第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）如果2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一個根，則k的值是（）A．2 B．4 C．﹣2 D．±22．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如果將拋物線y＝x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+34．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝35．（3分）下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．購買1張體育彩票中獎 B．從地面發(fā)射1枚導(dǎo)彈，未擊中空中目標(biāo) C．汽車?yán)鄯e行駛10000km，從未出現(xiàn)故障 D．從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球6．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝110°，則∠A的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．70° D．30°7．（3分）一種藥品原價每盒25元，經(jīng)過兩次降價后每盒16元．設(shè)兩次降價的百分率都為x，則x滿足（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝168．（3分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，隨機(jī)摸出一個小球，然后放回，再隨機(jī)摸出一個小球，兩次摸出的小球標(biāo)號的和為5的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB'C'（點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′），連接CC'．若∠CC'B'＝20°，則∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點D在邊BC上，CD＝3，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，那么r的取值范圍是（）A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是．12．（3分）拋物線y＝2（x﹣3）2+7的頂點坐標(biāo)是．13．（3分）如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑．已知∠BAC＝25°，則∠P的度數(shù)為．14．（3分）已知點A（a，1）與點B（5，b）是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b＝．15．（3分）如圖，圓錐的高AO＝4，底面圓半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x，當(dāng)﹣1＜x＜a時，y隨x的增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（4分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的長．18．（4分）解方程：x2+6x+4＝0．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC三個頂點都在格點上，點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．解答下列問題：（1）畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點B1的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C1，并求出點A1經(jīng)過的路徑長．20．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并求它與x軸的交點坐標(biāo)；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大？21．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．22．（10分）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬4米．（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，請在圖中畫出坐標(biāo)系，并求出拋物線的解析式；（2）當(dāng)水面下降1米時，水面寬度增加了多少米？23．（10分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽．（1）若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求選中乙同學(xué)的概率；（2）請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．24．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC與∠ABC的角平分線相交于點E，AE的延長線交△ABC的外接圓于點D，連接BD．（1）求證：∠BAD＝∠DBC；（2）證明：點B、E、C在以點D為圓心的同一個圓上；（3）若AB＝5，BC＝8，求△ABC內(nèi)心與外心之間的距離．25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上，且經(jīng)過點A（0，）（1）若此拋物線經(jīng)過點B（2，﹣），且與x軸相交于點E，F(xiàn)．①填空：b＝（用含a的代數(shù)式表示）；②當(dāng)EF2的值最小時，求拋物線的解析式；（2）若a＝，當(dāng)0≤x≤1，拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求b的值．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）如果2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一個根，則k的值是（）A．2 B．4 C．﹣2 D．±2【分析】把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：把x＝2代入x2﹣k＝0得4﹣k＝0，解得k＝4．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出．【解答】解：A、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確；B、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．3．（3分）如果將拋物線y＝x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵拋物線y＝x2+2向下平移1個單位，∴拋物線的解析式為y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．故選：C．【點評】主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．4．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0時，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3【分析】把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上1，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．【解答】解：x2+2x＝1，x2+2x+1＝2，（x+1）2＝2．故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．5．（3分）下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．購買1張體育彩票中獎 B．從地面發(fā)射1枚導(dǎo)彈，未擊中空中目標(biāo) C．汽車?yán)鄯e行駛10000km，從未出現(xiàn)故障 D．從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球【分析】根據(jù)必然事件，隨機(jī)事件，不可能事件的定義判斷即可．【解答】解：A．購買1張體育彩票中獎，這是隨機(jī)事件，故A不符合題意；B．從地面發(fā)射1枚導(dǎo)彈，未擊中空中目標(biāo)，這是隨機(jī)事件，故B不符合題意；C．汽車?yán)鄯e行駛10000km，從未出現(xiàn)故障，這是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D．從一個只裝有白球和紅球的袋中摸球，摸出黃球，這是不可能事件，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握必然事件，隨機(jī)事件，不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝110°，則∠A的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．70° D．30°【分析】由⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝110°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BOC＝110°，∴∠A＝∠BOC＝×110°＝55°．故選：B．【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．7．（3分）一種藥品原價每盒25元，經(jīng)過兩次降價后每盒16元．設(shè)兩次降價的百分率都為x，則x滿足（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16【分析】等量關(guān)系為：原價×（1﹣降價的百分率）2＝現(xiàn)價，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：第一次降價后的價格為：25×（1﹣x）；第二次降價后的價格為：25×（1﹣x）2；∵兩次降價后的價格為16元，∴25（1﹣x）2＝16．故選：D．【點評】本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．8．（3分）一個不透明的口袋中有三個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，隨機(jī)摸出一個小球，然后放回，再隨機(jī)摸出一個小球，兩次摸出的小球標(biāo)號的和為5的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的小球標(biāo)號和5為的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：共有9種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的小球標(biāo)號的和為5的有2種，∴兩次摸出的小球標(biāo)號的和為5的概率是，故選：B．【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB'C'（點B的對應(yīng)點是點B′，點C的對應(yīng)點是點C′），連接CC'．若∠CC'B'＝20°，則∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠B＝∠AB'C'，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACC'＝45°，由外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB'C'，∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠B＝∠AB'C'，∴∠ACC'＝45°，∴∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'＝45°+20°＝65°，∴∠B＝∠AB'C'＝65°，故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點D在邊BC上，CD＝3，以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，那么r的取值范圍是（）A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，進(jìn)而得出BD的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝90，AC＝4，CD＝3，∴AD＝＝＝5．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．∵以點D為圓心作⊙D，其半徑長為r，要使點A恰在⊙D外，點B在⊙D內(nèi)，∴r的范圍是4＜r＜5，故選：A．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的解是x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接開平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案為：x1＝3，x2＝﹣3．【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關(guān)鍵．12．（3分）拋物線y＝2（x﹣3）2+7的頂點坐標(biāo)是（3，7）．【分析】已知拋物線解析式為頂點式，可直接寫出頂點坐標(biāo)．【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2+7為拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，7），故答案為（3，7）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點式是解答此題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑．已知∠BAC＝25°，則∠P的度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)切線長定理得等腰△PAB，運用內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：根據(jù)切線的性質(zhì)定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°．根據(jù)切線長定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝65°，所以∠P＝50°．故答案為：50°．【點評】此題綜合運用了切線的性質(zhì)定理和切線長定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．14．（3分）已知點A（a，1）與點B（5，b）是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b＝﹣6．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可直接得到a、b的值，再算出a+b即可．【解答】解：∵點A（a，1）與點B（5，b）是關(guān)于原點O的對稱點，∴a＝﹣5，b＝﹣1，∴a+b＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．15．（3分）如圖，圓錐的高AO＝4，底面圓半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為15π．【分析】先利用勾股定理計算出圓錐的母線長，然后利用扇形的面積公式計算．【解答】解：∵圓錐的高AO＝4，底面圓半徑為3，∴圓錐的母線長＝＝5，∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×3×5＝15π．故答案為：15π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x，當(dāng)﹣1＜x＜a時，y隨x的增大而增大，則實數(shù)a的取值范圍是﹣1＜a≤1．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)當(dāng)﹣1＜x＜a時，y隨x的增大而增大和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到a的取值范圍．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1，∵當(dāng)﹣1＜x＜a時，y隨x的增大而增大，∴﹣1＜a≤1，故答案為：﹣1＜a≤1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出a的取值范圍，注意a要大于﹣1．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（4分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的長．【分析】連接OC，由垂徑定理知CE＝CD，再由勾股定理得出CE＝4，從而得出CD的長．【解答】解：連接OC，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD，OC＝OA＝OB＝5，∴OE＝OB﹣EB＝5﹣2＝3，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．（4分）解方程：x2+6x+4＝0．【分析】找出a，b及c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：這里a＝1，b＝6，c＝4，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣3±，則x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程時，首先將方程整理為一般形式，找出a，b及c的值，計算出根的判別式的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于0時，代入求根公式即可求出解．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC三個頂點都在格點上，點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．解答下列問題：（1）畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點B1的坐標(biāo)；（2）畫出△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C1，并求出點A1經(jīng)過的路徑長．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．【解答】解：（1）如圖，B1（4，1）；（2）如圖，A1走過的路徑長：×2×π×2＝π．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及弧長的計算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對應(yīng)頂點的位置是解題的關(guān)鍵．20．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，并求它與x軸的交點坐標(biāo)；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大？【分析】（1）頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），與x軸的交點的坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0）以及拋物線與y軸的交點和其關(guān)于對稱軸的對稱點，然后用五點法畫出函數(shù)圖象；（2）由圖象可得當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大．【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），令y＝0，則0＝x2﹣4x+3，解得x1＝1，x2＝3，∴與x軸的交點的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），令x＝0，則y＝3，∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為（0，3），∵拋物線對稱軸為直線x＝2，∴（0，3）關(guān)于x＝2對稱的點（4，3）也在拋物線上，用五點法畫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象，（2）由（1）中的函數(shù)圖象知，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，找到頂點及對稱軸，根據(jù)對稱軸取點是解題的關(guān)鍵一步．21．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）寫出一個滿足條件的m的值，并求此時方程的根．【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根即可得出Δ＞0，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）結(jié)論，令m＝1，將m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m＝1，此時原方程為x2+3x＝0，即x（x+3）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3．【點評】本題考查了根的判別式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出關(guān)于m的一元一次不等式；（2）選取m的值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．22．（10分）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬4米．（1）以拋物線的頂點為原點，拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，請在圖中畫出坐標(biāo)系，并求出拋物線的解析式；（2）當(dāng)水面下降1米時，水面寬度增加了多少米？【分析】（1）根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；（2）再根據(jù)通過把y＝﹣1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解答】解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可得：頂點坐標(biāo)為（0，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，把點坐標(biāo)（﹣2，﹣2）代入得出：a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣0.5x2；（2）當(dāng)水面下降1米，即當(dāng)y＝﹣3時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣3與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把y＝﹣3代入拋物線解析式得出：﹣3＝﹣0.5x2，解得：x＝±，所以水面寬度增加到2米，答：當(dāng)水面下降1米時，水面寬度增加了（2﹣4）米．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．23．（10分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽．（1）若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求選中乙同學(xué)的概率；（2）請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，確定甲打第一場，再從其余的三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、乙兩人的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，確定甲打第一場，再從其余的三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，∴恰好選到丁的概率是；（2）畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中甲、乙兩人的有2種情況，∴恰好選中甲、乙兩人的概率為＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC與∠ABC的角平分線相交于點E，AE的延長線交△ABC的外接圓于點D，連接BD．（1）求證：∠BAD＝∠DBC；（2）證明：點B、E、C在以點D為圓心的同一個圓上；（3）若AB＝5，BC＝8，求△ABC內(nèi)心與外心之間的距離．【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得∠2＝∠DBC，再由AD平分∠BAC，得∠1＝∠2，從而證明結(jié)論；（2）由，得BD＝CD，再根據(jù)∠BED＝∠1+∠3，∠DBE＝∠4+∠DBC，得∠DBE＝∠BEO，從而有BD＝DE，即可證明；（3）由題意知E為內(nèi)心，O為△ABC外心，設(shè)BO＝x，OH＝x﹣3，則BO2＝BH2+OH2，可求出BO的長，再根據(jù)勾股定理求出BD的長，而BD＝BD，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC；（2）證明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴，連接CD，∴BD＝CD，∵BE平分∠ABE，∴∠3＝∠4，∵∠BED＝∠1+∠3，∠DBE＝∠4+∠DBC，∴∠DBE＝∠BEO，∴BD＝DE，∴BD＝DE＝DC，∴點B、E、C在以點D為圓心的同一個圓上；（3）解：連接OB，∵AD是⊙O的直徑，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴BH＝，在Rt△ABH中，AH＝3，在Rt△BHO中，設(shè)BO＝x，OH＝x﹣3，則BO2＝BH2+OH2，即x2＝16+（x﹣3）2，解得：x＝，即BO＝，∴AD＝，∵AD為直徑，∴∠ABD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝，∴DE＝，∴OE＝，∵E為△ABC角平分線的交點，∴E為內(nèi)心，∴OE為△ABC內(nèi)心與外心之間的距離，∴△ABC內(nèi)心與外心之間的距離為．【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了圓