四旋翼飛行器的模型建立案例目錄TOC\o"1-3"\h\u938四旋翼飛行器的模型建立案例 140181.1引言 1284381.2四旋翼飛行器的工作原理 1132831.3坐標(biāo)系及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系 3133731.4動(dòng)力學(xué)模型建立 681561.5小結(jié) 81.1引言對(duì)于多數(shù)傳統(tǒng)控制方案而言，被控對(duì)象的模型都是必需的，且模型的精確程度與最終控制器的性能息息相關(guān)。如果缺乏被控對(duì)象的準(zhǔn)確模型，那么很多控制算法的實(shí)現(xiàn)難度都將大幅提升，因此精確建立四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型尤為關(guān)鍵。除了研究模型本身的耦合性、欠驅(qū)動(dòng)性、靜不穩(wěn)性、本質(zhì)非線性等特點(diǎn)，我們還需考慮硬件裝配誤差、環(huán)境干擾以及參數(shù)的不確定性。本章開始介紹了四旋翼飛行器的工作原理，包括旋翼升力公式以及電機(jī)轉(zhuǎn)速解算等，闡述了四旋翼飛行器穩(wěn)定飛行的可行性；接下來，在歐拉角描述的基礎(chǔ)上建立坐標(biāo)系并推導(dǎo)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式；最后，在考慮干擾和誤差的情況下，推導(dǎo)四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型。1.2四旋翼飛行器的工作原理旋翼在旋轉(zhuǎn)時(shí)將與空氣之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，上下兩側(cè)的壓強(qiáng)差導(dǎo)致升力，方向沿轉(zhuǎn)軸向上；角動(dòng)量守恒導(dǎo)致存在扭矩，方向沿轉(zhuǎn)軸并與機(jī)翼旋轉(zhuǎn)方向相反，示意圖如下：圖2-1旋翼的工作原理設(shè)旋翼的旋轉(zhuǎn)速度為Ω，旋翼產(chǎn)生的升力大小為T，力矩為Q，則由葉素理論、渦流分析的知識(shí)，可以獲得旋翼的升力及力矩公式為REF_Ref1746\r\h[35]：(2-1)其中空氣的密度ρ、旋翼旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的面積A、旋翼半徑R、旋翼的升力系數(shù)CF和扭矩系數(shù)CM均可視為常數(shù)，因此升力和力矩只是轉(zhuǎn)速的函數(shù)，將其記為REF_Ref1779\r\h[36]：(2-2)四旋翼的工作原理見圖2-2。四個(gè)旋翼均產(chǎn)生向上的升力，其中旋翼2和4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋翼1和3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。前者提供逆時(shí)針方向的扭矩，后者提供順時(shí)針方向的扭矩。四旋翼飛行過程中，旋翼的轉(zhuǎn)速方向保持不變。只要調(diào)節(jié)4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，無人機(jī)就能夠產(chǎn)生橫滾、俯仰或偏航運(yùn)動(dòng)。yybτr4fr4fr1fr2fr3Ω2Ω1Ω3Ω4τr1τr2τr3zbxbOb圖2-2四旋翼飛行器原理示意圖定義Ω1，Ω2，Ω3，Ω4為旋翼1，2，3，4的角速度；定義fr1，fr2，fr3，fr4為旋翼1，2，3，4所產(chǎn)生的的升力；定義fr為四個(gè)旋翼產(chǎn)生的合力，數(shù)值大小為fr；定義τr為四個(gè)旋翼產(chǎn)生的合力矩。選取以機(jī)體質(zhì)心為原點(diǎn)選取機(jī)體坐標(biāo)系Ob，如圖2-2中所示。在機(jī)體坐標(biāo)系中，合力fr的坐標(biāo)表示為frb=(0，fr，0)T；合力矩τr的坐標(biāo)表示為τrb=(τrx，τry，τrz)T；結(jié)合公式(2-2)有：(2-3)定義旋翼轉(zhuǎn)軸到機(jī)體質(zhì)心的距離為l，升力力和三個(gè)方向上的力矩如下：(2-4)將式(2-2)帶入(2-3)并整理為矩陣形式有：(2-5)其中系數(shù)矩陣C表示為：如果已知四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，那么就能夠借助系數(shù)矩陣C計(jì)算控制四旋翼飛行器所需的力和力矩，若想由后者解算得到前者，需考察系數(shù)矩陣C是否奇異。經(jīng)計(jì)算，得到系數(shù)矩陣C的行列式為：(2-6)因此系數(shù)矩陣是可逆矩陣，進(jìn)而有：(2-7)規(guī)劃四旋翼無人機(jī)的飛行軌跡時(shí)，若能計(jì)算出需要旋翼提供的力和力矩，就可以由式(2-7)解算出相應(yīng)電機(jī)的期望轉(zhuǎn)速，將對(duì)應(yīng)的期望信號(hào)輸入電機(jī)就可以實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)，如垂直起降、俯仰、滾轉(zhuǎn)以及偏航等。對(duì)于圖2-2中的坐標(biāo)系和無人機(jī)，實(shí)現(xiàn)垂直起降需要同時(shí)改變四個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速；實(shí)現(xiàn)正向偏航需要增大旋翼2和4的轉(zhuǎn)速并減小旋翼1和3的轉(zhuǎn)速；實(shí)現(xiàn)正向俯仰需要保持旋翼2、4轉(zhuǎn)速不變，增大旋翼1的轉(zhuǎn)速，并等量減小旋翼3的轉(zhuǎn)速；類似地，實(shí)現(xiàn)正向滾轉(zhuǎn)就需要保持旋翼1和3的轉(zhuǎn)速，增大旋翼4的轉(zhuǎn)速，并等量減小旋翼2的轉(zhuǎn)速。1.3坐標(biāo)系及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系在研究并建立四旋翼飛行器模型的過程中，涉及的坐標(biāo)系除了前文的機(jī)體坐標(biāo)系Ob-xbybzb，還會(huì)有地面坐標(biāo)系Oe-xeyeze和慣性主軸坐標(biāo)系Oi-xiyizi。前者與機(jī)體坐標(biāo)系共同參與動(dòng)力學(xué)方程的描述，具體情況如圖2-3所示；而后者用于描述實(shí)際系統(tǒng)中陀螺安裝誤差的影響。ffr4fr1fr2fr3Ω2Ω1Ω3Ω4τr1τr2τr3zbxbObzexeOeybτr4圖2-3坐標(biāo)系的建立借助坐標(biāo)系之間的變換和投影，可以很好地描述飛行姿態(tài)。本文在四旋翼數(shù)學(xué)建模時(shí)，選擇歐拉角描述，因?yàn)槠湮锢硪饬x更直觀，且不存在冗余參數(shù)，雖然其存在奇異點(diǎn)的問題，但本課題并不考慮姿態(tài)角大于90度的情形。采用偏航-俯仰-滾轉(zhuǎn)的順序，即2-3-1轉(zhuǎn)序下的歐拉角對(duì)其進(jìn)行描述。剛體的姿態(tài)變化并不因其位置的變化而改變，故而考慮姿態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)，可以不考慮兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)間的距離，也就是將它們的原點(diǎn)重合，記為O，則三次轉(zhuǎn)換過程見圖2-4，其中偏航、俯仰和滾轉(zhuǎn)變換依次以紅色虛線、綠色點(diǎn)線和藍(lán)色點(diǎn)劃線表示。zzex1ye(y1))xex2(xb)zbz1(z2)yby2O圖2-4地面坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換圖將Oxb軸在水平面內(nèi)O-xeze的投影與Oxe軸之間的夾角記為φ，其表示四旋翼飛行器的偏航角度；將Oxb軸與水平面O-xeze之間的夾角記為θ，其表示四旋翼飛行器的俯仰角度。將Oye軸與包含Oyb軸的鉛垂平面之間的夾角記為γ，其表示四旋翼飛行器的滾轉(zhuǎn)角度。在2-3-1轉(zhuǎn)序下，對(duì)圖2-4定義的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過程進(jìn)行解釋如下：首先，地面坐標(biāo)系Oe-xeyeze先繞Oye軸旋轉(zhuǎn)偏航角φ，形成坐標(biāo)系O-x1y1z1；然后坐標(biāo)系O-x1y1z1再繞Oz1軸旋轉(zhuǎn)俯仰角θ，形成坐標(biāo)系O-x2y2z2；最后坐標(biāo)系O-x2y2z2再繞Ox2軸旋轉(zhuǎn)滾轉(zhuǎn)角γ，形成機(jī)體坐標(biāo)系O-xbybzb。根據(jù)歐拉角描述下轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算規(guī)律有：其中rot矩陣為繞定軸的旋轉(zhuǎn)矩陣：整理得到機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣為：對(duì)于三維空間中的任一矢量，若我們已知它在其中一個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)，則一定可以通過這個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣求解其在另一個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示。任意剛體都存在三個(gè)互相正交的軸，使得以這三個(gè)軸建立坐標(biāo)系時(shí)，慣性矩陣呈對(duì)角陣形式，稱為慣性主軸?，F(xiàn)實(shí)陀螺在安裝時(shí)普遍存在誤差，這使得慣性矩陣在機(jī)體坐標(biāo)系中的形式不再是對(duì)角陣，為了將陀螺安裝誤差的影響在建模時(shí)精確地表述出來，下面以三個(gè)機(jī)體慣性主軸建立坐標(biāo)系。慣性主軸坐標(biāo)系以機(jī)體質(zhì)心作為原點(diǎn)Oi，慣性主軸Oixi、Oiyi和Oizi軸方向的選取同機(jī)體坐標(biāo)系一致。與前面地面坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系的推導(dǎo)過程類似，記陀螺安裝誤差角為δη=(δφ，δθ，δγ)T，事實(shí)上，它是慣性主軸坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系在2-3-1轉(zhuǎn)序下的歐拉角。計(jì)算方式與前文一致，得到轉(zhuǎn)換矩陣如下：設(shè)Ji為四旋翼在慣性主軸坐標(biāo)系中的慣性矩陣，Jb為其在機(jī)體坐標(biāo)系中的慣性矩陣，則兩個(gè)慣性矩陣之間的關(guān)系可以通過轉(zhuǎn)換矩陣描述：(2-8)1.4動(dòng)力學(xué)模型建立下面將建立四旋翼的動(dòng)力學(xué)模型。我們假設(shè)四旋翼是一個(gè)各轉(zhuǎn)軸互相平行，且旋翼升力的作用點(diǎn)與質(zhì)心同平面的剛體，并忽略其它硬件對(duì)參數(shù)的影響。若存在陀螺安裝誤差角δη，根據(jù)(2-8)可以得到四旋翼飛行器在機(jī)體坐標(biāo)系中的慣性矩陣，表示為如下形式：對(duì)四旋翼飛行器機(jī)體應(yīng)用動(dòng)量矩定理和哥氏定理，可以得到四旋翼飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：(2-9)其中τ為四旋翼飛行器機(jī)體所受到的合力矩，ω為機(jī)體相對(duì)于地面坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)角速度，其中合力矩的表達(dá)式為：(2-10)其中，τr為旋翼升力力矩；τg為機(jī)體姿態(tài)改變引起旋轉(zhuǎn)軸方位變化時(shí)轉(zhuǎn)子的抗阻力矩，我們將其稱為陀螺力矩；τd為干擾力矩。設(shè)機(jī)體所受合外力為f，總質(zhì)量為m，質(zhì)心速度為v，四旋翼飛行器平動(dòng)部分的動(dòng)力學(xué)方程可以由牛頓第二定律算如下：(2-11)合外力f由三部分組成：(2-12)其中，fr為旋翼升力；mg為重力；fd為機(jī)體受到的干擾力。綜上所述，四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型可以用式(2-13)的形式描述：(2-13)由坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，計(jì)算fr在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示fre：(2-14)設(shè)重力加速度大小為g，在地面坐標(biāo)系中有重力項(xiàng)：(2-15)設(shè)干擾力在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為fde=(fdx，fdy，fdz)T，且根據(jù)前面1.2節(jié)的說明，有frb=(0，fr，0)T。式(2-13)中的前兩個(gè)平動(dòng)方程此時(shí)是在機(jī)體坐標(biāo)系中描述的，我們將這兩個(gè)方程投影到地面坐標(biāo)系并整理，最終得到：(2-16)設(shè)Jr為每個(gè)旋翼和對(duì)應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以得到四個(gè)旋翼總的動(dòng)量矩Hr在機(jī)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為：其中：(2-17)由向量的叉乘運(yùn)算關(guān)系，得到旋翼陀螺力矩的表達(dá)式為：(2-17)此時(shí)將動(dòng)力學(xué)模型(2-13)中的后兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方程投影到機(jī)體坐標(biāo)系。因?yàn)棣摩呛苄?，因此將其作為不確定性處理，整理得到轉(zhuǎn)動(dòng)模型為：(2-18)其中由于安裝誤差引起的不確定性表達(dá)式如(2-19)所示：(2-19)綜上所述，四旋翼飛行器模型(2-13)展開后的表達(dá)式為：(2-20)至此，我們建立了四旋翼飛行器完整的數(shù)學(xué)模型，并且此模型的設(shè)計(jì)過程考慮了實(shí)際飛行器裝配時(shí)陀螺儀的安裝誤差、實(shí)際飛行環(huán)境中廣泛存在的氣動(dòng)干擾和陀螺力矩干擾，完整的動(dòng)力學(xué)模型由式(2-19)和(2-20)共同描述。1.5小結(jié)本章從最簡單的旋翼入手，首先