東莞市2026屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，則A. B.C. D.2．“密位制”是用于航海方面的一種度量角的方法，我國(guó)采用的“密位制”是密位制，即將一個(gè)圓周角分為等份，每一個(gè)等份是一個(gè)密位，那么密位對(duì)應(yīng)弧度為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.54．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明是阿拉伯?dāng)?shù)、十進(jìn)制和對(duì)數(shù)，其中對(duì)數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，為人類(lèi)研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì).已知，，則的估算值為（）A. B.C. D.6．比較,,的大?。ǎ〢. B.C. D.7．已知函數(shù)，且在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8．若，則的值是（）A. B.C. D.19．已知是R上的奇函數(shù)，且對(duì)，有，當(dāng)時(shí)，，則（）A.40 B.C. D.10．某工廠生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過(guò)過(guò)濾后才能排放，已知在過(guò)濾過(guò)程中，廢氣中的污染物含量p（單位：毫克/升）與過(guò)濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為（式中的e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為污染物的初始含量）．過(guò)濾1小時(shí)后，檢測(cè)發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了，要使污染物的含量不超過(guò)初始值的，至少還需過(guò)濾的小時(shí)數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.40 B.38C.44 D.42二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.12．若函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，有且，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，________13．已知，則的值為_(kāi)_______14．函數(shù)（且）的定義域?yàn)開(kāi)_________15．設(shè)為銳角，若，則的值為_(kāi)______.16．設(shè)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為_(kāi)_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在四邊形中，，，，為等邊三角形，是的中點(diǎn).設(shè)，.（1）用，表示，，（2）求與夾角的余弦值.18．一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，其圓心O距離水面1米，已知水輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每4秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．（1）以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；（2）在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)2米？19．已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值20．已知函數(shù)=（1）判斷的奇偶性；（2）求在的值域21．已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知且，，求證：方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】分別解集合A、B中的不等式，再求兩個(gè)集合的交集【詳解】集合，集合，所以，選擇C【點(diǎn)睛】進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算前，要搞清楚每個(gè)集合里面的元素種類(lèi)，以及具體的元素，再進(jìn)行運(yùn)算2、B【解析】根據(jù)弧度制公式即可求得結(jié)果【詳解】密位對(duì)應(yīng)弧度為故選：B3、C【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性、偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且周期為，所以有，所以在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故選：C4、D【解析】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.本題選擇D選項(xiàng).5、C【解析】令，化為指數(shù)式即可得出.【詳解】令，則，∴，即的估算值為.故選：C.6、D【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出，再根據(jù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減判斷出，即可確定大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】由，即，分別作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖象可知表示過(guò)定點(diǎn)的直線，當(dāng)過(guò)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過(guò)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.8、D【解析】由求出a、b，表示出，進(jìn)而求出的值.詳解】由,.故選：D9、C【解析】根據(jù)已知和對(duì)數(shù)運(yùn)算得，，再由指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，故?∵，故.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題類(lèi)型的問(wèn)題的關(guān)鍵在于：1、由已知得出抽象函數(shù)的周期；2、根據(jù)函數(shù)的周期和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將自變量轉(zhuǎn)化到已知范圍中，可求得函數(shù)值.10、A【解析】由題意，可求解，解不等式即得解【詳解】根據(jù)題設(shè)，得，∴，所以；由，得，兩邊取10為底對(duì)數(shù)，并整理得，∴，因此，至少還需過(guò)濾40小時(shí)故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由垂直的斜率關(guān)系，和線段的中點(diǎn)在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由對(duì)稱(chēng)性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點(diǎn)在直線上，即，所以，由，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故答案為：.12、【解析】由，可知.所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).，時(shí)，..對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng),所以，又.所以.綜上可知，時(shí)，.故答案為.點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的周期性：（1）若，則函數(shù)周期為T(mén)；（2）若，則函數(shù)周期為（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為.13、【解析】∵，∴，解得答案：14、【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)有，即可求函數(shù)的定義域.【詳解】由題設(shè)，，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：15、【解析】由條件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根據(jù)，利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果【詳解】∵為銳角，，∴，∴，故，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題16、##0.5【解析】利用余弦函數(shù)的定義即得.【詳解】∵角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）利用向量的線性運(yùn)算即平面向量基本定理確定，與，的關(guān)系；（2）解法一：利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式求得向量夾角余弦值；解法二：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示確定向量夾角余弦值.【詳解】解法一：（1）由圖可知.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，為等邊三角形，所以，，所以，所以?設(shè)與的夾角為，則，所以在與夾角的余弦值為.解法二：（1）同解法一.（2）以A為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，過(guò)A且與AD垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以與夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用18、（1）；（2）秒【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意求得、的值，以及函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)的大小可得出的值，由此可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）由得出，令，求得的取值范圍，進(jìn)而可解不等式，可得出的取值范圍，進(jìn)而得解.【詳解】解：（1）如圖所示，標(biāo)出點(diǎn)M與點(diǎn)N，設(shè)，根據(jù)題意可知，，所以，根據(jù)函數(shù)的物理意義可知：，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以可得：．（2）根據(jù)題意可知，，即，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，，可得：，所以此時(shí)，解得：，又因?yàn)椋耄此嗈D(zhuǎn)動(dòng)任意一圈內(nèi)，有秒的時(shí)間點(diǎn)P距水面的高度超過(guò)2米19、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式化簡(jiǎn)即得；（2）根據(jù)可知，從而求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由誘導(dǎo)公式可得：；【小問(wèn)2詳解】由于，有，得，，可得故值為.20、（1）奇函數(shù)（2）【解析】（1）由奇偶性的定義判斷（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解【小問(wèn)1詳解】，則，的定義域?yàn)?，，故是奇函?shù)【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，故，即在的值域?yàn)?1、⑴見(jiàn)解析;⑵;⑶見(jiàn)解析.【解析】（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，即有零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可以證明.試題解析：⑴,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)