1數(shù)值分析NumericalAnalysis2第一章數(shù)值計(jì)算引論1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差1.3誤差的定性分析與避免誤差危害1.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)3第一章數(shù)值計(jì)算引論1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差1.3誤差的定性分析與避免誤差危害1.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)2026/1/201.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)4數(shù)值分析：又稱為數(shù)值計(jì)算方法、計(jì)算方法研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題數(shù)值解的相關(guān)數(shù)學(xué)理論、算法設(shè)計(jì)和軟件實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算算法設(shè)計(jì)(理論分析)、計(jì)算機(jī)求解應(yīng)用：天體物理、國(guó)防軍事、集成電路、大氣研究、分子生物等數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)

2026/1/205應(yīng)用舉例例2：計(jì)算積分

1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)2026/1/206數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)

數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)具有可靠的理論分析誤差、穩(wěn)定性、收斂性良好的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)間復(fù)雜性、空間復(fù)雜性面向計(jì)算機(jī)1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)7第一章數(shù)值計(jì)算引論1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差1.3誤差的定性分析與避免誤差危害1.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)2026/1/208誤差的來源：

1.由實(shí)際問題抽象、簡(jiǎn)化出數(shù)學(xué)模型——模型誤差

2.數(shù)學(xué)模型中通過觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)得到的數(shù)據(jù)——觀測(cè)誤差3.數(shù)值方法求解數(shù)學(xué)模型——截?cái)嗾`差(方法誤差)

4.計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制——舍入誤差1.2數(shù)值計(jì)算的誤差假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的，不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差，主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.誤差解：利用

的泰勒展開可得例1.2.1：利用泰勒展開近似計(jì)算2026/1/209

1.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差2026/1/2010誤差

計(jì)算過程中保留小數(shù)點(diǎn)后6位舍入誤差舍入誤差的絕對(duì)值計(jì)算積分的總誤差1.2數(shù)值計(jì)算的誤差

2026/1/20111.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字

絕對(duì)誤差限的大小反映了近似值與精確值的差距(越小越好)，但不能準(zhǔn)確地刻畫近似值的精確程度.2026/1/20121.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字

近似值的精確程度與絕對(duì)誤差有關(guān)，還與準(zhǔn)確值本身有關(guān)

2026/1/20131.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字

近似值的精確程度取決于相對(duì)誤差

的大小例1.2.2

已知

，令，求

2026/1/20141.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字分別有幾位有效數(shù)字？3,4

2026/1/20151.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字利用即可證明定理2026/1/20161.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差與有效數(shù)字例1.2.3求

的有效數(shù)字和相對(duì)誤差限

相對(duì)誤差限為

至少取6位有效數(shù)字若，且和具有相同的數(shù)量級(jí)，很小時(shí)，有2026/1/20171.2數(shù)值計(jì)算的誤差函數(shù)值的誤差估計(jì)

2026/1/20181.2數(shù)值計(jì)算的誤差

函數(shù)值的誤差估計(jì)19第一章數(shù)值計(jì)算引論1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差1.3誤差的定性分析與避免誤差危害1.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)2026/1/20201.3誤差的定性分析與避免誤差危害誤差的定性分析數(shù)值計(jì)算中誤差分析很重要，但也很復(fù)雜在計(jì)算過程中誤差會(huì)傳播、累積或?qū)ο茖W(xué)計(jì)算中要進(jìn)行千萬次以上的運(yùn)算，每步計(jì)算都含有誤差，每步都做誤差分析不太現(xiàn)實(shí)定量的誤差分析工作量大，通常估計(jì)的誤差遠(yuǎn)大于實(shí)際誤差，為確保數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可靠性，通常只對(duì)數(shù)值計(jì)算問題進(jìn)行定性分析．定性分析的核心：分析原始數(shù)據(jù)的誤差和計(jì)算中產(chǎn)生的誤差對(duì)最終計(jì)算結(jié)果的影響(判別計(jì)算過程中誤差會(huì)不會(huì)被任意放大)2026/1/20211.3誤差的定性分析與避免誤差危害誤差的定性分析定性分析包括研究數(shù)值問題的適定性，數(shù)值問題與原問題的相容性，數(shù)值算法的穩(wěn)定性數(shù)值問題的適定性：(1)解的存在唯一性；(2)解對(duì)于輸入數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性.(2)表示數(shù)值問題本身的性態(tài)：如果輸入數(shù)據(jù)的微小擾動(dòng)會(huì)引起輸出數(shù)據(jù)（即計(jì)算結(jié)果）的很大變化(誤差)，則稱該數(shù)值問題是病態(tài)的，否則稱其是良態(tài)的.2026/1/20221.3誤差的定性分析與避免誤差危害數(shù)值問題的性態(tài)

條件數(shù)越大，問題病態(tài)越嚴(yán)重病態(tài)是問題本身固有的性質(zhì)，與數(shù)值算法無關(guān)對(duì)于病態(tài)問題，需謹(jǐn)慎選擇數(shù)值算法

2026/1/20231.3誤差的定性分析與避免誤差危害誤差的定性分析求解線性方程組

問題病態(tài)！解：(方法一)利用分部積分可得2026/1/20241.3誤差的定性分析與避免誤差危害數(shù)值方法的穩(wěn)定性定義1.3.1若算法中輸入數(shù)據(jù)有誤差，但在計(jì)算過程中舍入誤差不增長(zhǎng)，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱算法不穩(wěn)定．例1.3.2：計(jì)算積分(保留5位有效數(shù)字).按照上式計(jì)算得2026/1/20251.3誤差的定性分析與避免誤差危害數(shù)值方法的穩(wěn)定性方法一不穩(wěn)定！(方法二)將遞推式等價(jià)表示為根據(jù)

2026/1/20261.3誤差的定性分析與避免誤差危害數(shù)值方法的穩(wěn)定性方法二是數(shù)值穩(wěn)定的誤差不增長(zhǎng)算法的穩(wěn)定性是數(shù)值計(jì)算中非常重要的性質(zhì)。數(shù)值計(jì)算中不要采用不穩(wěn)定的算法！2026/1/20271.3誤差的定性分析與避免誤差危害避免誤差危害的若干原則一、簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)例1.3.2：計(jì)算多項(xiàng)式方法一：

方法二：2026/1/20281.3誤差的定性分析與避免誤差危害避免誤差危害的若干原則

秦九韶算法或Horner算法美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓說過，秦九韶是“他那個(gè)民族，他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”若按照進(jìn)行計(jì)算：2026/1/20291.3誤差的定性分析與避免誤差危害避免誤差危害的若干原則二、避免兩個(gè)相近的數(shù)相減，防止有效數(shù)字損失

幾種常見的避免有效數(shù)字位數(shù)損失的變換公式2026/1/20301.3誤差的定性分析與避免誤差危害避免誤差危害的若干原則三、避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值也可能會(huì)產(chǎn)生溢出(超出計(jì)算機(jī)所能表示的范圍)四、注意運(yùn)算次序，防止大數(shù)“吃”小數(shù)例1.3.4：在8位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上計(jì)算2026/1/20311.3誤差的定性分析與避免誤差危害避免誤差危害的若干原則為避免“大數(shù)吃小數(shù)”，應(yīng)按照絕對(duì)值由小到大的順序進(jìn)行計(jì)算．先計(jì)算再計(jì)算32第一章數(shù)值計(jì)算引論1.1數(shù)值計(jì)算的對(duì)象和特點(diǎn)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差1.3誤差的定性分析與避免誤差危害1.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)

2026/1/20331.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量范數(shù)常見的范數(shù)1-范數(shù):2-范數(shù):

2026/1/20341.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量范數(shù)與向量?jī)?nèi)積

向量范數(shù)中條件(3)

向量?jī)?nèi)積2026/1/20351.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量?jī)?nèi)積

柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式

2026/1/20361.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量?jī)?nèi)積

柯西-施瓦茨不等式可表示為

2026/1/20371.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量范數(shù)的性質(zhì)

2026/1/20381.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)向量范數(shù)

范數(shù)的等價(jià)性2026/1/20391.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)矩陣范數(shù)

Frobenius范數(shù)簡(jiǎn)稱F-范數(shù)

2026/1/20401.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)

矩陣范數(shù)2026/1/20411.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)常用的算子范數(shù)

例1.4.1：已知，求.

矩陣范數(shù)

2026/1/20421.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)矩陣范數(shù)2026/1/20431.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)矩陣范數(shù)的性質(zhì)

2026/1/20441.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)連續(xù)函數(shù)的范數(shù)

2026/1/20451.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)連續(xù)函數(shù)的內(nèi)積

2026/1/20461.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)連續(xù)函數(shù)內(nèi)積的性質(zhì)

2026/1/20471.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)連續(xù)函數(shù)的范數(shù)常用的連續(xù)函數(shù)范數(shù)柯西-施瓦茨不等式例1.4.3設(shè)函數(shù)

，計(jì)算

2026/1/20481.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)函數(shù)族的相關(guān)性

2026/1/20491.4向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)的范數(shù)范數(shù)族的相關(guān)性

2026/1/2050第一章數(shù)值計(jì)算引論本章小結(jié)絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的基本概念誤差定性分析(數(shù)值問題的性態(tài)、數(shù)值算法的穩(wěn)定性)避免誤差危害的若干原則

向量、矩陣和連續(xù)函數(shù)范數(shù)的概念及性質(zhì)51第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法52第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法

2026/1/202.1方程求根53非線性方程

2026/1/202.1方程求根54非線性方程通常沒有固定的求解規(guī)律，很難直接求得其解析解，因而在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常利用數(shù)值方法計(jì)算其近似解．

非線性方程求根問題(1)存在性，(2)確定有根區(qū)間或隔離區(qū)間，(3)根的精確化2026/1/202.1方程求根55

非線性方程可能有(無窮)多個(gè)解，一般要強(qiáng)調(diào)求解區(qū)間

考慮非線性方程

非線性方程

2026/1/202.1方程求根56隔離區(qū)間

2026/1/202.1方程求根57方程求根

解：從0開始取步長(zhǎng)為1，逐步對(duì)方程的根進(jìn)行搜索0123456

58第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法基本思想：將有根區(qū)間對(duì)分，找出根所在的小區(qū)間，再對(duì)該小區(qū)間對(duì)分，依次類推，直到有根區(qū)間的長(zhǎng)度足夠小2026/1/202.2二分法59二分法

2026/1/202.2二分法60算法2.2.1：(二分法)

二分法2026/1/202.2二分法61

二分法總是收斂的二分法

2026/1/202.2二分法620010.5000100.50000.2500200.25000.125030.12500.25000.187540.12500.18750.156350.15630.18750.171960.17190.18750.1797解：當(dāng)二分6次時(shí)，能滿足要求的精度

二分法2026/1/202.2二分法63

優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、易于編程實(shí)現(xiàn)，總是收斂缺點(diǎn)：收斂慢，不能求復(fù)根和偶數(shù)重根，一次只能求一個(gè)根

通常將二分法和其它方法結(jié)合起來使用，用其計(jì)算解的一個(gè)

粗糙近似14次二分法64第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法2026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法65不動(dòng)點(diǎn)迭代法基本思想

是

的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

不動(dòng)點(diǎn)迭代2026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法66

不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何表示不動(dòng)點(diǎn)迭代法2026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法67

不動(dòng)點(diǎn)迭代法2026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法68例2.3.1用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解方程取初值解：方法一：15.750002379.218753109068514.64789不收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代法2026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法69例2.3.1用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解方程取初值方法二：方法三：不動(dòng)點(diǎn)迭代法方法方法二方法三11.077221.1600021.012711.0240331.002111.0006741.000351.0000051.000061.000002026/1/202.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法法70不動(dòng)點(diǎn)迭代法

2026/1/2071不動(dòng)點(diǎn)迭代法的全局收斂性

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性2026/1/2072全局收斂性

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性2026/1/2073例2.3.1中方法一：例2.3.1中方法二：例2.3.1中方法三：2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性

發(fā)散

(全局)收斂

收斂全局收斂性2026/1/2074局部收斂性與收斂階

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性2026/1/2075不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性

局部收斂2026/1/2076

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性

局部收斂取初始值為：不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階方法方法一方法二方法三11.500001.750001.7500022.000001.001.734381.7321431.500001.732361.7320542.000001.001.732091.7320551.500001.732061.7320562.000001.001.732051.732052026/1/20772.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階

2026/1/20782.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階2026/1/2079

2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性

不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階

2026/1/2080

一階收斂(線性收斂)2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法法及其收斂性

二階收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代法的局部收斂性與收斂階81第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法2026/1/2082埃特金(Aitken)加速收斂法2.4迭代加速收斂的方法

2026/1/20832.4迭代加速收斂的方法

埃特金(Aitken)加速收斂法2026/1/2084史蒂芬森(Steffensen)加速迭代2.4迭代加速收斂的方法基本思想:將Aitken加速技巧與不動(dòng)點(diǎn)迭代相結(jié)合Steffensen迭代

2026/1/20852.4迭代加速收斂的方法

原來不收斂的迭代，Steffensen加速可能收斂史蒂芬森(Steffensen)加速迭代

2026/1/20862.4迭代加速收斂的方法方法不動(dòng)點(diǎn)迭代史蒂芬森迭代13.098613.1467423.130953.1461933.14134

43.14465

53.14570

史蒂芬森(Steffensen)加速迭代

2026/1/20872.4迭代加速收斂的方法11.7500021.7321431.7320541.7320551.73205

史蒂芬森(Steffensen)加速迭代88第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法2026/1/2089牛頓(Newton)迭代法2.5牛頓迭代法

以直代曲

2026/1/20902.5牛頓迭代法

非線性函數(shù)線性化

迭代函數(shù):

牛頓(Newton)迭代法

2026/1/20912.5牛頓迭代法

10.5710220.5671630.56714牛頓(Newton)迭代法2026/1/20922.5牛頓迭代法

10.6065320.5452430.5797040.5600650.5711760.5648670.5684480.5664190.56756100.56691牛頓(Newton)迭代法

2026/1/2093牛頓(Newton)迭代法的收斂性2.5牛頓迭代法

二階局部收斂

2026/1/2094牛頓(Newton)下山法2.5牛頓迭代法

改進(jìn)方法：要求每一步迭代滿足下降條件

保證全局收斂

具體做法：加下山因子

k

下山因子的取法：

從

k=1開始，逐次減半，直到滿足下降條件為止

2026/1/20952.5牛頓迭代法

牛頓(Newton)下山法

2026/1/2096牛頓法重根時(shí)的修正2.5牛頓迭代法

且

解法一：直接使用Newton法局部線性收斂解法二：改進(jìn)的Newton法

至少二階局部收斂缺點(diǎn)：需要知道m(xù)

的值

2026/1/20972.5牛頓迭代法

解法三：用Newton法解

(x)=0，其中

迭代格式：至少二階收斂

牛頓法重根時(shí)的修正

2026/1/20982.5牛頓迭代法方法一：Newton法方法二：改進(jìn)的Newton法方法三：用Newton法解

(x)=0

牛頓法重根時(shí)的修正2026/1/20992.5牛頓迭代法方法一方法二方法三11.316671.433331.3953521.367251.414341.4140931.39113

41.40277

51.40851

61.41137

71.41279

81.41350

牛頓法重根時(shí)的修正100第二章非線性方程求根2.1方程求根2.2二分法2.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性2.4迭代加速收斂的方法2.5牛頓迭代法2.6割線法與拋物線法避免計(jì)算Newton法中的導(dǎo)數(shù)，且使其盡可能地保持較高的收斂性（超線性收斂）2026/1/20101割線法2.6割線法與拋物線法用差商代替導(dǎo)數(shù)

割線法迭代格式：

k=1,2,3,...割線法需要提供兩個(gè)迭代初始值2026/1/201022.6割線法與拋物線法xyx*xk-1xk

xk+1割線法2026/1/201032.6割線法與拋物線法

割線法

2026/1/201042.6割線法與拋物線法00.5000010.9000020.5505730.5631140.5672050.56714割線法2026/1/20105拋物線法2.6割線法與拋物線法

f(x)yxk-2xk-1xkxk+1y=p(x)

2026/1/201062.6割線法與拋物線法

計(jì)算過程(1)求過三點(diǎn)的二次多項(xiàng)式

取靠近xk的那個(gè)交點(diǎn)作為新的近似值

拋物線法2026/1/201072.6割線法與拋物線法在一定條件下可以證明：拋物線法的收斂階為

與割線法相比，拋物線法具有更高的收斂階

拋物線法需提供三個(gè)初始值

拋物線法也稱為Müller法拋物線法可能涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，有時(shí)可以用來求復(fù)根拋物線法2026/1/20108第二章非線性方程求根本章小結(jié)二分法不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性(全局收斂、局部收斂、收斂速度)牛頓迭代法及其改進(jìn)方法(牛頓下山、重根情形)割線法和拋物線法109第三章線性方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法與三角分解3.2常用的矩陣三角分解法3.3方程組的性態(tài)與誤差分析3.4解線性方程組的迭代法110第三章線性方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法與三角分解3.2常用的矩陣三角分解法3.3方程組的性態(tài)與誤差分析3.4解線性方程組的迭代法直接法：適合低階方程組或某些特殊大型稀疏方程組迭代法：求解大型稀疏線性方程組的主流算法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解111線性方程組矩陣非奇異由克萊姆法則進(jìn)行計(jì)算需要次乘法例3.1.1：用高斯消去法解方程組2026/1/203.1高斯消去法與三角分解112高斯消去法解：第一次消元：令第一個(gè)方程乘以-1加到第二個(gè)方程，乘以加到第三個(gè)方程第二次消元：令第二個(gè)方程乘以加到第三個(gè)方程可得

2026/1/203.1高斯消去法與三角分解113記

高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解114

高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解115

高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解116

高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解117

回代(解上三角方程)：

主元：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件：主元全不為0高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解118算法3.1.1：(順序高斯消去法)輸入矩陣和(消元)對(duì)于，如果，算法失效，停止計(jì)算.否則，計(jì)算以及(回代)計(jì)算方程組的解高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解119消元過程中乘除法的運(yùn)算次數(shù)：

加減法的運(yùn)算次數(shù)：回代過程中乘除法的運(yùn)算次數(shù)為

加減法的運(yùn)算次數(shù)為順序高斯消元法乘除法的運(yùn)算次數(shù)為加減法的運(yùn)算次數(shù)為高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解120矩陣的三角分解

第k步消元等價(jià)于2026/1/203.1高斯消去法與三角分解121單位下三角矩陣

由此可知，等價(jià)于且

矩陣的三角分解

2026/1/203.1高斯消去法與三角分解122

令單位下三角矩陣為上三角矩陣矩陣的三角分解2026/1/203.1高斯消去法與三角分解123由的表達(dá)式，直接計(jì)算可得矩陣的三角分解

2026/1/203.1高斯消去法與三角分解124矩陣的三角分解不一定存在

矩陣的三角分解

2026/1/203.1高斯消去法與三角分解125

矩陣的三角分解例3.1.2：用高斯消去法解方程組(用4位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算)2026/1/203.1高斯消去法與三角分解126列主元高斯消去法解：方程存在唯一解.方法一：順序高斯消去:2026/1/203.1高斯消去法與三角分解127方法二：將原方程組中兩個(gè)方程進(jìn)行互換，即再進(jìn)行消元，由可得它比順序高斯消去法的數(shù)值解更精確列主元高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解128選主元高斯消去法和順序高斯消去法的主要區(qū)別：每步消元之前，它都需要先選主元.

列主元Gauss消去法

列主元高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解129算法3.1.2：(列主元高斯消去法)輸入矩陣和，令.對(duì)于

(1)按列選主元：(2)如果，令并停止計(jì)算.

(3)如果，則進(jìn)行換行

并令

.

(4)對(duì)于，計(jì)算

對(duì)于，計(jì)算(5)計(jì)算如果，令并停止計(jì)算，否則計(jì)算，

對(duì)于，計(jì)算列主元高斯消去法例3.1.3：用列主元高斯消去法解方程組，其中2026/1/203.1高斯消去法與三角分解130解：記.第1步：選主元為，交換第1行和第3行并消元，可得列主元高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解131

第2步：選主元為，交換第2行和第3行并消元，可得解上三角方程得列主元高斯消去法2026/1/203.1高斯消去法與三角分解132全主元高斯消去法

全主元比列主元消去法的穩(wěn)定性更好，但其計(jì)算量更大．事實(shí)上，列主元高斯消去法的穩(wěn)定性已能滿足實(shí)際需求，因此該方法是目前求解線性方程組直接法中的首選方法.133第三章線性方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法與三角分解3.2常用的矩陣三角分解法3.3方程組的性態(tài)與誤差分析3.4解線性方程組的迭代法高斯消去過程等價(jià)于矩陣的三角分解，

故也可通過分解式求解線性方程組．2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法134三角分解法一般方程組：LU分解對(duì)稱正定線性方程組：Cholesky分解?平方根法對(duì)角占優(yōu)三對(duì)角線性方程組：追趕法

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法135LU分解待定系數(shù)法第2步：取等號(hào)兩側(cè)第二行可得：

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法136第1步：取等號(hào)兩側(cè)第一行可知取等號(hào)兩側(cè)的第一列可得

取等號(hào)兩側(cè)的第二列可得：LU分解

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法137

LU分解2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法138

LU分解需要次乘除法,與順序高斯消去法的計(jì)算量是相同的．2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法139例3.2.1：用杜利特爾分解法解方程組LU分解2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法140

LU分解2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法141對(duì)稱正定矩陣的三角分解——Cholesky分解Cholesky分解

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法142

喬里斯基分解也可通過待定系數(shù)法來確定當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)Cholesky分解2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法143平方根法計(jì)算Cholesky分解．(1)計(jì)算和(2)對(duì)于計(jì)算(3)計(jì)算解方程組和

(1)計(jì)算

(2)計(jì)算這說明喬里斯基分解過程中元素的數(shù)量級(jí)不會(huì)增加，因而平方根法是穩(wěn)定的.2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法144

平方根法2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法145例3.2.2：用平方根法解方程組解：利用喬里斯基分解，可得平方根法當(dāng)時(shí)2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法146改進(jìn)平方根法當(dāng)時(shí)

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法147求分解式

(1)計(jì)算和(2)對(duì)于

計(jì)算

計(jì)算

如果，計(jì)算求解對(duì)稱正定方程組的改進(jìn)的平方根法解方程組和

(1)計(jì)算(2)計(jì)算大約需要次乘除法改進(jìn)平方根法2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法148三對(duì)角線性方程組追趕法

2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法149追趕法，也稱為托馬斯(Thomas)算法追趕法2026/1/203.2常用的矩陣三角分解法150

追趕法151第三章線性方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法與三角分解3.2常用的矩陣三角分解法3.3方程組的性態(tài)與誤差分析3.4解線性方程組的迭代法2026/1/203.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析152

方程組的性態(tài)

方程組的病態(tài)與否是方程本身的性質(zhì)，與數(shù)值方法無關(guān)2026/1/201533.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析矩陣的病態(tài)與否是相對(duì)問題而言的，對(duì)于解方程組而言為病態(tài)矩陣，但對(duì)于其他問題，例如求特征問題，可能是良態(tài)矩陣．例3.3.1：方程組

病態(tài)方程組的性態(tài)．2026/1/20154

3.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析

方程組的性態(tài)2026/1/20155常用的條件數(shù)：

3.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析譜條件數(shù)：

方程組的性態(tài)

2026/1/201563.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析方程組的性態(tài)2026/1/20157

3.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析病態(tài)方程組的性態(tài)當(dāng)時(shí)2026/1/20158希爾伯特(Hilbert)矩陣3.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析

方程組的性態(tài)經(jīng)驗(yàn)性的判斷矩陣病態(tài)的依據(jù)2026/1/20159誤差分析(1)矩陣元素間數(shù)量級(jí)相差很大，且無一定規(guī)律(2)矩陣的行列式相對(duì)較小，或矩陣中某些行近似線性相關(guān)(3)列主元消去過程中，出現(xiàn)數(shù)量級(jí)很小的主元(4)矩陣中按模取最大的特征值和按模取最大的特征值的比值很大3.3方程組的性態(tài)與直接法的誤差分析

160第三章線性方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法與三角分解3.2常用的矩陣三角分解法3.3方程組的性態(tài)與誤差分析3.4解線性方程組的迭代法迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法161線性方程組的迭代法從一個(gè)初始向量出發(fā)，按照一定的迭代格式，構(gòu)造出一個(gè)趨向于真解的向量序列.2026/1/203.4解線性方程組的迭代法162雅可比(Jacobi)迭代法

雅可比(Jacobi)迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法163雅可比(Jacobi)迭代法雅可比(Jacobi)迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法164高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法165高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法算法3.4.1：(高斯-賽德爾迭代法)

高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法166SOR迭代法逐次超松弛(SOR)迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法167SOR迭代法

SOR的優(yōu)點(diǎn)：通過選取合適的

，可獲得更快的收斂速度

SOR的缺點(diǎn)：最優(yōu)參數(shù)的選取比較困難SOR迭代法

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法168基本迭代法解：Jacobi迭代2026/1/203.4解線性方程組的迭代法169高斯-賽德爾迭代:SOR迭代：基本迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法170雅可比需要迭代36步高斯-賽德爾需要迭代20步SOR

需要迭代12步該方程組的真解為基本迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法171

G-S迭代

SOR迭代

Jacobi迭代基本迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法172

Ax=b

Mx=Nx

+

b

A

的一個(gè)矩陣分裂k=0,1,2,…

分裂迭代法

基本迭代法

Jacobi迭代法(J法)2026/1/203.4解線性方程組的迭代法173迭代矩陣為：M=D，N

=L

+U

GS迭代法迭代矩陣為：

SOR迭代法迭代矩陣為：基本迭代法2026/1/203.4解線性方程組的迭代法174迭代法的收斂性雅可比迭代法不收斂

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法175定理3.4.2：給定矩陣序列，則的充分必要條件是

定理3.4.3：設(shè)矩陣，則的充分必要條件是，其中表示譜半徑.迭代法的收斂性2026/1/203.4解線性方程組的迭代法176

迭代法的收斂性例3.4.2討論用雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法求解方程組的收斂性．2026/1/203.4解線性方程組的迭代法177解：雅可比迭代法的迭代矩陣迭代法的收斂性2026/1/203.4解線性方程組的迭代法178高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法179越小，迭代法收斂得越快．迭代法的收斂性例3.4.3給定迭代矩陣B和f，其中討論該迭代法的收斂性．2026/1/203.4解線性方程組的迭代法180收斂迭代法的收斂性2026/1/203.4解線性方程組的迭代法181假設(shè)迭代法收斂，則

，即

平均收斂速度迭代法的收斂性定理3.4.4：設(shè)矩陣，為任意一種矩陣范數(shù)，則2026/1/203.4解線性方程組的迭代法182漸進(jìn)收斂速度可作為迭代法滿足時(shí)，所需迭代次數(shù)的近似估計(jì)迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法183特殊線性方程組迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法184特殊線性方程組迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法185

定理3.4.9：若中，則求解線性方程組的SOR迭代法收斂的必要條件是

.特殊線性方程組迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法186定理3.4.11：若對(duì)稱正定，則：(1)高斯-賽德爾迭代法收斂；(2)當(dāng)也正定時(shí)，雅可比迭代法也收斂．

特殊線性方程組迭代法的收斂性

2026/1/203.4解線性方程組的迭代法187

高斯-賽德爾迭代法收斂解：特殊線性方程組迭代法的收斂性2026/1/203.4解線性方程組的迭代法188

雅可比迭代法收斂

也可通過計(jì)算迭代矩陣的譜半徑來驗(yàn)證時(shí)特殊線性方程組迭代法的收斂性2026/1/20189第三章線性方程組的數(shù)值解法本章小結(jié)直接法(Gauss消去法、平方根法、追趕法)方程組的性態(tài)基本迭代法(Jacobi、Gauss-Seidel、SOR迭代)及其收斂性分析190第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值191第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值

……2026/1/204.1插值問題與多項(xiàng)式插值192插值問題插值法

思路

簡(jiǎn)單函數(shù)：多項(xiàng)式、分段多項(xiàng)式、三角函數(shù)、有理函數(shù)等

2026/1/204.1插值問題與多項(xiàng)式插值193

求插值函數(shù)的方法稱為插值法插值條件插值問題2026/1/204.1插值問題與多項(xiàng)式插值194

多項(xiàng)式插值

分段多項(xiàng)式插值

三角插值插值問題

2026/1/204.1插值問題與多項(xiàng)式插值195多項(xiàng)式插值

多項(xiàng)式插值:

定理的證明過程給出了求解插值多項(xiàng)式的一種方法，但此方法計(jì)算起來較為繁瑣，因此很少采用．196第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值197線性插值

線性插值:求一次多項(xiàng)式p(x)，滿足

p(x0)=y0

，

p(x1)=y1重新整理

點(diǎn)斜式注意到:p(x)是兩個(gè)一次多項(xiàng)式的線性組合令則進(jìn)一步觀察可知：

拋物線插值：求二次多項(xiàng)式p(x)，滿足2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值198拋物線插值p(x0)=y0

，

p(x1)=y1，

p(x2)=y2想法：如果能構(gòu)造三個(gè)二次多項(xiàng)式l0(x),l1(x),l2(x),

滿足如何計(jì)算l0(x),l1(x),l2(x)？x0x1x22026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值199拋物線插值

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值200Lagrange插值設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)

為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

上的n次Lagrange

插值基函數(shù).

Lagrange基函數(shù)

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值201Lagrange插值l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

構(gòu)成Zn(x)的一組基

l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，但與f(x)無關(guān)Zn(x)：次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式全體拉格朗日插值多項(xiàng)式設(shè)p(x)=a0l0(x)+a1l1(x)

+···+anln(x)將p(xi)=yi，i=0,1,...,n代入，可得ai=yi，i=0,1,...,n如何用Lagrange基函數(shù)求P(x)?p(x)=y0l0(x)+y1l1(x)

+···+ynln(x)

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值202Lagrange插值線性插值多項(xiàng)式（一次插值多項(xiàng)式）：n=1拋物線插值多項(xiàng)式（二次插值多項(xiàng)式）：n=2注：n次插值多項(xiàng)式Ln(x)通常是n

次的，但有時(shí)也會(huì)低于n

次。如：二次插值中，如果三點(diǎn)共線，則Ln(x)為直線

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值203Lagrange插值插值余項(xiàng)估計(jì)誤差

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值204線性插值（兩點(diǎn)插值，即

n=1）拋物線插值（三點(diǎn)插值，即

n=2）余項(xiàng)公式只有當(dāng)f(x)

的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用

計(jì)算點(diǎn)x

上的近似值時(shí)，應(yīng)盡量選取與x

相近插值節(jié)點(diǎn)若，則

與x

有關(guān)，通常無法確定,實(shí)際使用通常估計(jì)其上界Lagrange插值2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值205Lagrange基函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)f(x)為一個(gè)次數(shù)

n

的多項(xiàng)式時(shí)，有

故即n

次插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)

n

的多項(xiàng)式是精確的

若f(x)=xk，k

n，則有

特別地，當(dāng)k=0時(shí)有Lagrange插值

2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值2060.20.40.71.00.1823220.3364720.5306280.693147解：為了減小截?cái)嗾`差，通常選取插值點(diǎn)x

鄰接的插值節(jié)點(diǎn)一次插值：取x0=0.4,x1=0.7得Lagrange插值2026/1/204.2拉格朗日(Lagrange)插值207二次插值：取x0=0.2,x1=0.4,

x1=0.7得由

可得二次插值的誤差滿足(0.2,0.7)(0.4,0.7)Lagrange插值208第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值Lagrange

插值簡(jiǎn)單易用，但若增加或減少一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)lk(x)

都需重新計(jì)算，很不方便!2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值209Newton插值pn(x)和pn-1(x)分別為n

次和n-1

次插值多項(xiàng)式更換基函數(shù)pn(x)=

pn-1(x)+gn(x)插值條件：gn(x)是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式插值節(jié)點(diǎn)：為常數(shù)2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值210Newton基函數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)xn+1時(shí)，只需加上基函數(shù)f(x)

的n

次插值多項(xiàng)式為:Newton插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值211

工具：差商(均差)

Newton插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值212均差的定義

2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值213均差的性質(zhì)差商與節(jié)點(diǎn)的排序無關(guān)，即差商具有對(duì)稱性其中i0,i1,…,ik

是0

,1,…,k

的一個(gè)任意排列

均差可以表示為函數(shù)值的線性組合：用歸納法可以證明均差的等價(jià)定義：2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值214

k階差商與k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：若f(x)在[a,b]上

具有k階導(dǎo)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)

(a,b)，使得若h(x)=cf(x)，則若h(x)=f(x)+g(x)，則均差的性質(zhì)2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值215xi?(xi)一階均差二階均差三階均差…n階均差x0x1x2x3

xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)

?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]

?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]

?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]

?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]均差表計(jì)算均差均差的性質(zhì)例4.3.1

請(qǐng)列出這些點(diǎn)的均差表

2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值216牛頓插值定義和性質(zhì)i0123xi1.002.002.504.00f(xi)0.180.681.000.42解：均差表如下xi?(xi)一階均差二階均差三階均差1.002.002.504.000.180.681.000.420.50000.6400-0.38670.0933-0.5133-0.20222026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值217牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)Rn(x)2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值218f

(x)=Nn(x)+Rn(x)

重要性質(zhì)：Nn(xi)=

f(xi)，i=0,1,2,…,n其中Nn(x)

是f(x)的n

次牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值219f(x)在x0,x1,…,xn

上的n次插值多項(xiàng)式是唯一的且余項(xiàng)相同牛頓插值多項(xiàng)式

2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值2201347100.42070.0353-0.15140.0821-0.0495一階均差二階均差三階均差四階均差30.0353

4-0.1514-0.1867

70.08210.07780.0661

10-0.0495-0.0439-0.0203-0.0123

10.4207-0.05220.0014-0.0072-0.0026牛頓插值多項(xiàng)式2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值221牛頓插值多項(xiàng)式2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值222差分形式的牛頓前后插值在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用等距節(jié)點(diǎn)：xi=x0+ih，i=0,1,…,nh>0，稱為步長(zhǎng)

2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值223

即規(guī)定

差分形式的牛頓前后插值其中

為二項(xiàng)式展開系數(shù)2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值224反之各階差分均可用函數(shù)值表示，反之亦然．差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值225均差與差分滿足關(guān)系式：差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值226差分表差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值227基函數(shù)系數(shù)牛頓前插公式插值余項(xiàng)

差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值228基函數(shù)系數(shù)牛頓后插公式插值余項(xiàng)

差分形式的牛頓前后插值

2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值229xi?(xi)

?

2?

3?0.00.10.20.30.41.00001.09451.17611.24191.28950.09450.08160.06580.0476-0.0129-0.0158

-0.0182

-0.00290.0024差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值230差分形式的牛頓前后插值2026/1/204.3

均差與牛頓(Newton)插值231差分形式的牛頓前后插值232第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值2026/1/204.4埃爾米特(Hermite)插值233Hermite插值在許多實(shí)際問題中，插值多項(xiàng)式不僅要求在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相同，還要求其導(dǎo)數(shù)值甚至是高階導(dǎo)數(shù)值在節(jié)點(diǎn)上相同.如機(jī)翼設(shè)計(jì).函數(shù)值相等且導(dǎo)數(shù)值相等的插值方法稱為Hermite插值2026/1/20234典型的三次Hermite插值多項(xiàng)式兩點(diǎn)三次Hermite插值：

插值節(jié)點(diǎn)：

插值條件：三點(diǎn)三次Hermite插值：插值節(jié)點(diǎn)：

插值條件：4.4埃爾米特(Hermite)插值稱為埃爾米特插值基函數(shù)2026/1/20235兩點(diǎn)三次Hermite插值仿照拉格朗日插值多項(xiàng)式的思想，求三次多項(xiàng)式滿足 兩點(diǎn)三次Hermite插值4.4埃爾米特(Hermite)插值代入條件可得2026/1/20236由條件可設(shè)兩點(diǎn)三次Hermite插值4.4埃爾米特(Hermite)插值同理可得兩點(diǎn)三次Hermite插值2026/1/20237滿足插值條件的埃爾米特插值多項(xiàng)式可以表示為4.4埃爾米特(Hermite)插值兩點(diǎn)三次Hermite插值兩點(diǎn)三次Hermite插值

2026/1/20238由插值條件可知4.4埃爾米特(Hermite)插值兩點(diǎn)三次Hermite插值記插值余項(xiàng)為兩點(diǎn)三次Hermite插值

2026/1/20239解：4.4埃爾米特(Hermite)插值兩點(diǎn)三次Hermite插值由可得2026/1/20240仿照牛頓插值多項(xiàng)式的思想，取牛頓插值基函數(shù)三點(diǎn)三次Hermite插值4.4埃爾米特(Hermite)插值三點(diǎn)三次Hermite插值

2026/1/20241代入條件，可得4.4埃爾米特(Hermite)插值三點(diǎn)三次Hermite插值三點(diǎn)三次Hermite插值

2026/1/20242解：由插值條件可得差商表

11.5200.40550.6931

0.81090.5754

-0.23564.4埃爾米特(Hermite)插值三點(diǎn)三次Hermite插值2026/1/202434.4埃爾米特(Hermite)插值余項(xiàng)表達(dá)式為也可通過引入重節(jié)點(diǎn)的均差構(gòu)造牛頓形式的埃爾米特插值多項(xiàng)式

三點(diǎn)三次Hermite插值2026/1/20244牛頓形式的Hermite插值4.4埃爾米特(Hermite)插值其中.

2026/1/20245

4.4埃爾米特(Hermite)插值誤差余項(xiàng)為牛頓形式的Hermite插值2026/1/20246滿足4.4埃爾米特(Hermite)插值

牛頓形式的Hermite插值2026/1/20247按照牛頓形式的埃爾米特插值多項(xiàng)式來計(jì)算例4.4.1和例4.4.2對(duì)于例4.4.1，列均差表

11224.4埃爾米特(Hermite)插值牛頓形式的Hermite插值2026/1/20248對(duì)于例4.4.2，列均差表

11.51.5200.40550.40550.69310.81100.66670.5752

-0.2886

-0.1830

0.1056

4.4埃爾米特(Hermite)插值

牛頓形式的Hermite插值249第四章插值法4.1插值問題與多項(xiàng)式插值4.2拉格朗日(Lagrange)插值4.3均差與牛頓(Newton)插值4.4埃爾米特(Hermite)插值4.5分段低次插值2026/1/20250多項(xiàng)式插值的收斂性4.5分段低次插值n

時(shí)Ln(x)不一定收斂于f(x)插值多項(xiàng)式的次數(shù)并非越高越好

Runge現(xiàn)象

2026/1/20251多項(xiàng)式插值的收斂性4.5分段低次插值2026/1/202524.5分段低次插值多項(xiàng)式插值的收斂性2026/1/202534.5分段低次插值多項(xiàng)式插值的收斂性2026/1/20254分段低次插值4.5分段低次插值

分段線性插值分段三次Hermite插值

2026/1/202554.5分段低次插值分段線性插值分段線性插值多項(xiàng)式

2026/1/202564.5分段低次插值分段低次插值分段線性插值多項(xiàng)式的誤差余項(xiàng)

2026/1/202574.5分段低次插值分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值多項(xiàng)式

2026/1/202584.5分段低次插值分段三次Hermite插值多項(xiàng)式的誤差余項(xiàng)分段三次Hermite插值

2026/1/202594.5分段低次插值分段低次插值分段低次插值優(yōu)點(diǎn)：公式簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、穩(wěn)定性好、分段三次Hermite插值比分段線性插值效果更好，但公式較復(fù)雜，且需要額外信息（導(dǎo)數(shù)）2026/1/20260第