2026屆青海省玉樹州數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則的值為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C D.3．已知函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.4．若圓與圓相外切，則的值為（）A. B.C.1 D.5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.7．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.8．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.10．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.12．已知，若，則（）A. B.2C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則此正四棱柱的體積為_(kāi)_____14．如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點(diǎn)，則向量_________．（用表示）15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且，若，則______.16．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀18．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)線段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.22．（10分）如圖1是一張長(zhǎng)方形鐵片，，，，分別是，中點(diǎn)，，分別在邊，上，且，將它卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可求得，結(jié)合已知條件求得，分析出為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得出，即可得解.【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因?yàn)?，則，從而得，所以，，則為的中點(diǎn)，從而.故選：B.2、D【解析】函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)椋耘懦x項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)故選：D.3、C【解析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)即可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù),則，，故選C【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.4、D【解析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，解得，故選：D5、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮?wèn)題，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：D6、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.7、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.8、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系分析選項(xiàng)A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)B.由，，則，故正確.選項(xiàng)C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項(xiàng)D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B9、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.10、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上11、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題12、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10014、【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運(yùn)算可得，，故答案為：15、3【解析】先求點(diǎn)坐標(biāo)，再由已知得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點(diǎn)，∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，，，因?yàn)椋?，，所?故答案為：3.16、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問(wèn)2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形18、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：易知點(diǎn)，若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)?，，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.20、（1），（2）【解析】（1）利用求出通項(xiàng)公式，根據(jù)已知求出公比即可得出的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，則，兩式相減得，所以.21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為，則知：；知取，又，點(diǎn)到面的距離所以點(diǎn)到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設(shè)平面的法向量為∵；∴取..設(shè)二面角的平面角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系求解空間角和點(diǎn)到平面的距離，重點(diǎn)考查計(jì)算能力