2026屆湖南省衡陽市二十六中高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.2．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.53．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前6項分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項為（）A.95 B.131C.139 D.1414．如圖是函數(shù)的導數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.在時取得極大值D.在時取得極小值5．已知點到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.6．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.27．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.258．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要9．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.10．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.12．在區(qū)間內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、均為正實數(shù)，且，則的最小值為___________.14．已知點是拋物線的焦點，點分別是拋物線上位于第一、四象限的點，若，則的面積為__________.15．與雙曲線有共同漸近線，并且經(jīng)過點的雙曲線方程是______16．在等比數(shù)列中，若，是方程兩根，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程（1）焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；（2）焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為18．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長19．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離20．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點.（1）若直線l的方程為，求線段AB的長；（2）若直線l經(jīng)過點P(-1，0)，點A關(guān)于x軸的對稱點為A'，求證：A'、F、B三點共線.21．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程22．（10分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列的前n項和為，且，，，求滿足的n的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.2、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.3、A【解析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列的第7項為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項為95，故選：A4、B【解析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點，進而確定正確選項.【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點，是的極大值點.所以ACD選項錯誤，B選項正確.故選：B5、D【解析】利用點到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因為點到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.6、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.7、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A8、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B9、B【解析】求導函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增∴當時，取得最小值，且最小值為故選：B.10、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，利用點斜式即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即故選：C11、D【解析】點關(guān)于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.故選：D.12、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.14、42【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)，得拋物線方程，從而可求得兩點縱坐標，再求得直線與軸的交點坐標后可得面積【詳解】因為，所以，拋物線的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線方程為，即．所以直線與軸交于點，所以.故答案為：4215、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.16、.【解析】由題意求得，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，，是方程的兩根，可得，，又由，，所以，，可得，又由，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由條件解出即可得到雙曲線方程.【小問1詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：【小問2詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：18、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因為平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成角【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為20、（1）8；（2）證明見解析.【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達定理及弦長公式求線段AB的長；（2）設(shè)為，聯(lián)立拋物線由韋達定理可得，，應(yīng)用兩點式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問2詳解】由題設(shè)，，又直線l經(jīng)過點P(-1,0)，此時直線斜率必存在且不為0，可設(shè)為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點共線.21、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達定理，化簡可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：