2026屆福建省莆田七中數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線2．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項 B.數(shù)列的第5項C.數(shù)列的前4項的和 D.數(shù)列的前5項的和3．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.6．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.7．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.108．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上一點且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.9．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.10．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點11．設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.12．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，工作人員對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中所存確結(jié)論的序號是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%；③估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間14．已知，，且，則的最小值為___________15．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____16．若向量，，，且向量，，共面，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.19．（12分）已知平面直角坐標系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關于直線對稱，求的最大值.20．（12分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程21．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項和，，（1）求的通項公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關系可得C不正確，求出，的關系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B2、B【解析】分析：模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)，直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項.所以B選項是正確的.點睛：模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當i=6時滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.3、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標準方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.4、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.5、B【解析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由函數(shù)只有一個零點，等價于函數(shù)的圖像與的圖像只有一個交點，，求導，令，得當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當時，函數(shù)取得極小值；當時，函數(shù)取得極大值；作出函數(shù)圖像，如圖所示，由圖可知，實數(shù)的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.6、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A7、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C8、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以當時函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A9、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D10、B【解析】四個選項中需要分別利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，向量共線的定義，等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷，根據(jù)題意結(jié)合知識點，即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，由于此對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結(jié)果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定，根據(jù)題意結(jié)合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).11、C【解析】利用導函數(shù)的圖象，判斷導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，，函數(shù)是增函數(shù)，時，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C12、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于45萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④14、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當時，，所以，若滿足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.16、##【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因為，，共面，所以存在實數(shù)x，y，使得，得，解得∴故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當且僅當時，等號成立，故.18、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點可求解；（2）根據(jù)題意分別設出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關點的坐標，再通過斜率公式計算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】設直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.19、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設點，列方程即可.（2）點關于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為，因為點在圓，即上運動，所以，所以點的軌跡方程為，所以兩圓的圓心分別為，半徑均為2，則.方法二：由可得：所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓軌跡的圓心到直線的距離為：20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解（2）根據(jù)已知圓的方程，令y＝0，結(jié)合韋達定理，求出圓心的橫坐標，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑【小問1詳解】∵圓C：，∴，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，∴圓心(－1,1)到直線x－y＝0的距離d＝，∴直線y＝x被圓C所截得的弦長為＝【小問2詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），∵圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點，∴x2－2x－7＝0，則，|x1－x2|＝＝，∴圓心的橫坐標為x＝，∵圓心在直線y＝x+1上，∴圓心為(1,2)，∴半徑r＝，故圓M的方程為21、（1）；（2）證明見解析，定點和.【解析】(1)根據(jù)給定條件設出圓心坐標，再結(jié)合點到直線距離公式計算作答.(2)設點，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點.【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設點，，設動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量