出∠CAB的角平分線AE與AB的垂直平分線DE，AE與DE交于點E．發(fā)現(xiàn)：當AC長度不變，BC長度變化時，點E的位置也會隨之變化．當點E位于某個特殊位置時，∠B的度數(shù)、一些線段之間的長度關系會存在一定的特殊性．問題解決任務1在如圖2所示的直角三角形中，南南發(fā)現(xiàn)：點E正好落在邊BC上．（1）請利用尺規(guī)作圖幫助南南找出點E的位置．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）任務2（2）點E在圖2的位置時，南南和北北發(fā)現(xiàn)：①∠B＝30°；②BE＝2CE，請證明這一發(fā)現(xiàn)．任務3（3）繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn)，如圖3所示，C、E、D三點共線，此時，南南和北北又有了新的發(fā)現(xiàn)：①∠B＝45°；②若已知AD＝a，BC＝b，則能用含字母a、b的式子表示線段DE的長度．請寫出DE的長度，并說明理由．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出圖形即可；（2）①根據(jù)角平分線定義設∠BAE＝∠CAE＝α，則∠BAC＝2α根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，則∠B＝∠BAE＝α，然后根據(jù)∠B+∠BAC＝90°得α＝30°，由此可得∠B的度數(shù)；②在Rt△ACE中，根據(jù)∠CAE＝α＝30°得AE＝2CE，再根據(jù)AE＝BE即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BC＝AC＝b，則△ABC是等腰直角三角形由此可得∠B的度數(shù)；②線段DE的長度為b﹣a．過點E作EF⊥AC于點F，證明DE＝EF＝CF，AD＝AF即可．【解答】（1）解：作∠CAB的角平分線AE，如圖2所示：（2）①解：∵AE平分∠CAB，∴設∠BAE＝∠CAE＝α，∴∠BAC＝2α∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE＝α，在△ABC中，∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴α+2α＝90°，解得：α＝30°，∴∠B＝α＝30°，故答案為：30°；②證明：在Rt△ACE中，∠CAE＝α＝30°，∴AE＝2CE，∵AE＝BE，∴BE＝2CE；（3）①解：∵AB的垂直平分線為DE，C、E、D三點共線，∴BC＝AC＝b，∴△ABC是等腰直角三角形∴∠B＝∠DAC＝45°，故答案為：45°；②解：線段DE的長度為（2-1）a過點E作EF⊥AC于點F，如圖3所示：∵EF⊥AC，ED⊥AB，AE平分∠CAB，∴∠AFE＝∠ADE＝90°，∠EAF＝∠EAD，∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED（AAS），∴DE＝EF，AD＝AF＝a，∵CD垂直平分線段AB，∴CA＝CB＝b，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴AD＝BD＝a，∴b=2a∵∠CFE＝90°，∴∠FEC＝∠FCE＝45