山東實驗中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，M為OA的中點，以為基底，，則實數(shù)組等于（）A. B.C. D.2．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.3．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學家、物理學家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.34．下列對動直線的四種表述不正確的是（）A.與曲線C：可能相離，相切，相交B.恒過定點C.時，直線斜率是0D.時，直線的傾斜角是135°5．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.6．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.7．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.28．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．圓心在x軸上且過點的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.11．已知拋物線的準線方程為，則此拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.12．已知的周長為，頂點、的坐標分別為、，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，的長度為2，且，則的長度為________14．已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.15．已知空間直角坐標系中，點，，若，與同向，則向量的坐標為______.16．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值18．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最??；（2）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）已知，：，：.（1）若，為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.22．（10分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以實數(shù)組故選：B2、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標準方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解3、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D4、A【解析】根據(jù)過定點的直線系求出恒過點可判斷B，由點與圓的位置關(guān)系可判斷A，由直線方程可判斷CD.【詳解】直線可化為，令，，解得，，所以直線恒過定點，而該定點在圓C：內(nèi)部，所以必與該圓相交當時，直線方程為，故斜率為0，當時，直線方程為，故斜率為，傾斜角為135°.故選：A5、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B6、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C7、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因為A=B，若，解得，當時，不滿足互異性，舍去，當時，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因為A=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個條件求出參數(shù)后需進行代入檢驗，檢驗是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A9、B【解析】運用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B10、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A11、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，12、D【解析】分析可知點的軌跡是除去長軸端點的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點的位置可得出頂點的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)一組基地向量，將目標用基地向量表示，然后根據(jù)向量的運算法則運算即可【詳解】設(shè)，則有：則有：根據(jù)，解得：故答案為：14、【解析】根據(jù)的中點是圓心，是半徑，即可寫出圓的標準方程.【詳解】因為和，故可得中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.故答案為：.15、【解析】求出坐標，根據(jù)給條件表示出坐標，利用向量模的坐標表示計算作答.【詳解】因，，則，因與同向，則設(shè)，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標為.故答案為：16、－1【解析】由已知及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式，列方程求基本量即可.【詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點，G是中點，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，??；設(shè)平面EDC的法向量為，則，取，則；設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴18、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標準方程，由半徑最小則周長最??；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進行討論即可得解.進一步，利用圓的幾何性質(zhì)可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當時，圓的半徑有最小值2，此時圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當直線與軸垂直時，，此時直線與圓相切，符合條件；當直線與軸不垂直時，設(shè)為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點的距離，則切線長度為.19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標,（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【小問1詳解】依題意，：，：，得：.當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即或，無解，當假真時，即或，解得或，綜上得：或，所以實數(shù)x的取值范圍是；【小問2詳解】因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是21、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時，，當時，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域為當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令，解得；令，解得；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當時，，，當時，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即22、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論可得單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構(gòu)