第1章復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算1.2復(fù)變函數(shù)的概念1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)1.5幾種簡(jiǎn)單的解析函數(shù)1.6多值函數(shù)第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用1.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的定義一個(gè)復(fù)數(shù)z可以表示成

z=x+iy

(1.1-1)其中x=Rez,是復(fù)數(shù)的實(shí)部；y=Imz,是復(fù)數(shù)的虛部；i=√-1,

是虛數(shù)單位。(2)復(fù)數(shù)的矢量表示式如果把復(fù)數(shù)的實(shí)部

x

和虛部

y看成是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)(x,y),

則復(fù)數(shù)

z與平面上的點(diǎn)是一—對(duì)應(yīng)的，稱該平面為復(fù)平面，見圖1-1。也就是說，

一個(gè)復(fù)數(shù)與

平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)矢量相對(duì)應(yīng)。(3)復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示式如果將平面直角坐標(biāo)系(x,y)

變換成平面極坐標(biāo)系(r,θ),即,其中則復(fù)數(shù)z在平面極坐標(biāo)系中的表示式為z=r(cosθ+isinθ)其中r=z是復(fù)數(shù)的模；0是復(fù)數(shù)的輻角，記作Argz。(1.1-2)(1.1-3)圖1-11.復(fù)數(shù)的概念(4)復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式利用歐拉公式，也可以把復(fù)數(shù)寫成指數(shù)形式的表示式，即z=re注意，一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角不是唯一的，它可以任意增加或減少2π的整數(shù)倍，即Arg

z=argz+2πk(k=0,±1,±2,±3,…)其中argz∈[0,2π],

為主輻角。(5)共軛復(fù)數(shù)(1.1-4)(1.1-5)(1.1-6)(1.1-7)與復(fù)數(shù)z

對(duì)應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)為或即z與z是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，它們的模相等，且關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。z=x-iyz*=re令兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為z?=x?+iy?

及

z?=x?+iy?

,

則

有加(減)法規(guī)則：z?±z?=(x?±x?)+i(y?±y?)

(1.1-8)乘法規(guī)則：z1·z?=(x?x?-y?y?)+i(x?y?+x?y?)(1.1-9)除法規(guī)則：

(2≠0)

(1.1-10)如果利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式，則可以很方便地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法、除法、乘方及開方等運(yùn)算。令兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為z?=r?eiθ1

及z?=r?eiθ2,

則

有(1.1-11)=r?r?[cs(C?+O?)+isin(O?+0?)]2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則(1.1-12)z”=r"ein=r"[cos(nθ)+isin(nθ)](n為整數(shù))(1.1-13)"z="reiθ/n="F[cos(θ/n)+isin(θ/n)](n為整數(shù))(1.1-14)注意，由于復(fù)數(shù)z

的輻角不是唯一的，可以加減2π的整數(shù)倍[見式(1.1-5)],則根式”Z的輻角也可以相應(yīng)地加減2π/n的整數(shù)倍，即Arg

"z=θ/n

(1.1-15)

[k=0,

,±1,±2,…,±(n-1)]可見，對(duì)于給定的n,

根式“

√Z

有n

個(gè)不同的值。2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則解：根據(jù)式(1.1-13),令r=1,則

有(eiθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)根據(jù)歐拉公式，有eiθ=cosθ+isinθ,將它代入上式的左邊，則可以得到(cosθ+isinθ)”=cos(nθ)+isin(nθ)

(1.1-16)該式稱為棣莫弗公式。解：由于z=1+i=

√2eiπ/4+i2πk,則√

1+i=√J2ei=/4+;2k=214ei=/8+in它有兩個(gè)值，分別為4√2[cos(π/8)+isin(π/8)],

-√2[cos(π/8)+isin(π/8)]。2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則證明(cosθ+isinθ)”=cos(nθ)+isin(nθ)。計(jì)算復(fù)數(shù)√

1+i

的值。例

1例

21.2復(fù)變函數(shù)的概念當(dāng)復(fù)變量

z=x+iy

在復(fù)平面上某個(gè)點(diǎn)集E(復(fù)數(shù)的集合)中連續(xù)變動(dòng)時(shí)，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值w與之相對(duì)應(yīng)，則稱w

為復(fù)變量z

的函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)w=f(z)z∈E

(1.2-1)與復(fù)變量z=x+iy一樣，復(fù)變函數(shù)f(z)也可以用實(shí)部和虛部來表示f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

(1.2-2)不過它的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)都是實(shí)變量x和y的二元函數(shù)，即一個(gè)復(fù)變函數(shù)是兩個(gè)二元函數(shù)的有序組合。1.復(fù)變函數(shù)的概念在復(fù)變函數(shù)論中，通常討論的是一種特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)，即解析函數(shù)(其定義將在后面給出)。對(duì)于這類函數(shù)，其定義域不是一般的點(diǎn)集，而是滿足一定條件的特殊點(diǎn)集，稱之為區(qū)域，用D表示。下面先介紹幾個(gè)與區(qū)域有關(guān)的概念：(1)鄰域：以復(fù)數(shù)z。為圓心，以任意小的正實(shí)數(shù)ε為半徑作一個(gè)圓，則圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為z

的鄰域。(2)內(nèi)點(diǎn)：若z?

及其鄰域均屬于點(diǎn)集E,則稱z?為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。(3)外點(diǎn)：若z?

及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E,則

稱z?為點(diǎn)集的外點(diǎn)。(4)邊界點(diǎn)：若在z。的每個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于點(diǎn)集E的點(diǎn)，也有不屬于點(diǎn)集E的點(diǎn)，則稱z?

為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)。邊

界點(diǎn)的全體稱為邊界或邊界線。(5)區(qū)域：區(qū)域就是復(fù)變量z

在復(fù)平面上的取值范圍，但嚴(yán)格地說，它是應(yīng)滿足如下兩個(gè)條件的點(diǎn)集：①全部由內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成；②具有連通性，即點(diǎn)集中的任意兩個(gè)點(diǎn)均可以用一條折線連接起來，且折線上的點(diǎn)全部

屬于該點(diǎn)集。圖1-22.區(qū)域的概念⑥邊界的走向：如果沿著邊界走，區(qū)域

D

總在左方，則該走向定義為邊界的正方向。如圖1-2中的C

就是區(qū)域D

的

邊

界，箭頭所指示的方向就是邊界的正方向。(7)閉區(qū)域：由區(qū)域D

及邊界線所組成的點(diǎn)集為閉區(qū)域，用D=D+C

來表示。在復(fù)變函數(shù)論中，有不同形狀的區(qū)域，如

圓形區(qū)域|z|<R,

環(huán)形區(qū)域R?

<|z|<R?,

及位于上半平面的半圓形區(qū)域|z|<R,Imz>0等，其中R,R?和

R?均為大于零的實(shí)

數(shù)，見圖1-3。2.區(qū)域的概念(a)|z|<R

(b)R?<|z|<R?(c)|z|<R,Imz>0圖1-31.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與

實(shí)

變函

數(shù)

一

樣，

復(fù)

變函

數(shù)

也

有

它

的

極

限

和

連

續(xù)

性。

復(fù)

變

函

數(shù)

的

連

續(xù)

性

定

義

為

：

當(dāng)

復(fù)

變

量z在

復(fù)

平

面

上

趨

于

某

一

定

點(diǎn)z時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)f(z)也趨于一個(gè)確定的值f(z?),

即

(1.3-1)由

于

復(fù)

變函

數(shù)f(2)可

以

用

兩

個(gè)

二

元

實(shí)

變

函

數(shù)u(x,y)和v(x,y)來表示[見式(1

.

2

-

2)],這樣復(fù)變函數(shù)f(2)的

連

續(xù)

性

則

歸

結(jié)

于

這

兩個(gè)

二

元函

數(shù)

的

連

續(xù)

性

問

題，

即1.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性盡

管

在

形

式

上

復(fù)

變函

數(shù)的

極限

和

連

續(xù)

性

與

實(shí)

變函

數(shù)

相

同

，

但由

于

兩

者

的

變

量

的

變

化

范

圍

不

同(

一

個(gè)

是

在

復(fù)

平

面

上

變

化

，另一個(gè)是在實(shí)軸上變化),因此兩者的實(shí)際含義是不同的。時(shí)，要求有的值與△z→0的方式有關(guān)。例如，當(dāng)△z沿著實(shí)軸趨于零時(shí)，即y=0,△x→0,上式的極限值為1;當(dāng)△z沿著虛軸趨于零時(shí)，

即x=0,△y→0,

上式的極限值為0。163對(duì)于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要做如下幾點(diǎn)說明：(1)若f(2)在z點(diǎn)可導(dǎo)，則它一定在z點(diǎn)連續(xù)；反之，不一定成立。例如，對(duì)于f(2)=x,它在全平面上連續(xù)，但卻是處處不可導(dǎo)，這是因?yàn)?.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)w=f(2)

是區(qū)域D中的單值函數(shù)，即對(duì)于D的每一個(gè)z

值，只有一個(gè)w

值與之相對(duì)應(yīng)。若對(duì)于D內(nèi)某點(diǎn)z,有極限存在，且與△z→0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)w=f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，并記為(1.3-2)(

3

)

雖

然

在

形

式

上

復(fù)

變

函

數(shù)

的

導(dǎo)

數(shù)

定

義

與

實(shí)

變

函

數(shù)

的

導(dǎo)

數(shù)

定

義

相

同，

但

實(shí)

質(zhì)

上

兩

者

有

很

大

的

差

別。

對(duì)

于

實(shí)

變

函

數(shù)f(x),它的

導(dǎo)

數(shù)

存

在，

要

求

△x沿

著

實(shí)

軸

趨

于

零

；

而

對(duì)

于

復(fù)

變函

數(shù)f(2),

它的

導(dǎo)

數(shù)

存

在，

則

要

求△z

可

以

在

復(fù)

平

面

上

沿

任

一

條

路

徑

趨于零

。

因此

，

與實(shí)變函數(shù)相比

，

對(duì)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性存在的要求要苛刻得多

。2.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(

2

)

可

以

看

出，

復(fù)

變

函

數(shù)

導(dǎo)

數(shù)

的

定

義

在

形

式

上

與

實(shí)

變

函

數(shù)

的

定

義

完

全

相

同。

因

此，

可

以

把

實(shí)

變

函

數(shù)

的

導(dǎo)

數(shù)

規(guī)

則

應(yīng)

用

到

復(fù)變函數(shù)上，如如果復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

在區(qū)域D中的導(dǎo)數(shù)存在，則有

(1.3-3)

式(1.3-3)稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件(或簡(jiǎn)稱C-R條件)。下面對(duì)這個(gè)條件進(jìn)行證明。3.柯西-黎曼條件由于函數(shù)f(z)

可導(dǎo)，則有當(dāng)△z沿著平行于實(shí)軸的方向趨于零時(shí)，有△y=0

,△x→0,

則有由于f(2)的導(dǎo)數(shù)存在與△z→0的方式無關(guān)，這樣式(1.3-5)的右邊應(yīng)與式(1.3-6)的右邊相等，由此可以得到C-R條件。當(dāng)△z

沿著平行于虛軸的方向趨于零時(shí)，有△y→0,△x=0,則有(1.3-4)(1.3-5)(1.3-6)3.柯西-黎曼條件解：由函數(shù)cosz的定義，有由此可以得到在平面極坐標(biāo)系(r,θ)中，利用z=reiθ及△z=(△r+ir△θ)eiθ,則類似地可以證明：極坐標(biāo)系中的C-R

條件為例

1

證明函數(shù)cosz的實(shí)部和虛部滿足C-R

條件。即cosz的實(shí)部和虛部滿足C-R

條件。三u(x,y)+iv(x,y)(1.3-7)1.4解析函數(shù)如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)f(z)在區(qū)域D

中處處可導(dǎo)，則稱f(z)為解析函數(shù)。因此，我們判斷一個(gè)函數(shù)f(z)是否解析，首先應(yīng)確

定在所討論的區(qū)域內(nèi)該函數(shù)的實(shí)部和虛部是否滿足

C-R

條件。

例如，對(duì)于冪函數(shù)f(z)=z

或指數(shù)函數(shù)f(z)=e2,可以驗(yàn)證它們?cè)?/p>

全平面上都是解析的。需要說明的是，解析函數(shù)的定義要求該函數(shù)在考慮的區(qū)域中是處處可導(dǎo)的。這樣，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)解析，則在該

點(diǎn)一定可導(dǎo)，反之卻不一定成立。也就是說，復(fù)變函數(shù)f(z)在

某點(diǎn)上的可導(dǎo)與解析是不等價(jià)的，只有在所考慮的全區(qū)域中，

函數(shù)的解析與可導(dǎo)才是等價(jià)的。1.解析函數(shù)的定義2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)方程(1

.

4

-

1)或(1

.

4

-

2)是

一

個(gè)典型的二維拉普拉斯方程。如

一

個(gè)二元函數(shù)u(x,y)或

v(x,y)滿

足

二

維

拉

普

拉

斯

方

程，

則

這

個(gè)

函數(shù)被稱為調(diào)和函數(shù)

。

可見

，

解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)

，

而且還是一對(duì)共軛的調(diào)和函數(shù)

。我

們

將

在

5

2

.

3

節(jié)中

證

明，

如

果

一

個(gè)

函

數(shù)

在

某

個(gè)

區(qū)

域

解

析，

則

它

的

高

階

導(dǎo)

數(shù)

存

在，

即

它

的

實(shí)

部

和

虛

部

的

高

階

偏

導(dǎo)

都

是

存在的。這樣根據(jù)C-R

條

件可

以得到及(1.4-1)(1.4-2)如

果

我

們

把

一

個(gè)

調(diào)

和函

數(shù)

看

成

是

一

個(gè)

解

析函

數(shù)

的

實(shí)

部(

或

虛

部

)

,

并

利

用C-R

條

件

求出

相

應(yīng)

的

虛

部(

或

實(shí)

部

)

,

就

可以

確定出

這

個(gè)

解

析函

數(shù)。

例

如，

假

設(shè)函

數(shù)u(x,y)

是

一

個(gè)

調(diào)

和

函

數(shù)，

并

把

它

看

作

是

一

個(gè)

解

析

函

數(shù)

的

實(shí)

部

。

這

樣，

它

的

虛

部

的

全

微分

為(1.4-3)利

用C-R

條件，則可以進(jìn)一步得到(1.4-4)于是，可以得到(1.4-5)計(jì)

算v(x,y)

的方法有如下三種：(

1

)

曲

線

積

分

法

我

們

知

道，

一

個(gè)

無

源

的

靜電

勢(shì)函

數(shù)

要

滿

足

拉

普

拉

斯

方

程，

而

且

由

于

它

是

一

個(gè)

保

守

勢(shì)，

對(duì)

應(yīng)

的

靜

電

力

所做的

功與

路

徑無關(guān)。

現(xiàn)

在u(

或

》

)

是

調(diào)

和

函

數(shù)

，

就

相

當(dāng)

于

一

個(gè)

靜

電

勢(shì)

函

數(shù)

，

因

此

式(

1

.

4

-

5

)

中

的

積

分

與

路

徑

無

關(guān)

。

這

樣

，

我

們可

以

選

取

某

種

特

殊

的

路

徑，

使

得

積

分

容

易

算

出。

如

選

取

積

分

路

徑

為(

0

,

0

→(x,0)→

(x,y),這樣可以把式(1

.4-4)寫成(1.4-6)其

中c為積分常數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(2)湊成全微分法對(duì)于某些特殊形式的調(diào)和函數(shù)，可以把式(1.4-5)的右端湊成一個(gè)全微分，這樣就自然求出積分了。(3)不定積分法在這種方法中，可以先假定x(或y)不變，對(duì)y(或x)進(jìn)行積分。例如，先假定x

不變，這樣可以將式(1.4-5)例

1

已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)=xy是某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部，確定這個(gè)解析函數(shù)的形式。解：根據(jù)u(x,y)=xy,

可以得到或先假定y

不變，有然后，再利用C-R條件，確定待定函數(shù)φ(x)或ψ(y)。(1.4-7)(1.4-8)寫成及將上式對(duì)x

求導(dǎo)，則再利用C-R

條件

,則可以得到完成對(duì)x的積分后，最后得到最后，我們得到解析函數(shù)f(z)的形式：2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(3)不定積分法根據(jù)式(1.4-7),可以得到=-iz2/2+ic2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(1)曲線積分法根據(jù)式(1.4-6),可以得到(2)湊成全微分法直接根據(jù)式(1.4-5),可以得到下面采用上述三種不同的方法來確定出這個(gè)解析函數(shù)的虛部v(x,y)。1.5幾種簡(jiǎn)單的解析函數(shù)對(duì)于實(shí)變函數(shù)，有

一

些初等的函數(shù)，如冪函數(shù)x”,指數(shù)函數(shù)e?,

三角函數(shù)sinx和cosx等。對(duì)于復(fù)變函數(shù)，同樣也有這樣

一

些簡(jiǎn)單的函數(shù)，如z”,e2,sinz

及cos

等?？梢詫⑦@些初等復(fù)變函數(shù)看成是初等實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣，但它們之

間的性質(zhì)有著許多本質(zhì)的不同。(1)冪函數(shù)當(dāng)n≥0時(shí)，該函數(shù)在全復(fù)平面上解析；當(dāng)n<0時(shí)，該函數(shù)在|z|>0的區(qū)域內(nèi)處處解析。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f(z)=z”

(1.5-1)當(dāng)n≥0時(shí)，該函數(shù)在全復(fù)平面上解析；當(dāng)n<0時(shí)，該函數(shù)在|z|>0的區(qū)域內(nèi)處處解析。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(z)=(z”)'=nz”-1

(1.5-2)

(1.5-3)也具有與冪函數(shù)相同的性質(zhì)，其中系數(shù)an

為復(fù)常數(shù)。1.5幾種簡(jiǎn)單的解析函數(shù)對(duì)于多項(xiàng)式(2)指數(shù)函數(shù)f(z)=e2=e(cosy+isiny)

(1.5-4)可以證明指數(shù)函數(shù)在全復(fù)平面上解析，且(e2)′=e(1.5-5)但在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無定義，因?yàn)楹苋菀昨?yàn)證它沿實(shí)軸和虛軸趨于無窮的極限不一樣。此外，很容易證明復(fù)變指數(shù)函數(shù)具有周期性，1.5幾種簡(jiǎn)單的解析函數(shù)其

周

期

為

2πi,即e2=ez+2πi。(3)三角函數(shù)可以證明，sinz與cosz

在全復(fù)平面上解析，且有(sinz)'=cosz,(cosz)'=-sinz(1.5-6)(1.5-7)可見有|sin(i)|>1及|cos(i)|>1。盡管它們各自的絕對(duì)值大于1,但卻遵從實(shí)數(shù)三角函數(shù)的公式：sin2z+cos2z=1

(1.5-8)此外，這兩種三角函數(shù)的周期為2π,這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)相同。對(duì)于其他復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)，如tanz,cotz,secz

及cscz,

可

以

用sinz和

cosz來定義，其形式與實(shí)變量的情況是一樣的。1.5幾種簡(jiǎn)單的解析函數(shù)它們?cè)谌珡?fù)平面上處處解析，且(shz)'=chz,(chz)'=shz它們的周期為2

πi。應(yīng)注意，由于z是

復(fù)

變

量

，sinz

及cosz的絕對(duì)值可以大于1,這一點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的實(shí)變函數(shù)不同。如(1.5-9)(1.5-10)(4)雙曲函數(shù)1.6多值函數(shù)在§1.1節(jié)中我們已經(jīng)看到，對(duì)于某些復(fù)數(shù)，如根式和自然對(duì)數(shù)，具有多值性。同樣，對(duì)于一些復(fù)變函數(shù)也具有多值性，如根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)及反雙曲函數(shù)等。下面以根式函數(shù)w(z)=√z(1.6-1)為例，介紹一下多值函數(shù)的一些基本概念。為了更清楚地看出它的多值性，我們令其中argz是z的主輻角。顯然，對(duì)于給定的一個(gè)z,

有兩個(gè)w

與之相對(duì)應(yīng)：w?=√rei(arga)/2

(對(duì)應(yīng)于

n=0,±2,…)W?=√rei(arg2)/2+iπ=-√rei(arg2)/2(對(duì)應(yīng)于

n=±1,±3,…)通常稱w

和w?2

是多值函數(shù)f(z)=z

的兩個(gè)單值分支。這種函數(shù)的多值性來源于宗變量z的多值性。1.6多值函數(shù)(1.6-2)(1.6-3)(1.6-4)z=re,w=pepei=√rei?/2這樣有由此可以得到復(fù)變函數(shù)f(z)=z的兩個(gè)單值分支并不是互相獨(dú)立的。為了說明這一點(diǎn)，我們?cè)趶?fù)平面上選一點(diǎn)z。,如圖1-4所示。在該點(diǎn)，有

w=w?=√roeitarg2)2

。

當(dāng)

z

從z。點(diǎn)出發(fā)，沿著包圍z=0的閉合圍道1一周回到z

點(diǎn)時(shí)

，z的輻角增加了2π。根據(jù)式(1.6-2),w

的

輻角相應(yīng)地增加了π,從而w=√Froeitarg?oy2+in。這

樣

，w就從w?

分支進(jìn)入了w?分支。因此，多值函數(shù)w=z

的兩個(gè)單值分支w?和

w?

并不是獨(dú)立的。如果當(dāng)z從z點(diǎn)出發(fā)，沿著另一個(gè)不包圍z=0的閉合圍道1'一周而回到2?點(diǎn)時(shí)，由于z

的輻角沒有改變，因此

w仍為

√roei(argz?)/2,即仍然處于單值分支w?

中，沒有進(jìn)入單值分支w?。從以上分析可以看出，對(duì)于函數(shù)w=z,z=0

點(diǎn)具有這樣的特征：當(dāng)z

繞著它一周回到原處時(shí)，多值函數(shù)w=z

由一個(gè)分支進(jìn)入另外一個(gè)分支。具有這種性能的點(diǎn)稱為多值函數(shù)的支點(diǎn)。除

了z=0點(diǎn)外，可以驗(yàn)證無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=∞也是多值函數(shù)w=z

的一個(gè)支點(diǎn)。令t=1/z,則w(z)=w(t)=1/t

。當(dāng)

t繞

t=0一周回到原處時(shí)，

w(t)的值不還原，因此t=0是多值函數(shù)w(t)=1/t的支點(diǎn)，即z=∞是多值函數(shù)w(z)=z的一個(gè)支點(diǎn)。1.6多值函數(shù)圖1-4(a)

(b)圖

1

-

5在上平面T?上，從z=0開

始，

沿

正

實(shí)

軸

方向

至

無

窮

遠(yuǎn)

點(diǎn)

將

其

割

開，

并

規(guī)

定

割

線

的

上

下

沿

分

別

對(duì)

應(yīng)

于Argz=0和

Argz=2π。

這

樣

，

當(dāng)

z

在平面T?上

變

化

時(shí)，

只

要

不

跨

越

該

割

線，它

的