廣東省茂名市信宜市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．為了了解某地區(qū)5000名小學(xué)生的體育素質(zhì)情況，從中抽取了500名小學(xué)生進(jìn)行測試，該地區(qū)每位小學(xué)生被抽到的可能性為（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．樣本數(shù)據(jù)32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位數(shù)（25%分位數(shù)）為（

）A．32 B．33 C．48 D．494．已知數(shù)據(jù)3，7，4，7，，6的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．3 B． C．5 D．5．將直線：繞其與軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程是（

）A． B． C． D．6．已知直線：，：，若，則的值是（

）A．或 B． C． D．7．如圖，三個自動開關(guān)，，正常工作的概率都是，且是互相獨(dú)立的.若將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（

）A． B． C． D．8．已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立二、多選題9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）是國際上通用的監(jiān)測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的指標(biāo)，具有較強(qiáng)的預(yù)測、預(yù)警作用.2023年12月31日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)（經(jīng)季節(jié)調(diào)整）圖，如下圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．圖中前三個數(shù)據(jù)的平均值為49.9%B．2023年四個季度的PMI指數(shù)中，第一季度方差最大C．圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%D．2023年P(guān)MI指數(shù)的眾數(shù)為49.011．如圖，在棱長為2的正方體中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，滿足，，其中，，則（

）

A．當(dāng)，時，點(diǎn)到直線的距離為B．當(dāng)取最小值時，C．存在，，使得D．當(dāng)，時，過，，三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形面積為三、填空題12．已知向量，，則13．經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則的值為14．已知是棱長為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的最小值是四、解答題15．一個盒中裝有編號分別為1，2，3，4的四個形狀大小和質(zhì)地完全相同的小球.(1)從盒中任取兩球，求“取出的兩球編號之和大于5”的概率；(2)從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，求事件“”發(fā)生的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面，，，，.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求證：平面平面17．一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，將全班的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，試估計(jì)樣本成績的眾數(shù)、平均數(shù)、第80百分位數(shù)（同組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；(2)全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分為72，方差為26；女生平均分為75，方差為20，運(yùn)用上述數(shù)據(jù)計(jì)算全班學(xué)生的平均分，總方差.18．如圖所示，在直三棱柱中，，，，，.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．在體育比賽中，傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的資格，現(xiàn)有一種新的賽制，每個隊(duì)伍只有失敗了兩場才會淘汰出局（雙敗賽制）.假設(shè)現(xiàn)有四支隊(duì)伍，傳統(tǒng)的淘汰賽制下，會將他們抽簽兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入下一輪，直到?jīng)Q出冠軍；雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入勝者組，敗者進(jìn)入敗者組，勝者組兩個隊(duì)伍對決的勝者將進(jìn)入決賽；第一輪敗者的兩個隊(duì)伍對決的勝者將跟勝者組的第二輪敗者對決，其中的勝者進(jìn)入決賽；最后決賽的勝者即為冠軍（賽制流程圖如圖所示），這里我們簡單研究一下兩個賽制：假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，，，，其中對陣其他三個隊(duì)伍時獲勝的概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對陣時獲勝的概率均為，最初分組時，，同組，，同組.(1)若，在傳統(tǒng)的淘汰賽賽制下，，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并根據(jù)獲得冠軍的概率簡單分析一下雙敗賽制下是否對強(qiáng)隊(duì)更有利？

參考答案1．A【詳解】該地區(qū)每位小學(xué)生被抽到的可能性為,故選：A2．B【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，且，則，所以.故選：B3．B【詳解】樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53，因?yàn)?，所以下四分位?shù)（25%分位數(shù)）為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù).故選：B.4．A【詳解】由條件可知，，得，這組數(shù)據(jù)的方差.故選：A5．B【詳解】由條件可知，與軸的交點(diǎn)為，且斜率為，因?yàn)椋灾本€的斜率為，所以直線的方程是，整理為.故選：B6．D【詳解】因?yàn)橹本€：，：，且，所以，解得，故選：D7．D【詳解】記“三個元件，，正常工作”分別為事件，，，則，，.不發(fā)生故障的事件為，∴不發(fā)生故障的概率為.故選：D8．C【詳解】由可得，因?yàn)?，則與不互斥，不對立，由可得，因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立故選：C9．ACD【詳解】向量，，，因?yàn)椋?，A選項(xiàng)正確；易知不存在實(shí)數(shù)使得，所以不平行，B選項(xiàng)錯誤；顯然，所以，C選項(xiàng)正確；易知，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10．ABD【詳解】對于A，前三個數(shù)據(jù)為，，，所以前三個數(shù)據(jù)的平均值為，故A選項(xiàng)正確；對于B，從表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個季度的PMI指數(shù)中，第一季度的波動性最大，穩(wěn)定性最差，所以方差最大，故B選項(xiàng)正確；對于C，圖中PMI指數(shù)的最大值為%，最小值為%，故極差為%，C選項(xiàng)錯誤；對于D，2023年P(guān)MI指數(shù)中，49.0出現(xiàn)兩次，其他的出現(xiàn)一次，故2023年P(guān)MI指數(shù)的眾數(shù)為49.0,故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．ABD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，，.選項(xiàng)A：當(dāng)時，，，，，取，，點(diǎn)到直線的距離為，?A正確.選項(xiàng)B：最小時，是，的公垂線段，，，，，解得，?B正確.選項(xiàng)C：，，若，則,即，因?yàn)?，，顯然，所以不成立，C錯誤；選項(xiàng)D：當(dāng)，時，在取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，易得點(diǎn)是靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)槿c(diǎn)共線，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，又，所以共面所以過，，三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形為四邊形，則，且，又因?yàn)槠矫妫?，即，則四邊形為矩形，，，求得面積為，D正確.故選：ABD12．24【詳解】，所以.故答案為：13．【詳解】由條件可知直線的斜率為2，所以，得.故答案為：14．/【詳解】法一：根據(jù)正方體的性質(zhì)，可不妨設(shè)在下底面的棱上動點(diǎn)，又設(shè)中點(diǎn)為，則當(dāng)與中點(diǎn)重合時，取到最小值，當(dāng)為底面對角線的頂點(diǎn)時，取到最大值，所以當(dāng)為底面中心，為底面對角線的頂點(diǎn)時,取到最小值；法二、如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，其中，，.則，.則，當(dāng)在正方體同一面上時，則當(dāng)，，時，取得最小值，，即當(dāng)為正方體一面的對角線，為對角線中點(diǎn)時，取得最小值；當(dāng)、、不在正方體同一面上時，由對稱性，不妨設(shè)，，不同時為0，此時；因?yàn)?，，，則，所以，綜上，的最小值是.15．(1)(2)【詳解】（1）從盒中任取兩球的所有等可能基本事件有：，，，，，，共6個，

記取出的兩球編號之和大于5的事件為，

則事件包含，，共2個等可能基本事件

所以；

所以取出的兩球編號之和大于5的概率為.（2）有放回地連續(xù)抽取兩球的所有等可能基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共16個，

記的事件為，

則事件包含，，，，，，，，，共10個等可能基本事件，

所以，

所以事件“”發(fā)生的概率為.16．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）

依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，，

則，即

不妨令，可得為平面的一個法向量.

，，

設(shè)與平面所成角為，則（2）由（1）知為平面的一個法向量設(shè)平面的法向量，又向量，，

則，即，

不妨令，可得為平面的一個法向量.

因?yàn)?，所?

所以平面平面.17．(1)，眾數(shù)為75，平均數(shù)為72，第80百分位數(shù)為85(2)平均分73，總方差26【詳解】（1）各組小矩形的面積之和為1，所以

解得.

由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)為75，

平均數(shù)為.

設(shè)第80百分位數(shù)為，成績在的頻率為，成績在的頻率為

所以，，

解得

故估計(jì)樣本成績的眾數(shù)為75，平均數(shù)為72，第80百分位數(shù)為85.（2）依題意，得兩組成績合并后的總平均數(shù)為，

總方差.

故全班學(xué)生的平均分73，總方差26.18．(1)(2)存在，【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，即，在直三棱柱中，平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，易知平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，由（1）知，，設(shè)，，所以，則，由（1）知平面的法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，

所以當(dāng)時，存在點(diǎn)滿足題意.19．(1)獲得冠軍概率為，獲得冠軍的概率為(2)傳統(tǒng)的淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率為，雙敗賽制下，獲得冠軍的概率為，雙敗賽制對強(qiáng)隊(duì)更有利.【詳解】（1）在傳統(tǒng)的淘汰賽賽制下，獲得冠軍：組獲勝，再由與組勝者決賽并勝出，則獲得冠軍的概率為.

依題意，獲得冠軍：組獲勝，再由與組勝者決賽并勝出，則獲得冠軍的概率為.

所以在